蘇教版選擇性必修第一冊(cè)3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)隨堂作業(yè)

【優(yōu)選】雙曲線的幾何性質(zhì)-1隨堂練習(xí)一．填空題1．若雙曲線的離心率為，則直線的傾斜角為_______．2．已知雙曲線的焦距為是的右頂點(diǎn)，在的一條漸近線上存在兩點(diǎn)，使得，且，寫出符合條件的雙曲線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.3．已知雙曲線：的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．4．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于．兩點(diǎn)，若，，則______.5．設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程是______.6．若雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值為__________.7．雙曲線的虛軸長(zhǎng)是___________________.8．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題：①設(shè)．是兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則的軌跡是雙曲線；②過定圓上一定點(diǎn)作圓的弦，為原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)為__________9．已知?jiǎng)訄A與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_______.10．已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過F且與C的一條漸近線垂直的直線l與C的右支交于點(diǎn)P，若A為PF的中點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C的離心率為________.11．已知雙曲線，則漸近線方程為______；離心率e為______.12．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是______.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線（，）的漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為________.14．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線的左支上一點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為______．15．已知雙曲線=1的左．右焦點(diǎn)分別為F1．F2，M是雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為______.

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】∵雙曲線的離心率為，∴，∴，∴直線的傾斜角為.故答案為：2．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：設(shè)漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合，，推出，然后求解離心率，再寫一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.詳解：設(shè)漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，又，，則，即有，所以，，再寫一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.故答案為：（答案不唯一）3．【答案】【解析】分析：要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，必有，而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為，故，利用雙曲線的離心率的計(jì)算公式解答．詳解：解：∵，，所以離心率，圓是以為圓心，半徑的圓，要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，必有，而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．4．【答案】1【解析】分析：由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得B（，），寫出F1B的方程，與聯(lián)立求得A點(diǎn)坐標(biāo)，得到A為B．F1的中點(diǎn)，可得結(jié)論．詳解：如圖，因?yàn)锽在漸近線上，∴設(shè)B（，）,且，，∵，∴，則B（，）∴F1B：y（x+2），聯(lián)立，解得A（，），即A為B．F1的中點(diǎn)∴．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題．5．【答案】【解析】分析：由題意可得，則，設(shè)漸近線為的傾斜角為，則可得，，根據(jù)二倍角公式可求解.詳解：雙曲線C：的漸近線為，由題意，得，則在中，，則.設(shè)漸近線為的傾斜角為，即，則，則在中，，在中，，則，即，即，所以，故雙曲線的漸近線方程為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的漸近線的方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查三角函數(shù)的二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.6．【答案】或1【解析】分析：分別討論，兩種情況，根據(jù)雙曲線的虛軸長(zhǎng)，即可得出結(jié)果.詳解：因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為，①當(dāng)時(shí)，雙曲線方程可化為，有，得；②當(dāng)時(shí)，雙曲線方程可以化為，得；故實(shí)數(shù)的取值為或1.故答案為：或1.7．【答案】6.【解析】分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可以得出虛軸長(zhǎng).詳解：解：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)是6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】雙曲線中：（1）實(shí)軸長(zhǎng)為，實(shí)半軸長(zhǎng)為；（2）虛軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為.8．【答案】③④【解析】分析：根據(jù)雙曲線的定義可判斷①的正誤；推出點(diǎn)是的中點(diǎn)，利用垂徑定理和圓的定義可判斷②的正誤；求出方程的兩根，結(jié)合橢圓．雙曲線離心率的取值范圍可判斷③的正誤；求出雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷④的正誤.詳解：①不正確，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，則，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；②不正確，，，則是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于這條弦，設(shè)圓心為，那么有，即恒為直角，由于是圓的半徑，為定值，而恒為直角，也就是說，在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，為直徑所對(duì)的圓周角，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；③正確，方程的兩根分別為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)都是.故答案為：③④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)．表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)．之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找．與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.9．【答案】【解析】分析：根據(jù)題意利用兩圓相切的性質(zhì)，分類討論求出圓的圓心軌跡的方程.詳解：解：設(shè)，的圓心分別為，圓的半徑為.當(dāng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，這時(shí)有，圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支；當(dāng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，這時(shí)有，圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，因此圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，，所以方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】，進(jìn)而得圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線即可得方程.10．【答案】【解析】分析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線l與漸近線交于，可求出，，，由橢圓定義可得，，在直角三角形中，，即可求出，得出離心率.詳解：如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，不妨設(shè)直線l與漸近線交于，在直角三角形中，由點(diǎn)到直線的距離可得，，，為的中位線，，，，，，則在直角三角形中，，化簡(jiǎn)得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是正確利用直角三角形的性質(zhì)和橢圓的定義表示出各線段長(zhǎng)度，得到.11．【答案】【解析】分析：由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故其漸近線方程為，離心率詳解：由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，故其漸近線方程為，即，離心率.故答案為：①，②12．【答案】【解析】分析：由雙曲線定義，可知，且，在中，由余弦定理和雙曲線的定義，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.詳解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線右支上的點(diǎn)，且由雙曲線定義，可知?jiǎng)t在中，由余弦定理可知：，即，即，解得，則.故答案為：.13．【答案】【解析】分析：先求出的面積，再利用等積法可求的關(guān)系，從而可求離心率.詳解：不妨設(shè)在軸的上方，在軸的下方.拋物線的準(zhǔn)線方程為：，雙曲線的漸近線方程為：.故，，故.而，故，所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)建關(guān)鍵的等量關(guān)系式，遇到三角形的內(nèi)切圓半徑的計(jì)算問題時(shí)，一般利用等積法來溝通半徑與三角形的邊的關(guān)系.14．【答案】34【解析】分析：把到右焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到左焦點(diǎn)的距離后易得最小值．詳解：雙曲線中，，，即，設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，，則∵在雙曲線的左支上，∴，即，∴周長(zhǎng)為，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．∴周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：34.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)距離和（或差）的最值問題．解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)雙曲線的定義，如果涉及的是，則把轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離，如