初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂） 反比例函數(shù)自選20題3

1、4.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，BE=BC（1）求證：EC平分BED（2）過點(diǎn)C作CFBE，垂足為點(diǎn)F，連接FD，求FDEC的值2.如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的頂點(diǎn)A在ECD的斜邊DE上，AB、CD交于點(diǎn)F，連接BD （1）求證：ECADCB；（2）求證：AE2+AD2=2AC2；（3）若AE=2，AF:CF=2:3，求線段AB的長(zhǎng)3.如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)BE、CE（1）若a=5，AC=13，求b（2）若a=5，b=10，當(dāng)BEAC時(shí)，求

2、出此時(shí)AE的長(zhǎng)（3）設(shè)AE=x，試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)過程中，使得ABE與BCE相似時(shí)，求a、b應(yīng)滿足什么條件，并求出此時(shí)x的值4.如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A、B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)連接PM、PN，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒，0t） （1）當(dāng)t為何值時(shí)，MCN面積為2cm2？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積為215cm2？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？2.閱讀下面

3、內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式和乘法公式，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a0，b0時(shí)，(a-b)2=a-2ab+b0，a+b2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào) 請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請(qǐng)直接寫出答案：當(dāng)x0時(shí)，x+1x的最小值為_，當(dāng)x-1），求y的最小值（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AOB、COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，2），OG邊與y軸重合將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點(diǎn)A （1）判斷OGA和NPO是否相似，并說明理由；（

4、2）若過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象與EF交于B點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎褐本€AB與OM的位置關(guān)系，并說明理由；（3）在GF所在直線上，是否存在一點(diǎn)Q，使AOQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的Q點(diǎn)坐標(biāo)5.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止、已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（x0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P、N重合；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形6.問題1：如圖，在ABC中，

5、AB=4，D是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），DEBC，交AC于點(diǎn)E，連接CD設(shè)ABC的面積為S，DEC的面積為S（1）當(dāng)AD=3時(shí)，SS=_；（2）設(shè)AD=m，請(qǐng)你用含字母m的代數(shù)式表示SS問題2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=4，ADBC，AD=12BC，E是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），EFBC，交CD于點(diǎn)F，連接CE設(shè)AE=n，四邊形ABCD的面積為S，EFC的面積為S請(qǐng)你利用問題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示SS7.如圖，在菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=16cm點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB

6、方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s，EFBD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，QF，當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t8）解答下列問題：（1）求菱形ABCD的面積；（2）當(dāng)t=1時(shí)，求QF長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APFD是平行四邊形？若存在，求出t值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）設(shè)DEF的面積為s（cm2），試用含t的代數(shù)式表示S，并求t為何值時(shí)，DEF的面積與BPC的面積相等8.如圖，ABC中，C=90，AC=8cm，BC=4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q

7、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）若PCQ的面積是ABC面積的14，求t的值？（2）PCQ的面積能否為ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由9.對(duì)于平行線，我們有這樣的結(jié)論：如圖1，ABCD，AD，BC交于點(diǎn)O，則AODO=BOCO請(qǐng)利用該結(jié)論解答下面的問題：如圖2所示，ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，射線CF交AB于E點(diǎn)，且AEEB=16，求AFFD答案和解析1.【答案】證明：（1）ACB和ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，CA=CB，ECD=ACB=90，ECA=DCB，在ACE和BCD中，CE=CDECA=DCBAC=CB，ECADCA（2）ACE

8、BCD，BD=AE， EAC=CBD，EAC+CAD=180，CAD+CBD=180，ACB+ADB=180，ACB=90，ADB=90，AD2+BD2=AB2，AC=BC，ACB=90，AB=2AC，AE2+AD2=2AC2解：（3）設(shè)AC=x，則CB=AC=x，ADC=ABC=45，AFD=CFB，AFDCFB，AFCF=ADCB，AD=AFCFCB=23x，AE2+AD2=2AC2，4+23x2=2x2，解得x1=32，x2=-32（舍去），在RtACB中，AB=ACsinABC=322.【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角

9、三角函數(shù)的定義，四邊形內(nèi)角和定理，屬于中考?？碱}型（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CE=CD，CA=CB，ECD=ACB，由此即可證明（2）由（1）可知AE=BD，在RTADB中利用勾股定理即可解決（3）設(shè)AC=x，則CB=AC=x， 先證得AFDCFB，得到AD=AFCFCB=23x，再根據(jù)勾股定理得到4+23x2=2x2，進(jìn)而在RtACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得線段AB的長(zhǎng)2.【答案】解：（1）2；-2；（2）y=x2+7x+10 x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4(x+1)+52x+14x+1+5=9，x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)即y的最小值為9；（3）

10、設(shè)SBOC=x，則SAOC=36x，四邊形ABCD面積=4+9+x+36x(x0)2x36x+13=25，當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)，即四邊形ABCD面積的最小值為25【解析】【分析】本題考查了二次根式及乘法公式的應(yīng)用（1）由題意可知，當(dāng)x0時(shí)，x+1x的最小值為2，當(dāng)x0時(shí)，x+1x的最小值為2，當(dāng)x0時(shí)，x+1x的最大值為-2，故答案為2；-2；（2）見答案；（3）見答案3.【答案】解：（1）OGANPO，理由是：將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，P=AGO=90，PNOM，PNO=AOG，OGANPO；（2）OGANPO，AGOP=OGNP，OP=OG

11、=2，PN=OM=OE=4，AG=1，A（1，2），設(shè)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=kx，代入得：k=2，即過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=2x.ABOM，理由是：把x=4代入y=2x得：y=12，即B（4，12），BE=12，BF=2-12=32，A（1，2），AG=1，OG=2，AF=4-1=3，AGBF=132=23，OGAF=23，AGBF=OGAF，AGO=F=90，AGOBFA，OAG=ABF，F(xiàn)AB+ABF=180-90=90，OAG+FAB=90，OAB=180-90=90，ABOM；（3）如圖所示：當(dāng)AO=AQ1=5時(shí)，Q1（1+5,2）；當(dāng)AO=OQ2=5時(shí)，Q 2（-1，2

12、），當(dāng)AO=AQ3=5時(shí)，Q 3（1-5，2），當(dāng)AQ4=OQ4時(shí)，Q 4（，2）故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：Q （1+5,，2）或Q（1-5，2）或Q（-1，2）或Q（，2）.【解析】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出P=AGO=90，PNOM，根據(jù)平行線性質(zhì)求出PNO=AOG，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，求出AG長(zhǎng)，即可得出A的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=kx，把A的坐標(biāo)代入求出k，即求

13、出反比例函數(shù)的解析式.求出B的坐標(biāo)，求出AGBF=OGAF，根據(jù)AGO=F=90證AGOBFA，推出OAG=ABF，求出OAG+FAB=90，求出OAB的度數(shù)，根據(jù)垂直定義推出即可；（3）利用等腰三角形的性質(zhì)，分別利用當(dāng)AO=AQ1=5時(shí)，當(dāng)AO=OQ2=5時(shí)，當(dāng)AO=AQ3=5時(shí)，當(dāng)AQ4=OQ4時(shí)，分別得出即可4.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，DEC=BCE，BE=BC，BEC=BCE，DEC=BEC，即EC平分BED（2）解：在RtABE中，AB=3，BE=BC=5，AE=BE2-AB2=4，DE=1，在ECD和ECF中，D=CFE=90DEC=FECCE=CEEC

14、DECF，ED=EC=1，CF=CD=3，S四邊形EFCD=2SEDC=12FDEC，EC垂直平分線段DF，12FDEC=21231=3，F(xiàn)DEC=6【解析】（1）由四邊形ABCD是矩形，推出ADBC，推出DEC=BCE，由BE=BC，推出BEC=BCE，推出DEC=BEC，即可解決問題（2）在RtABE中，可得AE=BE2-AB2=4，推出DE=1，由ECDECF，推出ED=EC=1，CF=CD=3，推出EC垂直平分線段DF，根據(jù)S四邊形EFCD=2SEDC=12FDEC，即可解決問題本題考查矩形的性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

15、助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，記住當(dāng)四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，面積等于對(duì)角線乘積的一半，屬于中考?？碱}型5.【答案】解：（1）P，N重合，2x+x2=20，x1=21-1，x2=-21-1（舍去），當(dāng)x=21-1時(shí)，P，N重合；（2）因?yàn)楫?dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=25，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，依題意得20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2，當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，依題意得20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4，當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形，所

16、以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形【解析】（1）由于若BQ=xcm（x0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，而點(diǎn)P、N重合，那么2x+x2=20，解這個(gè)方程即可求出x的值；（2）由于當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=25，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由此即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由此也可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可此題是一個(gè)運(yùn)動(dòng)型問題，把運(yùn)動(dòng)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合起來，利用題目的熟練關(guān)系列出一元二次方程解決問題解題時(shí)首先要認(rèn)真閱讀

17、題目，正確理解題意，然后才能正確設(shè)未知數(shù)列出方程解題6.【答案】（1）316（2）解法一：AB=4，AD=m，BD=4-m，DEBC，CEEA=BDAD=4-mm，SDECSADE=CEAE=4-mm，DEBC，ADEABC，SADESABC=(m4)2=m216，SDECSABC=SDECSADESADESABC=4-mmm216=-m2+4m16，即SS=-m2+4m16；解法二：如圖1，過點(diǎn)B作BHAC于H，過D作DFAC于F，則DFBH，ADFABH，DFBH=ADAB=m4，SDECSABC=12CEDF12CABH=4-m4m4=-m2+4m16，即SS=-m2+4m16；問題2：

18、如圖，解法一：如圖2，分別延長(zhǎng)BD、CE交于點(diǎn)O，ADBC，OADOBC，OAOB=ADBC=12，OA=AB=4，OB=8，AE=n，OE=4+n，EFBC，由問題1的解法可知：SCEFSOBC=SCEFSOEFSOEFSOBC=4-n4+n(4+n8)2=16-n264，SOADSOBC=(OAOB)2=14，SABCDSOBC=34，SCEFSABCD=SCEF34SOBC=4316-n264=16-n248，即SS=16-n248；解法二：如圖3，連接AC交EF于M，ADBC，且AD=12BC，SADCSABC=12，SADC=12SABC，SADC=13S，SABC=23S，由問題1

19、的結(jié)論可知：SEMCSABC=-n2+4n16，MFAD，CFMCDA，SCFMSCDA=SCFM13S=3SCFMS=(4-n4)2，SCFM=(4-n)248S，SEFC=SEMC+SCFM=-n2+4n1623S+(4-n)248S=16-n248S，SS=16-n248【解析】解：?jiǎn)栴}1：（1）AB=4，AD=3，BD=4-3=1，DEBC，CEEA=BDAD=13，SDECSADE=ECAE=13=39，DEBC，ADEABC，SADESABC=(34)2=916，SDECSABC=316，即SS=316，故答案為：316；（2）問題1：見答案問題2：見答案【分析】（1）先根據(jù)平行線

20、分線段成比例定理可得：CEEA=BDAD=13，由同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，則SDECSADE=ECAE=13=39，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得：SADESABC=(34)2=916，可得結(jié)論；（2）解法一：同理根據(jù)（1）可得結(jié)論；解法二：作高線DF、BH，根據(jù)三角形面積公式可得：SDECSABC=12CEDF12CABH，分別表示CECA和DFBH的值，代入可得結(jié)論；問題2：解法一：如圖2，作輔助線，構(gòu)建OBC，證明OADOBC，得OB=8，由問題1的解法可知：SCEFSOBC=SCEFSOEFSOEFSOBC=4-n4+n(4+n8)2=16-n264，根據(jù)相似三角形

21、的性質(zhì)得：SABCDSOBC=34，可得結(jié)論；解法二：如圖3，連接AC交EF于M，根據(jù)AD=12BC，可得SADCSABC=12，得：SADC=13S，SABC=23S，由問題1的結(jié)論可知：SEMCSABC=-n2+4n16，證明CFMCDA，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，根據(jù)面積和可得結(jié)論本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵，并運(yùn)用了類比的思想解決問題，本題有難度7.【答案】解：（1）四邊形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，菱形ABCD的面積為121216=96（cm2）（2）ABCD

22、，ACBD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，在RtAOB中，AB=62+82=10（cm），當(dāng)t=1時(shí)，DQ=1，EFBD，ACBD，EFAC，DQDO=QFOC，18=QF6，QF=34（cm）（3）四邊形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8在RtAOB中，AB=62+82=10EFBD，F(xiàn)QD=COD=90又FDQ=CDO，DFQDCODFDC=QDOD，即DF10=t8，DF=54t四邊形APFD是平行四邊形，AP=DF即10-t=54t，解這個(gè)方程，得t=409當(dāng)t=409s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形（4）S=SDEF=12EFQD=1232t

23、t=32t2如圖作CGAB于點(diǎn)GS菱形ABCD=ABCG=12ACBD，即10CG=121216，CG=485，SBPC=12t485=245t，當(dāng)DEF的面積與BPC的面積相等時(shí)，34t2=245t，解得t=325或t=0（舍棄），S=34t2，當(dāng)t=325時(shí)，DEF的面積與BPC的面積相等【解析】（1）根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可；（2）由EFAC，可得DQDO=QFOC，構(gòu)建方程即可解決問題；（3）由DFQDCO得出DFDC=QDOD，求出DF由AP=DF求出t（4）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可，再根據(jù)DEF的面積與BPC的面積相等構(gòu)建方程求出t即可解決問題；本題屬于四邊形

24、綜合題，主要涉及到菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似比求出相關(guān)線段8.【答案】解：（1）SPCQ=12t（8-2t），SABC=1248=16，12t（8-2t）=1614，整理得t2-4t+4=0，解得t=2，當(dāng)t=2s時(shí)PCQ的面積為ABC面積的14；（2）當(dāng)SPCQ=12SABC時(shí)，12t（8-2t）=1612，整理得t2-4t+8=0，=（-4）2-418=-160，此方程沒有實(shí)數(shù)根，PCQ的面積不可能是ABC面積的一半.【解析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂

25、題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.（1）根據(jù)三角形的面積公式可以得出ABC面積為1248=16，PCQ的面積為12t（8-2t），由題意列出方程解答即可；（2）由等量關(guān)系SPCQ=12SABC列方程求出t的值，但方程無解.9.【答案】解：如圖，取EC的中點(diǎn)G，連接DG,AD是BC邊上的中線，DG是BCE的中位線，DGBE，DG=12BE，AEEB=16，AEDG=13,DGBE,AFFD=EFFG,又AFE=DFG,AEFDGF,AFFD=AEDG=13.【解析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵注意輔助線的作法要恰當(dāng)取

26、EC的中點(diǎn)G，連接DG，利用三角形中位線的性質(zhì)得到DGBE，DG=12BE，利用平行線分線段成比例和相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行求解即可.10.【答案】解：（1）在RtABC中，BC=AC2-AB2=132-52=12，b=12（2）如圖1中，BEAC2+3=90又1+3=901=2又BAE=ABC=90AEBBACAEAB=ABBC即AE5=512，AE=2512（2）如圖2中，點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn)，且不與A、D重合，當(dāng)ABE與BCE相似時(shí)，則BEC=90，所以當(dāng)BAECEB，則1=BCE，又BCAD，2=BCE，1=2，又BAE=EDC=90，BAEEDC，AEDC=ABDE即xa=ab-x，x2-bx+a2=0，即（x-b2）2=b2-4a24，當(dāng)b2-4a20，a0，b0，b2a，即b2a時(shí)，x=bb2-4a22，綜上所述：