運(yùn)籌學(xué)課后答案2

運(yùn)籌學(xué)（第2版）習(xí)題答案2第1章線性規(guī)劃P36?40第2章線性規(guī)劃的對(duì)偶理論P(yáng)68~69第3章整數(shù)規(guī)劃P82?84第4章目標(biāo)規(guī)劃P98~100第5章運(yùn)輸與指派問(wèn)題P134?136第6章網(wǎng)絡(luò)模型P164~165第7章網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃P185~187第8章動(dòng)態(tài)規(guī)劃P208?210第9章排隊(duì)論P(yáng)239?240第10章存儲(chǔ)論P(yáng)269?270第11章決策論P(yáng)p297-298第12章博弈論P(yáng)325~326全書360頁(yè)由于大小限制，此文檔只顯示第6章到第12章，第1章至第5章見《運(yùn)籌學(xué)課后答案1?習(xí)題六【解】邊［i,【解】邊［i,1xij0圖6-42圖6-436.1如圖6-42所示，建立求最小部分樹的0—1數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。j］的長(zhǎng)度記為Cj,設(shè)邊［i,j］包含在最小部分樹內(nèi)否則數(shù)學(xué)模型為：minZ cijXijXj5i.jX12 X13 X232,X23 X24X342X34X36x462,X35 X36X562X12X13X24X34 3X34X35X46x56 3X23X24X46X36 3X12X13x24X46 X364X23X35X24x46 X564,X12X13X24X35 X46x56 5Xij1或0,所有邊［i,j］6.2如圖6-43所示，建立求vi到V6的最短路問(wèn)題的0—1整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。【解】弧(i,j)的長(zhǎng)度記為Cij,設(shè)1弧(i,j)包含在最短路徑中xjj0否則數(shù)學(xué)模型為：minZCjXji,j1或1或0,所有弧(i,j)0000X12X12X13,X24X25X46Xij

X13X23X23X34X35X56

X24X34X45X451

X25X35X46X566.3如圖6-43所示，建立求V1到V6的最大流問(wèn)題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。設(shè)Xj為弧(i,j)的流量，數(shù)學(xué)模型為minZX12X13X12X13X46X56X12X23X24X25X13X23X34X35X24X34X45X46X25X35X45X560Xj cj,所有?。╥,j）6.4求圖6-41的最小部分樹。圖6-41(a)用破圈法，6.4求圖6-41的最小部分樹。圖圖6—44【解】圖6-44(a),該題有4個(gè)解，最小樹長(zhǎng)為22,其中一個(gè)解如下圖所示。圖6-44(b),最小樹長(zhǎng)為20。最小樹如下圖所示V16.5某鄉(xiāng)政府計(jì)劃未來(lái)3年內(nèi)，對(duì)所管轄的10個(gè)村要達(dá)到村與村之間都有水泥公路相通的目標(biāo)。 根據(jù)勘測(cè),10個(gè)村之間修建公路的費(fèi)用如表 6-20所示。鄉(xiāng)鎮(zhèn)府如何選擇修建公路的路線使總成本最低。表6-20兩村莊之間修建公路的費(fèi)用（萬(wàn)元）12345678910112.810.58.512.713.914.813.212.78.929.67.713.111.215.712.413.610.5313.812.68.68.510.515.813.4411.47.59.69.39.814.658.38.98.88.29.168.012.711.710.5714.813.612.689.78.998.810【解】屬于最小樹問(wèn)題。用加邊法，得到下圖所示的方案。

最低總成本74.3萬(wàn)元。6.6在圖6—45中，求A到HI的最短路及最短路長(zhǎng)，并對(duì)圖（a）和（b）的結(jié)果進(jìn)行比較。圖6—45【解】圖6—45（a）:A至UH的最短路Pa產(chǎn){A,B,F,H},{A,C,F,H} 最短后各長(zhǎng)22;A到I的最短路Pai={A,B,F,I},{A,C,F,I} 最短路長(zhǎng)21。對(duì)于圖6-45（b）：3)A至UH的最短路Pah={A,C,G,F,H},最短路長(zhǎng)21;A到I的最短路Pai={A,C,G,F,I}, 最短路長(zhǎng)20;結(jié)果顯示有向圖與無(wú)向圖的結(jié)果可能不一樣。6.7已知某設(shè)備可繼續(xù)使用 5年，也可以在每年年末賣掉重新購(gòu)置新設(shè)備。已知5年年初購(gòu)置新設(shè)備的價(jià)格分另I」為3.5、3.8、4.0、4.2和4.5萬(wàn)元。使用時(shí)間在1?5年內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用分別為0.4、0.9、1.4、2.3和3萬(wàn)元。試確定一個(gè)設(shè)備更新策略，使5年的設(shè)備購(gòu)置和維護(hù)總費(fèi)用最小?！窘狻吭O(shè)點(diǎn)Vj為第j年年初購(gòu)置新設(shè)備的狀態(tài)，（i,j）為第i年年初購(gòu)置新設(shè)備使用到第j年年初，弧的權(quán)為對(duì)應(yīng)的費(fèi)用（購(gòu)置費(fèi)十維護(hù)費(fèi)），繪制網(wǎng)絡(luò)圖并計(jì)算，結(jié)果見下圖所示。5外刃疸3)4*9加5外刃疸3)4*9加總費(fèi)用最小的設(shè)備更新方案為：第一種方案，第1年購(gòu)置一臺(tái)設(shè)備使用到第5年年末；第二種方案,第1年購(gòu)置一臺(tái)設(shè)備使用到第 2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末?？傎M(fèi)用為11.5萬(wàn)元。v1v2v3v4v1v2v3v4v5v6v108.895.686v28.801051004v3910034.814v45.653012100v581004.81209v66414100906.8圖6—46是世界某6大城市之間的航線，邊上的數(shù)字為票價(jià)（百美元），用Floyd算法設(shè)計(jì)任意兩城市之間票價(jià)最便宜的路線表?！窘狻拷處熆衫媚０迩蠼猓篸ata\chpt6\ch6.xlsL1圖6-46L2v1v2v3v4v5v6v108.88.65.686v28.8085134v38.68034.814v45.65307.89v58134.87.809v66414990L3v1v2v3v4v5v6v108.88.65.686v28.8085134v38.68034.812v45.65307.89v58134.87.809v66412990最優(yōu)票價(jià)表:v1v2v3v4v5v6圖圖6—47V108.88.65.686v2085134v3034.812v407.89v509v60VI、V2、V6到各點(diǎn)的最優(yōu)路線圖分別為:6.9設(shè)圖6—46VI、V2、V6到各點(diǎn)的最優(yōu)路線圖分別為:選一個(gè)建裝配車間。(1)應(yīng)選那個(gè)工廠使零配件的運(yùn)輸最方便。(2)裝配一輛汽車6個(gè)零配件加工廠所提供零件重量分別是 0.5、0.6、0.8、1.3、1.6和1.7噸，運(yùn)價(jià)為2元/噸公里。應(yīng)選那個(gè)工廠使總運(yùn)費(fèi)最小?！窘狻?1)利用習(xí)題6.8表L3的結(jié)果LminmaxLij 12.8ij ijV1v2v3v4v5v6MaxV108.88.65.6868.8v28.808513412.8v38.68034.81212v45.65307.899v58134.87.80912.8v6641299012選第1個(gè)工廠最好。(2)計(jì)算單件產(chǎn)品的運(yùn)價(jià)，見下表最后一行。計(jì)算單件產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)，見下表最后一列V1/2v3v4v5v6單件產(chǎn)品運(yùn)費(fèi)V108.88.65.68684.88v28.808513489.16v38.68034.81282.16v45.65307.8971.96v58134.87.80981.92v6641299082.2運(yùn)價(jià)11.21.62.63.23.4選第4個(gè)工廠最好。6.10如圖6—47,(1)求vi至I甘0的最大流及最大流量；(2)求最小割集和最小割量。【解】給出初始流如下調(diào)整流量第三輪標(biāo)號(hào)：得到一條增廣鏈，調(diào)整量等于 3,如下圖所示13(15)調(diào)整流量。第四輪標(biāo)號(hào)：不存在增廣鏈，最大流量等于 45,如下圖所示20(26取Vi{V1,V2,V3,V4,V5,V6,V8},V1 {V7,V9,Vio},最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10) ,最小截量等于45。2個(gè)地區(qū)C、C2,中途有2個(gè)加壓站B、Bz,天然氣管線如Cj及單位流量的費(fèi)用dij2個(gè)地區(qū)C、C2,中途有2個(gè)加壓站B、Bz,天然氣管線如Cj及單位流量的費(fèi)用dij標(biāo)在弧上（cj,dj）。求（1）流量為圖6-48【解】虛擬一個(gè)發(fā)點(diǎn)和一個(gè)收點(diǎn)T6.11-1得到流量v=22的最小費(fèi)用流，最小費(fèi)用為271。求解過(guò)程參看習(xí)題部分答案PPT文檔。T6.11—13T6.11—13最小費(fèi)用最大流如下圖，最大流量等于 27,總費(fèi)用等于3516.12如圖6.12如圖6—46所示，(1)求解旅行售貨員問(wèn)題；(2)求解中國(guó)郵路問(wèn)題。圖6-46m(1)旅行售貨員問(wèn)題。距離表C1234561OO8.895.68628.8OO105OO43910OO34.81445.653OO12OO58OO4.812OO966414OO9OO在C中行列分別減除對(duì)應(yīng)行列中的最小數(shù)，得到距離表 C1距離表C11234561OO3.23.400.60.422.8OO61OO0347OO001140.620OO7.2OO51.2OO07.2OO960010OO3.2OO由距離表C1,V1到V4,Hi={vi,V4,V3,V5,V6,v,vi},C(Hi)=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2去掉第1行第四列，d41=8,得到距離表C2。得到距離表C21235622.8OO6OO0347OO0114OO207.2OO51.2OO0OO9600103.2OO距離表C2的每行每列都有零，H2=H1={V1, V4 ,V3 , V5 , V6,V2,中}就是總距離最小的 Hamilton回路，C(H)=35.2。(2)中國(guó)郵路問(wèn)題。虛擬一條邊

習(xí)題七7.2(1)分別用節(jié)點(diǎn)法和箭線法繪制表 7-16的項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖，并填寫表中的緊前工序。(2)用箭線法繪制表7-17的項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖，并填寫表中的緊后工序表7-16工序ABCDEFG緊前工序一一一AAC一B、D、EF緊后工序D,EGEGGG一表7-17工序ABCDEFGHIJKLM緊前工序C,E,F,J,K,---BBA,BBD,GHD,GC,EIL緊后工序FE,D,F,GI,KH,JI,KIH,JILMMM一【解】(1)節(jié)點(diǎn)圖:箭線圖:

(2)節(jié)點(diǎn)圖:箭線圖:7.3根據(jù)項(xiàng)目工序明細(xì)表7-18:(1)畫出網(wǎng)絡(luò)圖。(2)計(jì)算工序的最早開始、最遲開始時(shí)間和總時(shí)差。(3)找出關(guān)鍵路線和關(guān)鍵工序。表7-18工序ABCDEFG緊前工序-AAB,CCD,ED,E工序時(shí)間(周)961219678【解】(1)網(wǎng)絡(luò)圖

(2)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)(3)關(guān)鍵路線：①-②-③-④-⑤-⑥-⑦；關(guān)鍵工序： AC、DG完工期：48周7.4表7-19給出了項(xiàng)目的工序明細(xì)表。表7-19工序ABCDEFGHIJKLMN緊前工序---A,BBB,CED,GEEHF,JI,K,LF,J,L工序時(shí)間(天)8571281716814510231512(1)繪制項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖。(2)在網(wǎng)絡(luò)圖上求工序的最早開始、最遲開始時(shí)間。(3)用表格表示工序的最早最遲開始和完成時(shí)間、總時(shí)差和自由時(shí)差(4)找出所有關(guān)鍵路線及對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵工序。(5)求項(xiàng)目的完工期?！窘狻?1)網(wǎng)絡(luò)圖(2)工序最早開始、最遲開始時(shí)間

(3)用表格表示工序的最早最遲開始和完成時(shí)間、總時(shí)差和自由時(shí)差工序tTesTEfTlsTlf總時(shí)差S自由時(shí)差FA80891790B5050500C7077700D12820172999E851351300F1772472400G161329132900H82937293700I14132733472020J51318192466K103747374700L232447244700M154762476200N124759506233(4)關(guān)鍵路線及對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵工序關(guān)鍵路線有兩條，第一條：①-②-⑤-⑥-⑦-OIlf值;關(guān)鍵工序：B,E,G,H,K,M第二條：①-④-⑧-⑨-O11-12;關(guān)鍵工序：C,F,L,M(5)項(xiàng)目的完工期為62天。7.5已知項(xiàng)目各工序的三種估計(jì)時(shí)間如表7-20所示。求： 表7-20(1)繪制網(wǎng)絡(luò)圖并計(jì)算各工序的期望時(shí)間和方差。1工序的二種時(shí)間(小時(shí))(2)關(guān)鍵工序和關(guān)鍵路線。 工序緊前工序—amb(3)項(xiàng)目完工時(shí)間的期望值。A一91012(4)假設(shè)完工期服從正態(tài)分布，項(xiàng)目在56小時(shí)內(nèi)完 口BA6810的概率是多少。CA131516(5)使完工的概率為0.98,最少需要多長(zhǎng)時(shí)間。 dB8911【解】(1)網(wǎng)絡(luò)圖EB,C151720FD,E91214

工序緊前工序工序的三種時(shí)間(小時(shí))期望值方差ambA一9101210.170.25BA681080.4444CA13151614.830.25DB89119.1670.25EB,C15172017.170.6944FD,E9121411.830.6944(2)關(guān)鍵工序：A,C,E,F;關(guān)鍵路線：①-②-④-⑤-⑥(3)項(xiàng)目完工時(shí)間的期望值： 10.17+14.83+17.17+11.83=54(小時(shí))完工期的方差為0.25+0.25+0.6944+0.6944=1.8889=.1.8889=1.37437X。n—5654（4）x0=56, ① =（1.4552=0.927n 1.3743756天內(nèi)完工的概率為0.927⑸p=0.98,p{XX0） （Z）0.98,Z 2.05X0=Z 2.051.37445456.82要使完工期的概率達(dá)到 0.98,則至少需要56.82小時(shí)7.6表7-21給出了工序的正常、應(yīng)急的時(shí)間和成本表7-21工序緊前工序時(shí)間(天)成本時(shí)間的最大縮量(天)應(yīng)急增加成本(萬(wàn)元/天)正常應(yīng)急正常應(yīng)急A1512506535BA1210100120210CA74808933DB,D1410405243FC1613456035GE,F1086084212(1)繪制項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖，按正常時(shí)間計(jì)算完成項(xiàng)目的總成本和工期。(2)按應(yīng)急時(shí)間計(jì)算完成項(xiàng)目的總成本和工期。(3)按應(yīng)急時(shí)間的項(xiàng)目完工期，調(diào)整計(jì)劃使總成本最低。

(4)已知項(xiàng)目縮短1天額外獲得獎(jiǎng)金4萬(wàn)元，減少間接費(fèi)用2.5萬(wàn)元，求總成本最低的項(xiàng)目完工期。(1)正常時(shí)間項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖總成本為435,工期為64(2)應(yīng)急時(shí)間項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖總成本為560,工期為51。(3)應(yīng)急時(shí)間調(diào)整工序CF按正常時(shí)間施工，總成本為 工序CF按正常時(shí)間施工，總成本為 560-9-15=536,完工期為519、12、9、12、12、6、8、17、14人。畫出時(shí)間坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)圖按正常時(shí)間計(jì)算項(xiàng)目完工期，按期完工需要多少人。保證按期完工，怎樣采取應(yīng)急措施，使總成本最小又使得總?cè)藬?shù)最少，對(duì)計(jì)劃進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化分析。【解】(1)正常時(shí)間的時(shí)間坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)圖1-34-6!?--9：121513212427333S3042454651"4STeoS3A修翳蟋僦ii—:1-iB第蠢施■耦施薪:■:C辨*:Di;一1臉都：||||;;i|■鸚1::E8上出:巍黑罌纓罌!1:二；—F■i ■I ；幽堿\\級(jí)■Gh卜k\\■?1P■tfMilf人數(shù)q24■■236：Sit?一非關(guān)健工序的最遲時(shí)間匕關(guān)鍵工序的時(shí)間級(jí)一非關(guān)犍H序的最早時(shí)間藕29一非關(guān)健工序的最遲時(shí)間(2)按正常時(shí)間調(diào)整非關(guān)鍵工序的開工時(shí)間1-3iveT聞12：15515；2124■￡7：M3336:-39:42:4E51:543TA赳由第詼宓舞浮要三然國(guó)照志:秦京；◎；售端*蔽i■ ■1■Rh； il! 1B11，11 ■「 1H■1■V 'II- iii> iC㈱■； ii iV F I；i i*D卜a巾螂顧MB；:蟋町顧jVEV41■i圖感-嘉-總:融:愛(ài)，■:諼;;5■：1：&；一i l! 1F=" 1[ !1 i|9 F■ hGtI■1':P■1： i:i::ilmlom；疆虐：人數(shù)雙：12M端一關(guān)犍工序的葉間密一三快犍工客的最早時(shí)間 =—非關(guān)健工序的最遲時(shí)間將工序F的開始時(shí)間由第22天推遲到第27天.需要25人.(3)略，參看教材。用WinQS瞅件求解7.5求解略。用WinQS瞅件求解7.6求解略。習(xí)題八8.1在設(shè)備負(fù)荷分配問(wèn)題中，n=10,a=0.7,b=0.85,g=15,h=10,期初有設(shè)備1000臺(tái)。試?yán)霉?8.7)確定10期的設(shè)備最優(yōu)負(fù)荷方案?！窘狻?/p>

由公式aii0gh

g(ba)ai得i0(g-h)/g(b-a)=0.2222,a°+a1+a2=1+0.7+0.49=2.19<2.222<a0+a1+a2+a3由公式aii0gh

g(ba)ai得i0(g-h)/g(b-a)=0.2222,a°+a1+a2=1+0.7+0.49=2.19<2.222<a0+a1+a2+a3=2.533,n-t-1=2,t=7,則1~6年低負(fù)荷運(yùn)行,7~10年為高負(fù)荷運(yùn)行。各年年初投入設(shè)備數(shù)如下表。年份1 23456 78 9 10設(shè)備臺(tái)數(shù)1000 850 723 614 522444 377 264 184.81298.2如圖8—4,求A到F的最短路線及最短距離?！窘狻緼到F的最短距離為13;最短路線2B2fC3-D2-E2fF及…C2fD2-E2fF8.3求解下列非線性規(guī)劃maxZx1x2x3minZ2 2x〔 x2 x32maxZ2x13x2x3⑴ x1 x2 x3C⑵x〔 x2 x3(3) x1x2x310xj0,j1,2,3maxZx1x2x3人出區(qū)0maxZx1x2x3人居為0maxZx122x12x1x3⑷x14x22x310⑸2x14x2x310(6)x〔x2 x3 8xj0,j1,2,3xj0,j1,2,3x1，x2,x3【解】11)設(shè)S3=x3,S3+x2=S2,S2+x1=S1=C則有x3=S3,0)<X2<S2用逆推法，從后向前依次有0<x1<s1=Ck=3,f3(S3)max(x3)x3S3S3及最優(yōu)解x3*=s3k=2,f2(s2)max[x2f3(x3) max[x2(s2x2)]maxh2(s2,x2)0乂2嗎 0々電 0々電TOC\o"1-5"\h\z由"2電2x20,則x2=1s2x2 22h 1 -22=—2<0,故x2 -s2為極大值點(diǎn)。x2 21 2 12 12 *所以f2(s2)_電_s2_電及取優(yōu)解x2=s22 4 4kk=1時(shí),f1(s1)max[X]f2(s2Hmax0%S] 0%S]1 2x1—(S|x1) max匕⑸為)，4 ox1sl,h1o o .一*由——(s14six13x1)0,得x1x1 41一si3、 1 , 1 、2故f1(sl) sl(sl si)12 3273S1已知知x1+x2+x3=C,因而按計(jì)算的順序推算,可得各階段的最優(yōu)決策和最優(yōu)解如下1—C,f1(C)313——c27t * * 1 1_2由S2=s1-x1=2C/3,x2-C,f2(s2)-C3 9,一* 1一一.. 1一由s3=s2—x2=C/3,x3-C,f3(s3) -C3 3最優(yōu)解為：1X(2

3【解】(2)設(shè)s3=x3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=C則有x3=s3,0<x2<s2,0<*10s1=C用逆推法，從后向前依次有1 11C,1C)3 3T；z—C327k=3,k=2,由f3(s3)①總誨)

x3s32s3及最優(yōu)解x3*=s32 2 ,f2(s2) minJx2 ￡3(x3) min[x2⑸0x2s2 0x2s2h24s22x2 0,則x2=1s2x2 2x2)2]minh2(s2,x2)0x2s2與與=4>°,故x21、一，…x2=-s2為極小值點(diǎn)。2、 12 * 1因而有f2(s2) s2,x2 s2\o"CurrentDocument"2 2k=1時(shí)，f1(s1)0minjx1(s1x1)2x1s1 2由」11s1x10知x1 s11,f1(s)min0x1s1)(si,%)si得到最優(yōu)解X(C1,1/2,1/2)T;zC【解】(3)設(shè)S3=x3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=10則有x3=s3,0WX2WS2,0WX1<S1=10用逆推法，從后向前依次有k=3時(shí)，k=3時(shí)，f3(s3)max(x3)s3及最優(yōu)解x3=s3x3s32k=2時(shí)，f2(s2)max[3x2(s2x2)]maxh2(s2,x2)0%s2 0%詼-^232s22x20日ix2 3s2x2 2而T20,而T20,故x2乂2s2不是個(gè)極大值點(diǎn)。k=3,k=3,討論端點(diǎn)：當(dāng)X2=0時(shí)f2(s2)=s2,X2=S2時(shí)f2(s2)3s22如果S2>3時(shí)，f2(S2)S22k=1時(shí)，?⑸)max[2x1(s1x1)]maxh|(s,x1)0XiS1 0xiS)222sl2x10時(shí)x1 1、xi」20,故x1 1S2不是一個(gè)極大值點(diǎn)xi同理有，xi=0,fi(Si)=Si2=100,xi=Si,fi(Si)=2Si=20(舍去)得到最優(yōu)解X(0,0,10);z100【解】(4)設(shè)S3=x3,2S3+4x2=S2,S2+x1=S1=10則有x3=S3,0<x2<S2/4,0<x1<S1=10用逆推法，從后向前依次有x3*=S30%型4卜2(%?2x3*=S30%型4卜2(%?2)x3S3TOC\o"1-5"\h\zC ,，、 ， ，1 c、k=2， f2(S2) max[x2(-S22x2)0x2S24 2,h2 1 1由 =—S2-4x2=0,貝Ux2=—S2x2 2 8—烏 40,故x2 1s2為極大值點(diǎn)，x2 82…一.. S2一... *則￡2(電)及取優(yōu)解x2=S2/832k=1,max[—x1(S1xk=1,max[—x1(S1x1)2]0…32maxh)(S1,x1)0為1% 1,2 2 *———(與 4^x13x1)0,x1x1 32得到最優(yōu)解X(10/3,【解】(5)按問(wèn)題中變量的個(gè)數(shù)分為三個(gè)階段1 一與‘故耳出)313-S12165/6,5/3)T;z125/27S1,S2,S3,且S3<10,xsx2,x3為各階段的決策變量,各階段指標(biāo)函數(shù)相乘。設(shè)S設(shè)S1=2x1,s1+4x2=S2,S2+x3=S3<10,貝L[有x1=s1/2,0<x2<S2/4,0<x3<S3=10用順推法，從前向后依次有k=1， f1(s1)max(x1)-sL及最優(yōu)化解x1*=S1/2TOC\o"1-5"\h\zx1S1/2 2c ，，、 ，1 ， 、 ，， 、k=2, f2(S2) max [-x2(S2 4x2) maxhzls^x2)0x2S2/42 0x2S2/4由以2—s24x2 0,則x21s2x2 2 82h2 1 …、13—2- 40,故x2-電為極大值點(diǎn)。則f2(S2)—s2x2 8 321 / 、2, I/ 、f3(S3) 0max3[32x3(S3x3)] 。^^3⑸x3)h3X3122—(s3322 *4s3X33x3) 0,X313s3,, 1 3S1=S2故f3(s3) S3 由于 S3<1O,則 S3=10時(shí)取最大值，X3=10/3, S2=S3—X3S1=S2216—4X2=10/3,X1=5/3得到最優(yōu)解X(5/3,5/6,10/3)T;z125/27TOC\o"1-5"\h\z【解】(6)設(shè)S1=X1,S1+X2=S2,S2+X3=S3=82 2ck=1,%(與)maX(X12x1)S12S1及最優(yōu)化解x/=$X1Sf2 / 、2k=2, f2(S2) maX[2X2 (電 x2) 2(s2 X2)] maX h2(S2, X2)0/與 0X2S2--26x22s22,—^2260X2 X2X2*=0時(shí)，f2(S2)=S22+2S2,X2*=S2時(shí)，f2(S2)=2Sz2故f2(S2)max{S22s2,2S2}k=3,2①當(dāng)X2*=o時(shí)，f3(S3) max[x3(S3X3) 2(備X3)] maxh^Sw)0x3S3 0x3S3同樣得X3*=0時(shí)，f3(S3)=S32+2S3X3*=S3時(shí)，f3(S3)=S3所以，f3(S3)=S32+2s3=80②當(dāng)X2*=s2時(shí)，f3(S3)=max[x3+2(S3-X3)2]0x3S3同樣得X3*=0時(shí)，f3(S3)=2S32=128X3*=S3時(shí)，f3(S3)=S3=8所以，f3(S3)=2s32=128最優(yōu)解為X(0,8,0);z128用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題。maxZ 2x14x22x1x26x12x24x1,x2 0【解】設(shè)S2=X2,S2+2X1=S1<6則有0&x2=S204,0<x1<s1/2用逆推法，從后向前依次有f2(S2)4s2及最優(yōu)解X2*=s2f1(S1)max[2x,0x10/2 1f2(即]0masX2[4s6x1]由S2=S1-2X1<4,s1<6,取S1=6f1(s1) max[240x1S1/26x1]又10X102,取x=1,f1(S1) 18最優(yōu)解X(1,4)T;z1810噸集裝箱最多只能裝9噸，現(xiàn)有3種貨物供裝載，每種貨物的單位重量及相應(yīng)單位價(jià)值如表所示。應(yīng)該如何裝載貨物使總價(jià)值最大。表8.24

貨物編號(hào)123單位加工時(shí)間234單位價(jià)值345m設(shè)裝載第I種貨物的件數(shù)為Xi(i=1,2,3maxz3x14x25x32x13x24x39x1,x2,x30&為整數(shù)利用背包問(wèn)題的前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。由于決策變量離散型值，所以可用列表法求解。當(dāng)R=1時(shí)，f1(s2) max(3為)。計(jì)算結(jié)果如下：I\2，0x1s2/2、1/S20123456789f1(S2)003366991212xi*0011223344當(dāng)R=2時(shí)，fz(S3)=max[4x2+fi(S3-3x2)]0x1s2/4計(jì)算結(jié)果如下：S30123456789x20000101010120120120123C2+f2003346467978910812101112131112f2(S3)0034679101213x2*0001010101當(dāng)R=3時(shí)，f3(9)=max[5x3+f2(9-4x3)](x3為整數(shù))=max[f2(9),5+f2(5),10+f2(1)]=max[13,0x32 0x2212,10]=138.6有一輛貨車載重量為10噸，用來(lái)裝載貨物AB時(shí)成本分別為5元/噸和4元/噸?，F(xiàn)在已知每噸貨物的運(yùn)價(jià)與該貨物的重量有如下線性關(guān)系：A:Pi=10-2xi,B:P2=12-3x2其中x1、x2分別為貨物AB的重量。如果要求貨物滿載， A和B各裝載多少，才能使總利潤(rùn)最大【解】A:R=15-x1,B:P2=18-2x2由題意可得各種貨物利潤(rùn)函數(shù)為2g1(x1)(15x15)x1 10x1x12g2(x2)(182x24)x214x22x2原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為2、一 一2、maxz(10x1x1)(14x22x2)x1 x210x1，x20最優(yōu)解：xi=6,x2=4;z=488.7現(xiàn)有一面粉加工廠，每星期上五天班。生產(chǎn)成本和需求量見表 8-25o表8-25星期(k)12345需求量(d)單位：袋1020253030每袋生產(chǎn)成本(Ck)8691210面粉加工沒(méi)有生產(chǎn)準(zhǔn)備成本，每袋面粉的存儲(chǔ)費(fèi)為 hk=0.5元/袋，按天交貨，分別比較下列兩種方案的最優(yōu)性，求成本最小的方案。

S=40袋;(1)S=40袋;(2)其它條件不變，星期一初存量為 8。m動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程如下：階段k:日期，k=1,2,…,6狀態(tài)變量Sk：第k天早上(發(fā)貨以前)的冷庫(kù)存量決策變量Xk：第k天的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk+i=Sk+Xk—dk；TOC\o"1-5"\h\z決策允許集合：Dk(Sk) XkXkQOSkXk dk40階段指標(biāo)： Vk(Sk,Xk)=CkXk+0.5Sk終端條件：f6(S6)=0, S6=0；遞推方程：fk(Xk)min Vk(Sk,Xk) fki(Ski)XkDk(sk)min、Vk(Sk,Xk) fk1(Sk Xk dk)xkDk(sk)當(dāng)k=5時(shí)，因?yàn)镾6=0,有s6 號(hào)x5d50,x515S5,由于S5<15,f5（s5） min10x50.5比X515S5■ _*，一1509.5Ss,x515ssk=4時(shí)，0S515,0S4X43015,有30曲羽45S4,f5（S5）}f4f5（S5）}x4D4（s4）min 2.5X49s4435}X4D4（S4）一一 一_ __ * __11.5S4 510 S4 30,X4 30 與*9s443540S430,X40k=3k=3時(shí)，當(dāng)0WS4<30時(shí)，0S3+x32530,得25S325S3x355S3有D3（s3） x3max[0.25s3]x355S3f3（S3）minX3D3（S3）

min

f3（S3）minX3D3（S3）

min

為D3（S3）

min

%D3（S3）8.5包9x30.5S3f,S）}9x30.5與11.5S4510}2.5%11S3797.5}660 取上界:*X355S3當(dāng)30<S4<40時(shí)，x40,30S3+X32540,有D3（S3）x355S3x365S3fJ'S）min9x3x3D3（s3）0.5S3fg}min9xmin9x30.5S39s4435}X3D3（Sq）min 8.5x3210},x3取任意值X3D3（S3）顯然此決策不可行。當(dāng)k顯然此決策不可行。當(dāng)k=2時(shí)，由0s430,0S325,0S2x22025,X2的決策允許集合為D2D2（s2） x2max[0,20S2]x245S2f2（S2）minx2D2(s2)minx2D2(s2)5.5S2f2（S2）minx2D2(s2)minx2D2(s2)5.5S26x20.5S26608.5S2}2.5x28s2830}717.5取上界:*x2 45S2當(dāng)k=l時(shí)，由0S220,0S1Xi10 20,則xi的決策允許集合為Di(Si)x1max[0,10s,]x130slfi(s)min2.5xi5s772.5xiDi⑸)797.5因?yàn)镾i0,xii0,S2i0i00,X245S245,S3S2X22025,x355S330,S4S3x32530,x430S40,S5 S4 x4(2)期初存儲(chǔ)量Si=8,MinZ=772.5+2.5x300, x5與前面計(jì)算相似，i-5Si=737.5i5xi=2.S5i5則總成本最小的方案是第二種。某企業(yè)計(jì)劃委派i0個(gè)推銷員到4個(gè)地區(qū)推銷產(chǎn)品，每個(gè)地區(qū)分配i?4個(gè)推銷員。各地區(qū)月收益（單位:i0萬(wàn)元）與推銷員人數(shù)的關(guān)系如表 8—26所示。表8-26地區(qū)ABCDi456727i220243i8232326424242730企業(yè)如何分配4個(gè)地區(qū)的推銷人員使月總收益最大?！窘狻吭O(shè)xk為第k種貨物的運(yùn)載重量，該問(wèn)題的靜態(tài)規(guī)劃模型為maxZvi（xi）V2（x2）V3（x3）V4（m）Xx2x3x4 8X0,2,4,6,8利用圖表法:XXX3X4X500083000263202063i008027080024006230026028022435040436004444024232044032

042225200630206027260027220433202434224029204231242022240223400431404027440019420219402220422018600225602024620023800024故最優(yōu)解為x1 0,x2 0,x3 x44貝UmaxZ=44有一個(gè)車隊(duì)總共有車輛100輛，分別送兩批貨物去AB兩地，運(yùn)到A地去的利潤(rùn)與車輛數(shù)目滿足關(guān)系100x，x為車輛數(shù)，車輛拋錨率為30%運(yùn)到B地的利潤(rùn)與車輛數(shù)y關(guān)系為80y,車輛拋錨率為20%總共往返3輪。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)使總利潤(rùn)最高的車輛分配方案?！窘狻縿?dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程如下。階段k：共往數(shù)k=1,2,3,4,k=1表示第一趟初，k=4表示第三趟末(即第六年初)；狀態(tài)變量Sk：第k趟初完好的車輛數(shù)(k=1,2,3,4),也是第k—1趟末完好的車輛數(shù)，其中 S4表示第三趟末的完好車輛數(shù)。決策變量xk：第k年初投入高負(fù)荷運(yùn)行的機(jī)器數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk+i=0.7xk+0.8(Sk—xk)決策允許集合：D(Sk)={xk|0￡xk￡Sk}階段指標(biāo)：Vk(Sk,xk)=100xk+80(Sk-xk)終端條件：f4(S4)=0遞推方程：fk(Sk)xkmaxuW)fk1(51)max100xkmax100xk80(Sk0xkSkfk(xk)表示第k趟初分配xk輛車到xk)fk10.7xk0.8(Skxk)A地，到第3趟末的最大總運(yùn)價(jià)為f3f3(s3)max100x380(s30x3s3max{20x380s3}0x3s3fz(S2)max100x280(S20x2S2max{10x2160S2}0x2S2x3)f4H*100S3 x3S3取優(yōu)x2)f3(S3)*170S2 x2s2取優(yōu)max100x180(s10max100x180(s10x1s1max{3x1216sl}x1)f2(S2)219sl*x1S1最優(yōu)因?yàn)镾i=100,最大總運(yùn)價(jià)fi(si)=21900元系統(tǒng)可靠性問(wèn)題。一個(gè)工作系統(tǒng)由 n個(gè)部件串聯(lián)組成，見圖8-5。只要有一個(gè)部件失靈，整個(gè)系統(tǒng)就不能工作。為提高系統(tǒng)的可靠性，可以增加部件的備用件。例如，用5個(gè)部件1并聯(lián)起來(lái)作為一個(gè)部件與部件2串聯(lián)，如果其中一個(gè)部件失靈其它 4個(gè)部件仍能正常工作。由于系統(tǒng)成本(或重量、體積)的限制，應(yīng)如何選擇各個(gè)部件的備件數(shù)，使整個(gè)系統(tǒng)的可靠性最大。圖8-5圖8-5假設(shè)部件i(i1,2,L,n)上裝有x個(gè)備用件，該部件正常工作的概率為 p/x)。設(shè)裝一個(gè)部件i的備用件的成本為ci,要求備件的總費(fèi)用為Co那么該問(wèn)題模型為：nmaxP pi(x)i1(8.8)n(8.8)GXCi1Xj0并且為整數(shù)，i1,2,L,n同理，如果一個(gè)復(fù)雜的工作系統(tǒng)由 n個(gè)部件并聯(lián)組成的，只有當(dāng)n個(gè)部件都失靈，整個(gè)系統(tǒng)就不能工作,見圖8-6。圖8-6假設(shè)Pi(x)為第i個(gè)部件失靈的概率，為提高系統(tǒng)的可靠性，可以增加部件的備用件。由于系統(tǒng)成本(或重量、體積)的限制，應(yīng)如何選擇各個(gè)部件的備件數(shù)，使整個(gè)系統(tǒng)的可靠性最大。系統(tǒng)的可靠性為n1Pi(Xi),則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為i1nminP pi(Xi)i1n (8.9)CXiC1Xj0并且為整數(shù)，i1,2,L,n利用式(8.8)或(8.9)求解下列問(wèn)題。(1)工廠設(shè)計(jì)的一種電子設(shè)備，其中有一系統(tǒng)由三個(gè)電子元件串聯(lián)組成。已知這三個(gè)元件的價(jià)格和可靠性如表8-27所示，要求在設(shè)計(jì)中所使用元件的費(fèi)用不超過(guò) 200元，試問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)使設(shè)備的可靠性達(dá)到最大。表8-27元件單價(jià)可靠性1400.952350.83200.6(2)公司計(jì)劃在5周內(nèi)必須采購(gòu)一批原料，而估計(jì)在未來(lái)的 5周內(nèi)價(jià)格有波動(dòng)，其浮動(dòng)價(jià)格和概率根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)得出，如表8-28所示，試求在哪一周以什么價(jià)格購(gòu)入，使其采購(gòu)價(jià)格的期望最小，并求出期望值。表8-28單價(jià)概率5500.16500.258000.3800900 0.35m11)數(shù)學(xué)模型為maxZ(10.05%)(10.2x2)(10.4x3)40為35x220x3200x1,x2,x3 0并且為整數(shù)最優(yōu)解X=(1,2,4);可靠性Z=0.888653,總費(fèi)用190。(2)設(shè)階段k,可按采購(gòu)期限分為5段，k=l,2,3,4,5決策變量為xk,第k周采購(gòu)則xk=l,若不采購(gòu)則xk=0狀態(tài)變量Sk表示第k周原料實(shí)際價(jià)格用Q表示當(dāng)?shù)趉周決定等待，而在以后采購(gòu)時(shí)的采購(gòu)價(jià)格期望值，即Qk0.1fk1(550)0.25fk1(650)0.3fk1(800)0.35fk1(900)最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk(Sk)表示第k周實(shí)際價(jià)格為Sk時(shí)，從第k周到第5周采取最優(yōu)決策所花費(fèi)的最低期望價(jià)格,遞推公式為fk(Sk)minSk,Qk,&Dk,k4,3,2,1

fs(S5)S5,S5D5Dk為狀態(tài)集合550,650,800,900則k=5時(shí)，因?yàn)槿羟八闹苌形促?gòu)買，則無(wú)論本周價(jià)格如何，該企業(yè)都必須購(gòu)入原料所以550,當(dāng)號(hào)550,x1650, 當(dāng)s5650,x51f5(s5) 少5 *5800, 當(dāng)S5800,41900, 當(dāng)與800,x1當(dāng)k=4時(shí)，Q40.1f5(550)0.25f5(650)0.3f5(800)0.35f5(900)0.15500.256500.38000.35900772.5f4(s4)mins4,Q4 mins4,772.5S4D4550, 當(dāng)生550,x41650, 當(dāng)s650,x41772.5,當(dāng)生800或900,x；0當(dāng)k=3時(shí)，Q30.1f4(550)0.25f4(650)0.3f4(800)0.35f4(900)0.15500.25650(0.30.35)772.5719.625

f3(s0minS3f3(s0minS3,Q3s3D3550,650,719.625,當(dāng)S3550,x31當(dāng)S3650,X31當(dāng)k=2時(shí),Q20.1f3(550)0.25f3(650)03f3(800)035f3當(dāng)k=2時(shí),Q20.1f3(550)0.25f3(650)03f3(800)035f3(900)0.15500.256500.3(0.30.35)719.625685.256f2(s2)minS2,Q2S2D2550,650,685.256,mins2,685.256當(dāng)S2550,x21當(dāng)S2650,x21當(dāng)S2800或900,x20當(dāng)k=1時(shí),最優(yōu)米購(gòu)策略:Q10.1f1(550)0.25f2(650)0.3f2(800)0.35f2(900)最優(yōu)米購(gòu)策略:0.15500.256500.3(0.30.35)685.256662.92G⑸ming,QsidiminS1,662.92550,當(dāng)Si *550,x11650,當(dāng)Si*650,x.1662.92,當(dāng)&800或900*，X0若前面四周原料價(jià)格為550或650時(shí)，則立即采購(gòu)，否則在以后的幾周內(nèi)再采購(gòu)。第五周無(wú)論當(dāng)時(shí)的價(jià)格為多少都必須采購(gòu)。期望價(jià)格為f1(s1f1(s1)0.15500.25習(xí)題九9.1某蛋糕店有一服務(wù)員，顧客到達(dá)服從 =30人/小時(shí)的Poisson分布，當(dāng)?shù)昀镏挥幸粋€(gè)顧客時(shí)，平均服務(wù)時(shí)間為1.5分鐘，當(dāng)?shù)昀镉?個(gè)或2個(gè)以上顧客時(shí)，平均服務(wù)時(shí)間縮減至 1分鐘。兩種服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布。試求：(1)此排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；(2)穩(wěn)態(tài)下的概率轉(zhuǎn)移平衡方程組；(3)店內(nèi)有2個(gè)顧客的概率；(4)該系統(tǒng)的其它數(shù)量指標(biāo)?！窘狻?1)【解】(1)此系統(tǒng)為[M/M/1]:[//FCFS]排隊(duì)模型，該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下:必kJh%，公%(2)由轉(zhuǎn)移圖可得穩(wěn)態(tài)下的差分方程組如下:（3）已知P2PoPoPlPn21P12P32Pn)P)P2)PnP2——P01 2P3—P01 2PnnFP01 230（人/小時(shí)）1=30=4012P0Pn——0.4421.560P0[1P030=40（人/小時(shí)）2 60 2[1戶

? 20.15（4）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值）nPnn01P0[1P01P0F°(11 一2=彳=60(人/小時(shí))0.460...)P——1——（1 2）2在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)0.4Lq1.24（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）(10.5)21.2(A)(n1)P.11P0(1Pnn12n1...)L1P01~~23c—0.44 1120.6(A)系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間—L 1.2 一一一系統(tǒng)中顧客等待時(shí)間W——0.04（小時(shí)）

30系統(tǒng)中顧客等待時(shí)間WqL■竺0.02（小時(shí)）q 309.2某商店每天開10個(gè)小時(shí)，一天平均有90個(gè)顧客到達(dá)商店，商店的服務(wù)平均速度是每小時(shí)服務(wù) 10個(gè),若假定顧客到達(dá)的規(guī)律是服從Poisson分布，商店服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，試求：(1)在商店前等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。(2)在隊(duì)長(zhǎng)中多于2個(gè)人的概率。(3)在商店中平均有顧客的人數(shù)。(4)若希望商店平均顧客只有2人，平均服務(wù)速度應(yīng)提高到多少。/ =9/10【解】此題是屬于［M/M/1］：［//FCFS］/ =9/10=9（個(gè)/小時(shí)） =10（個(gè)/小時(shí)）2.⑴Lq /（1 ）8.1（個(gè)）TOC\o"1-5"\h\z⑵P（N2） 3 0.729⑶ L /（1 ） 9 （個(gè)）⑷ L /（ ） 29182918213.5(個(gè)/小時(shí))為開辦一個(gè)小型理發(fā)店，目前只招聘了一個(gè)服務(wù)員，需要決定等待理發(fā)的顧客的位子應(yīng)設(shè)立多少。假設(shè)需要理發(fā)的顧客到來(lái)的規(guī)律服從泊松流，平均每 4分鐘來(lái)一個(gè)，而理發(fā)的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均每3分鐘1人。如果要求理發(fā)的顧客因沒(méi)有等待的位子而轉(zhuǎn)向其他理發(fā)店的人數(shù)占要理發(fā)的人數(shù)比例為 7%時(shí)，應(yīng)該安放幾個(gè)位子供顧客等待？m此題屬于［M/M/1］:［N//FCFS］模型，依題意知：=1/4, =1/3, / 3/4,由題意解方程0.071 P1 PnPn 0.07NN1Pn -—k0.071NN10.07N1N（10.93）0.070.0710.930.0710.930.750.2314ln0.23140.0710.930.0710.930.750.2314ln0.2314ln0.755.087則應(yīng)設(shè)立4個(gè)座位供顧客排隊(duì)某服務(wù)部平均每小時(shí)有4個(gè)人到達(dá)，平均服務(wù)時(shí)間為6分鐘。到達(dá)服從Poisson流，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布。由于場(chǎng)地受限制，服務(wù)部最多不能超過(guò) 3人，求：(1)服務(wù)部沒(méi)有人到達(dá)的概率；(2)服務(wù)部的平均人數(shù)；(3)等待服務(wù)的平均人數(shù)；(4)顧客在服務(wù)部平均花費(fèi)的時(shí)間；(5)顧客平均排隊(duì)的時(shí)間。

m依題意，這是[M/M/1]:[N//FCFS]排隊(duì)系統(tǒng)。其中:N=3, =4, =10, /=0.41 4_(DP0 Ny=(1-0.4)/[1-(0.4)]=0.6158PL0.5616(人)Lq 0.1616(人)q(4)W0.1404(小時(shí))(5)Wq 0.0404(小時(shí))15分鐘。有一個(gè)修Po,15分鐘。有一個(gè)修Po,Lq,L,Wq,故該排隊(duì)系統(tǒng)為理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布， 平均每次12分鐘。求該排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo),W和P5?！窘狻坑深}意知，每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)出故障的平均次數(shù)服從泊松分布[M/M/1]:[/m/FCFS]系統(tǒng)，其中：=1/15m=5=1/12,1/=0.8Po5!0.0073LqLqo(5k)!1/151/12(10.0073)1/15=1/15m=5=1/12,1/=0.8Po5!0.0073LqLqo(5k)!1/151/12(10.0073)1/15(1P0)3.759(臺(tái))2.766(臺(tái))Wq(5WqLq口133.43(分鐘)45.43(分鐘)P5m!(m5)!P0 包(0.8)5(0.0073)0.2870!9.6排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)越。試從隊(duì)長(zhǎng)【證】設(shè)[M/M/1]:[為2。則L這個(gè)指標(biāo)證明。/FCFS]的服務(wù)強(qiáng)度為，則[M/M/2]:[//FCFS]服務(wù)強(qiáng)度兩個(gè)單服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)L9.6排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)越。試從隊(duì)長(zhǎng)【證】設(shè)[M/M/1]:[為2。則L這個(gè)指標(biāo)證明。/FCFS]的服務(wù)強(qiáng)度為，則[M/M/2]:[//FCFS]服務(wù)強(qiáng)度兩個(gè)單服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)Li兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)Po1(2)2隊(duì)長(zhǎng)L2 2(2)2由于0Li(1 )22L2即系統(tǒng)1的隊(duì)長(zhǎng)大于系統(tǒng)2的隊(duì)長(zhǎng)，故單隊(duì)2_1 22服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)優(yōu)于2隊(duì)單服務(wù)對(duì)的系統(tǒng)。證明：一個(gè)[M/M/2]:[//FCFS]的排隊(duì)系統(tǒng)要比兩個(gè)[M/M/1]:[//FCFS]的96人/小時(shí)。觀眾大9.7某博物館有496人/小時(shí)。觀眾大致平均分散于各展廳，且在各展廳停留的時(shí)間服從 1/ 15分鐘的負(fù)指數(shù)分布，在參觀完4個(gè)展廳后離去。問(wèn)該博物館的每個(gè)展廳應(yīng)按多大容量設(shè)計(jì)，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于5%【解】此問(wèn)題中服務(wù)員數(shù)量s96 … ,—24人/小時(shí)，4，屬于M/M/系統(tǒng)，每個(gè)展廳內(nèi):60 , ,,—4人/小時(shí),15一ei!(i0,1,2,)要確定展廳的容量n,*0.05使觀眾超過(guò)n的概率小于0.05,即有ini!由泊松累積分布表查得n10。故每個(gè)展廳應(yīng)至少容納 10人，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于 5%致平均分散于各展廳，且在各展廳停留的時(shí)間服從 1/ 15分鐘的負(fù)指數(shù)分布，在參觀完4個(gè)展廳后離去。問(wèn)該博物館的每個(gè)展廳應(yīng)按多大容量設(shè)計(jì)，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于5%【解】此問(wèn)題中服務(wù)員數(shù)量s96 … ,—24人/小時(shí)，4，屬于M/M/系統(tǒng)，每個(gè)展廳內(nèi):60 , ,,—4人/小時(shí),15一ei!(i0,1,2,)要確定展廳的容量n,*0.05使觀眾超過(guò)n的概率小于0.05,即有ini!由泊松累積分布表查得n10。故每個(gè)展廳應(yīng)至少容納 10人，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于 5%9.8兩個(gè)技術(shù)程度相同的工人共同照管 5臺(tái)自動(dòng)機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)需照管一次，每次需一個(gè)工人照管的平均時(shí)間為15分鐘。每次照管時(shí)間及每相繼兩次照管間隔都相互獨(dú)立且為負(fù)指數(shù)分布。均空閑時(shí)間，系統(tǒng)四項(xiàng)主要指標(biāo)和機(jī)床利用率。試求每人平【解】由題意可知，該系統(tǒng)為[M/M/s]:[/m/FCFS]系統(tǒng)，且:s2,m5/m/s工人空閑率：, 11/8o60/154臺(tái)/小時(shí)，s/mP0 10.3160.2554/20.2525!0.12535!20.12545!5 10.1255工人平均空閑時(shí)間:Lsm!PnPLq(mn)!n!P。0m!(m2P2P3n)!s!sns3P32P44P43P5P05P51.092臺(tái)0.116臺(tái)11/2 2n0Pn1/22B0.51191.092 3.908WsLs/1.092WqLq/3.9080.1160.279（小時(shí)）=16.8WsLs/1.092WqLq/3.9080.1160.279（小時(shí)）=16.8（分鐘）機(jī)床利用率:3.908

Ls/m0.029（小時(shí)）=1.8（分鐘）11.092/578.016%9.9某儲(chǔ)蓄所有一個(gè)服務(wù)窗口，顧客按泊松分布平均每小時(shí)到達(dá)10人，為任一顧客辦理存款、取款等業(yè)務(wù)的時(shí)間T服從N?（0.05,0.012）的正態(tài)分布。試求儲(chǔ)蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)?！窘狻窟@是一個(gè)[M/G/1]:[//FCFS]排隊(duì)系統(tǒng)。由題意知：10人/小時(shí),2010人/小時(shí),20人/小時(shí),/ 0.5,E(T)0.05,Var(T)0.012儲(chǔ)蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)為:0.5F0 10.50.26（人）0.521020.012L0.26（人）2（10.5）L Lq 0.76（人）L0.76W- h5（分鐘）10Lq 0.26Wq— ——h2（分鐘）109.10某檢測(cè)站有一臺(tái)自動(dòng)檢測(cè)機(jī)器性能的儀器，檢測(cè)每臺(tái)機(jī)器都需 6分鐘。送檢機(jī)器按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4臺(tái)。試求該系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)。解：這是一個(gè)[M/D/1]:[//FCFS]系統(tǒng)，且：4臺(tái)/小時(shí)，1/ 6分鐘/臺(tái),/ 0.4Var（T）0各主要工作指標(biāo)為：Lqq2（10.4）2一）15LLq4臺(tái)/小時(shí)，1/ 6分鐘/臺(tái),/ 0.4Var（T）0各主要工作指標(biāo)為：Lqq2（10.4）2一）15LLq旦（臺(tái)）15Lq 1 …Wq——h2（分鐘）q 301WWq—8（分鐘）9.11一個(gè)電話間的顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí)到達(dá) 6人，平均通話時(shí)間為8分鐘，方差為8分鐘，直觀上估計(jì)通話時(shí)間服從愛(ài)爾朗分布，管理人員想知道平均列隊(duì)長(zhǎng)度和顧客平均等待時(shí)間是多少。解：該系統(tǒng)為[M/Ek/1]:[//FCFS]排隊(duì)系統(tǒng)，其中：4, 6—0.860—_ 2 —2[E（T）] 8_Var（T）16_20.8 （41）24（10.8）2（人）Lq 2 八心Wq- -h20（分鐘）9.12對(duì)某服務(wù)臺(tái)進(jìn)行實(shí)測(cè)，得到如下數(shù)據(jù)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)（n） Pq123記錄到的次數(shù)（mn） 161975334平均服務(wù)時(shí)間為10分鐘，服務(wù)一個(gè)顧客的收益為2元，服務(wù)機(jī)構(gòu)運(yùn)行單位時(shí)間成本為 1元，問(wèn)服務(wù)率為多少時(shí)可使單位時(shí)間平均總收益最大?！窘狻吭撓到y(tǒng)為[M/M/1]:[3//FCFS]系統(tǒng)，首先通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)平均到達(dá)率 ：因?yàn)镻nPn1可以用下式來(lái)估計(jì)13mn3n1mn11-（0.60.550.64）0.63由 6/小時(shí)，可得的估計(jì)值為:0.663.6人/小時(shí)為求最優(yōu)服務(wù)率,根據(jù)公式 9.6.5,取:可得為求最優(yōu)服務(wù)率,根據(jù)公式 9.6.5,取:可得CsG20.51.213.6& 31.216人/小時(shí)時(shí)，總收益為:3.610.64 160.485(元/小時(shí))10.643人/小時(shí)時(shí)，總收益為:_311.213.6 4161.858(元/小時(shí))11.214單位時(shí)間內(nèi)平均收益可增加1.373元。9.13某檢驗(yàn)中心為各工廠服務(wù)，要求進(jìn)行檢驗(yàn)的工廠（顧客）的到來(lái)服從Poisson流，平均到達(dá)率為48（次/天）；工廠每次來(lái)檢驗(yàn)由于停工造成損失 6元；服務(wù)（檢驗(yàn)）時(shí)間服務(wù)負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率為25（次/天）；每設(shè)置一個(gè)檢驗(yàn)員的服務(wù)成本為每天4元，其他條件均適合[M/M/s]單位時(shí)間內(nèi)平均收益可增加1.373元。9.13某檢驗(yàn)中心為各工廠服務(wù)，要求進(jìn)行檢驗(yàn)的工廠（顧客）的到來(lái)服從Poisson流，平均到達(dá)率為48（次/天）；工廠每次來(lái)檢驗(yàn)由于停工造成損失 6元；服務(wù)（檢驗(yàn)）時(shí)間服務(wù)負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率為25（次/天）；每設(shè)置一個(gè)檢驗(yàn)員的服務(wù)成本為每天4元，其他條件均適合[M/M/s]:[/FCFS］系統(tǒng)。問(wèn)應(yīng)設(shè)幾個(gè)檢驗(yàn)員可使總費(fèi)用的平均值最少?！窘狻恳阎狢s48,25,1.92,設(shè)檢驗(yàn)員數(shù)為s,則:Pos11.921.92sn!Lq(s1)!(s1.92)R1.92s1-2(s1)!(s1.92)1.921,2,3,4,5依次代入，得到下表。由于 cs/cw 0.67落在區(qū)間（0.583,21.845）之間，故s3,即當(dāng)設(shè)3個(gè)檢驗(yàn)員時(shí)可使總費(fèi)用z最小，最小值為:.*一,____z（s）z（3）27.87（元）檢驗(yàn)員數(shù)s平均顧客數(shù)L（s）L(s)-L(s+1)?L(s-1)-L(s)總費(fèi)用（元）z（s）1ooOO224.4921.845?—154.9432.6450.582?21.84527.8742.0630.111?0.58228.3851.95231.71習(xí)題十某企業(yè)每月甲零件的生產(chǎn)量為 800件，該零件月需求量為500件，每次準(zhǔn)備成本50元，每件月存儲(chǔ)費(fèi)為10元，缺貨費(fèi)8元，求最優(yōu)生產(chǎn)批量及生產(chǎn)周期。【解】模型1。D=50QP=800,H=10,A=50,B=8

Q173.21t*173.215000.346（Q173.21t*173.215000.346（月）最優(yōu)訂貨批量約為173件，約11天訂貨一次。某產(chǎn)品月需要量為600件，若要訂貨，可以以每天 50件的速率供應(yīng)。存儲(chǔ)費(fèi)為5元/（月?件），訂貨手續(xù)費(fèi)為100元，求最優(yōu)訂貨批量及訂貨周期?！窘狻磕Ｐ?。D=60QP=30X50=1500,H=5,A=1001006001500 200（件）Q*200t*———D500最優(yōu)訂貨批量約為Q*200t*———D500最優(yōu)訂貨批量約為200件，約10天訂貨一次。10.3某公司預(yù)計(jì)年銷售計(jì)算機(jī)2000臺(tái)，每次訂貨費(fèi)為0.333（月）=10（天）500元，存儲(chǔ)費(fèi)為32元/（年?臺(tái)），缺貨費(fèi)為100元/年?臺(tái)試求:（1）提前期為零時(shí)的最優(yōu)訂貨批量及最大缺貨量;試求:（1）提前期為零時(shí)的最優(yōu)訂貨批量及最大缺貨量;（2）提前期為10天時(shí)的訂貨點(diǎn)及最大存儲(chǔ)【解】模型（臺(tái)【解】模型（臺(tái)）69（臺(tái)）3。D=2000,A=500,H=32,B=100,L=0.0274（年）2ADB25002000 100 ,QiJ——、卜 J J- 218（臺(tái)）HH￥H+BV32V32100R=LD-S=0.0274X2000-69=55-69=-14（件）（1）最優(yōu)訂貨批量為287（1）最優(yōu)訂貨批量為287臺(tái)，最大缺貨量為69臺(tái);（2）再訂貨點(diǎn)為—14臺(tái)，最大存儲(chǔ)量為218臺(tái)。某化工廠每年需要甘油100噸，訂貨的固定成本為100元，甘油單價(jià)為7800元/噸，每噸年保管費(fèi)為32元，求：（1）最優(yōu)訂貨批量；（2）年訂貨次數(shù)；（3）總成本?！窘狻磕Ｐ?。D=10QA=100,H=32,C=7800元八2AD 2-100-100 .QH. 32 次件）nD/Q4（次）f.2HADCD.2-32-100-1007800100780800（元）則（1）最優(yōu)訂貨批量為25件；（2）年訂貨4次；（3）總成本為780800元。工廠每月需要甲零件3000件，每件零件120元，月存儲(chǔ)費(fèi)率為0.5%,每批訂貨費(fèi)為150元，求：（1）經(jīng)濟(jì)訂貨批量及訂貨周期；（2）提前期為6天時(shí)的訂貨點(diǎn)【解】模型4。D=3000,A=150,H=120X0.005=0.6,C=120

1225(件)1225(件),,H. 0.6tQ/D0.408(月)f2HADCD20.615030001203000360734.8(元)（1）則經(jīng)濟(jì)訂貨批量為1225件，訂貨周期為0.408月（2）L=6（天）=0.2（月），R=3000X0.2=600（件）求圖10—1中缺貨周期及缺貨周期內(nèi)的生產(chǎn)時(shí)間 t2m缺貨周期為tt3tt32APHHD\PDjB(HB)因?yàn)镻(PD)S=(PD)t2D(PD)(tt因?yàn)镻(PD)S=(PD)t2D(PD)(tt3)P所以t2S所以t2S (2AD]H1PD\B：HBPP(PD)另解缺貨周期：由D（tt3） Pt2,有t3Ptt3Pt2將式（10—1）表達(dá)為（Q,S）的函數(shù)，推導(dǎo)出最優(yōu)訂貨量和訂貨周期。將式（10—15）表達(dá)為（Q,S）的函數(shù)，推導(dǎo)出最優(yōu)訂貨量和訂貨周期。將式（10—22）化為t的函數(shù)f（t）,推導(dǎo)出最優(yōu)解Q及t證明式（10—15）的持有成本小于式（10—22）的持有成本，并驗(yàn)證當(dāng)習(xí)題 10.4的缺貨費(fèi)為100元時(shí)的情形。【證】由式（10-24）,Q*2AD存儲(chǔ)費(fèi)為由式(10—16)及(10—17):2Dt證畢。習(xí)題10.4中，D=100,A=100,2Dt不允許缺貨的存儲(chǔ)費(fèi)為10.11[ffi]HQ2H?2ADJADH2-；H2ADHQ12H2ADB2DtHH+BABAHD2\HB(HB)ADHH=32,C=7800,B=100時(shí)，允許缺貨的存儲(chǔ)費(fèi)為HQ1【證】由式（10-24）,Q*2AD存儲(chǔ)費(fèi)為由式(10—16)及(10—17):2Dt證畢。習(xí)題10.4中，D=100,A=100,2Dt不允許缺貨的存儲(chǔ)費(fèi)為10.11[ffi]HQ2H?2ADJADH2-；H2ADHQ12H2ADB2DtHH+BABAHD2\HB(HB)ADHH=32,C=7800,B=100時(shí)，允許缺貨的存儲(chǔ)費(fèi)為HQ12HDBAB2A(HB)(HB)32100100 100100 263.752100(32100)32100ADH210010032 400263.75證明：在式(10—24)由Q=(1+S)Q*,S=±中，當(dāng)Q在14%范圍內(nèi)變化為Q時(shí)，總成本約增加1%0.14及式（10.29）,則當(dāng)S1=0.14及S1=-0.14時(shí)i1f(Q)f(Q*)

f(Q*)0.1422(10.14)0.00891%i2f(Q)f(Q*)

f(Q*)(0.14)20.01142(10.14)1%證畢。10.12在題410.12在題4中，假定工廠考慮流動(dòng)資金問(wèn)題，決定寧可使總成本超過(guò)最小成本5%作存儲(chǔ)策略，求此時(shí)的訂貨批量?！窘狻恳美?0.7的結(jié)果：i=0.05時(shí)S1=0.37及S2=-0.27,當(dāng)S1=0.37時(shí)，由題2的結(jié)果有Q（10.37）Q*1.372534.25（件）當(dāng)S1=—0.27時(shí)

Q（10.27）Q* 0.732518.25（件）訂貨量約為34件或18件。假定習(xí)題10.5中的需求現(xiàn)在是1500件，存儲(chǔ)費(fèi)和準(zhǔn)備費(fèi)不變，問(wèn)現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期各是原來(lái)的多少倍。_ _ ___ ____ _ _ _ _ _ _* J_ _* _ _ _*【解】D 1500,D 3000,D 0.5D, 0.5,Q ..Q .0.5Q 0.707Q0.707Q0.5D0.707Q0.5D1.414t則現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和訂貨周期各是原來(lái)的 0.707倍和1.414倍。證明式（10—18）中，當(dāng)訂貨費(fèi)、存儲(chǔ)費(fèi)和缺貨費(fèi)同時(shí)增加S倍時(shí)，經(jīng)濟(jì)訂貨批量不變?！咀C】由式（10.18）知2ADHB

Q\H.BQSLCuCu SLCuCu Co450050000.910.15商店擬定在第二、三季度采購(gòu)一批空調(diào)。預(yù)計(jì)銷售量的概率見表10.16。表10.16Xi（百臺(tái)）012345概率pi0.010.150.250.300.200.09已知每銷售100臺(tái)空調(diào)可獲利潤(rùn)4500元，如果當(dāng)年未售完，就要轉(zhuǎn)到下一年度銷售，每一百臺(tái)的存儲(chǔ)費(fèi)為500元，問(wèn)商店應(yīng)采購(gòu)多少臺(tái)空調(diào)最佳?！窘狻縋—C=4500,H=500,B=0,C-S=0,Co=C—S+H=500,C=P—C+B=45003R0.010.150.250.30.20.91i0商店最佳訂貨量為400臺(tái)。由于電腦不但價(jià)格變化快而且更新快， 某電腦商盡量縮短訂貨周期， 計(jì)劃10天訂貨一次。某周期內(nèi)每臺(tái)電腦可獲得進(jìn)價(jià)15%的利潤(rùn)，如果這期沒(méi)有售完，則他只能按進(jìn)價(jià)的 90%出售并且可以售完。到了下一期電腦商發(fā)現(xiàn)一種新產(chǎn)品上市了，價(jià)格上漲了 10%,他的利潤(rùn)率只有10%,,如果沒(méi)有售完，則他可以按進(jìn)價(jià)的95%出售并且可以售完。假設(shè)市場(chǎng)需求量的概率不變。問(wèn)電腦商的訂貨量是否發(fā)生變化，為什么。m（1）設(shè)初期價(jià)格為C,C=0.15C,G=0.1C,則SbCuCSbCuCu+Co=0.6(2)設(shè)單價(jià)為C,Cu=0.1X1.1C,Co=0.05X1.1C,貝USL2CuSL2CuCu+Co0.666因?yàn)镾L>SL,所以應(yīng)增加訂貨量。鮮花商店準(zhǔn)備在9月10日教師節(jié)到來(lái)之前比以往多訂購(gòu)一批鮮花，用來(lái)制作“園丁頌”的花籃。每只花籃的材料、保養(yǎng)及制作成本是 60元，售價(jià)為120元/只。9月10日過(guò)后只能按20元/只出售。據(jù)歷年經(jīng)驗(yàn)，其銷售量服從期望值為 200、均方差為150的正態(tài)分布。該商店應(yīng)準(zhǔn)備制作多少花籃使利潤(rùn)最大，期望利潤(rùn)是多少。【解】P=120,C=60,S=20,B=H=0C=C—S+H=40,C=P—C+B=60SLCuCuCo60100SLCuCuCo601000.6F0Q2001500.6查正態(tài)分布表得到Q一2000.25,則Q=150X0.25+200=238(件)。期望利潤(rùn)為6204.85元。150某涂料工廠每月需要某種化工原料的概率服從 75噸至100噸之間的均勻分布，原料單價(jià)為4000元/噸，每批訂貨的固定成本為5000元，每月倉(cāng)庫(kù)存儲(chǔ)一噸的保管費(fèi)為60元，每噸缺貨費(fèi)為4300元，求缺貨補(bǔ)充的(s,Q存儲(chǔ)策略?！窘狻吭擃}增加條件L=6天。C=4000,A=5000,H=60,B=4300,p=100,q=0;均勻分布(Uniform):a=75,b=100,L=0.2月，平均需求量(100+75)/2=87.5。提前期內(nèi)的平均需求量為87.5X0.2=17.5,分布參數(shù)為100*0.2-75*0.2=5。迭代過(guò)程見下表。公式：Q(1)=SQRT(2*C5*C4/C3)Q(2)=SQRT((2*$C$5*$C$4+$C$4*$C$6*$C$8+$C$4*$C$6*J3A2/$C$8-2*$C$4*$C$6*J3)/$C$3)F(1)=1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)s(1)=$C$8*H3SS(1)=J3-17.5公式：Q(1)=SQRT(2*C5*C4/C3)Q(2)=SQRT((2*$C$5*$C$4+$C$4*$C$6*$C$8+$C$4*$C$6*J3A2/$C$8-2*$C$4*$C$6*J3)/$C$3)F(1)=1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)s(1)=$C$8*H3SS(1)=J3-17.5Q*=SQRT(C5*C4*2/C3)*SQRT(C4*C6/(C4*C6-C3*C8))s*=C8*(1-C3*F9/(C6*C4))其余單元格用上一步迭代公式復(fù)制即可。最優(yōu)存儲(chǔ)策略為：再訂貨點(diǎn) s=5,訂貨量Q=121。結(jié)果顯示，安全存量為負(fù)數(shù)，需求量的1.37倍，這是因?yàn)橐淮斡嗁?gòu)成本很大、持有成本較小引起的。10.19若H=0.15,b=1,A=100,L=1/10(年)，在L這段時(shí)間內(nèi)的需求量服從v年平均需要量D=10000件，求缺貨補(bǔ)充的(s,Q)存儲(chǔ)策略?！窘狻康^(guò)程見下表。(s-g)/不缺貨的概率F(s)一次訂貨量是一個(gè)月平均=1000,b2=625的正態(tài)分布,(T數(shù)據(jù)訂貨量Q(i)數(shù)據(jù) 訂貨量Q(i)不缺貨的概率F(s)再訂貨，點(diǎn)s(i)安全存量SS(i)H= 60 Q(1)=D= 87.5 Q(2)=A= 5