第08講二項式定理（春季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第08講二項式定理【人教A版2019】模塊一模塊一二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有

.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：.2．二項展開式的規(guī)律

(1)二項展開式一共有(n+1)項.

(2)(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

(3)每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.3．二項展開式中的通項問題的求解方法：求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.【題型1求二項展開式】【例1.1】（2324高二下·北京通州·期中）二項式x+23的展開式為（

A．x3+6xC．x3+12x【例1.2】（2324高二下·江蘇南京·期中）化簡x+14?4x+1A．x4 B．x?14 C．x+14 【變式1.1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）下列不屬于x?23的展開式的項的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【變式1.2】（2324高二下·遼寧朝陽·期中）化簡16?32x+24x2?8A．x4 B．2?x4 C．2+x4【題型2求展開式的特定項或特定項的系數(shù)】【例2.1】（2324高二下·廣東茂名·期中）x?12x10A．210 B．252 C．?638 【例2.2】（2324高二下·山西呂梁·期末）若x+mxx?1xA．2 B．3 C．2 D．3【變式2.1】（2324高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）2x?1x5的展開式中xA．?80 B．?40 C．40 D．80【變式2.2】（2324高二下·河北保定·期末）9x+8x5的展開式中含xA．C52×C．C51×模塊二模塊二二項式系數(shù)的性質(zhì)1．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項式系數(shù)表

當(dāng)n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項式定理得到的，右側(cè)三角是算出對應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項式系數(shù)是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第二項與倒數(shù)第二項的二項式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數(shù)之和為，第二行的三個數(shù)之和為，，第六行的各數(shù)之和為，，第n行的(n+1)個數(shù)之和為.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)增減性當(dāng)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值最大值當(dāng)n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大各二項式

系數(shù)的和2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.3．二項式系數(shù)的最值問題的求法：

二項式系數(shù)最大項的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.【題型3用賦值法求系數(shù)和問題】【例3.1】（2324高二下·新疆·期末）已知(2x+3)8=a0+A．215 B．216 C．217【例3.2】（2324高二下·山東泰安·期中）已知對任意實(shí)數(shù)x，(2x?1)8=aA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【變式3.1】（2324高二下·河北石家莊·期末）已知fx=2x?3(1)求a2(2)求a1(3)求a1【變式3.2】（2324高二下·浙江臺州·期中）已知2x?110=a(1)求a3(2)求a1(3)求a0【題型4多項式積的展開式問題】【例4.1】（2324高二下·山東菏澤·期中）x?yx+y4的展開式中x2A．?1 B．?2 C．?3 D．4【例4.2】（2324高二下·廣東梅州·期中）1+2x51?A．?42 B．?41 C．42 D．43【變式4.1】（2324高二下·云南大理·期末）1+x1?2x5的展開式中x2A．?40 B．?10 C．40 D．30【變式4.2】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）若x3+4xa+1x6的展開式中A．3?12 B．±314 C．【題型5三項展開式的系數(shù)問題】【例5.1】（2324高二下·重慶巴南·期中）x2?1A．544 B．559 C．495 D．79【例5.2】（2024·山東·二模）1+x?1y8展開式中xA．?840 B．?420 C．420 D．840【變式5.1】（2324高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）求x2+x?2y5的展開式中xA．40 B．?40 C．120 D．?120【變式5.2】（2324高三上·河北保定·期末）2x2?3x+a5的展開式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含A．?600 B．?840 C．?1080 D．?2040【題型6求展開式中系數(shù)的最大（?。╉棥俊纠?.1】（2024·河南安陽·二模）2x+y8的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

A．112 B．448 C．896 D．1792【例6.2】（2324高二下·江蘇常州·期中）在3x?2y20的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【變式6.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知2x+1(1)求展開式中含有x的項：(2)求展開式中系數(shù)最大項．【變式6.2】（2324高二下·福建福州·期中）在x?(1)求展開式中所有項的系數(shù)和；(2)求二項式系數(shù)最大的項；(3)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?【題型7證明整除問題或求余數(shù)】【例7.1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知a,b,m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為9≡21(mod6)，若a=C240A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【例7.2】（2324高二下·四川廣元·階段練習(xí)）已知今天是周四，那么3141天后是（

A．周一 B．周三 C．周五 D．周日【變式7.1】（2324高二下·山東聊城·期中）已知1+xn3?1(1)求n；(2)證明：43n【變式7.2】（2324高二下·安徽·期中）若x+22023=a(1)求T的大小（用指數(shù)式表示）；(2)求2T除以4所得的余數(shù)．【題型8二項式定理與數(shù)列求和】【例8.1】（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)2x2?17xA．21 B．64 C．78 D．156【例8.2】（2425高二·全國·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【變式8.1】（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知(1+x)2(1)求a1(2)①證明：1C2nk=2n+12n+21C2n+1k+②利用①的結(jié)論求1a【變式8.2】（2324高二下·江蘇·期末）記fn(x)=(x+1)(1)化簡：i=1n(2)證明：fn+1(x)+2fn+2(x)+?+k【題型9楊輝三角問題】【例9.1】（2425高二上·全國·隨堂練習(xí)）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【例9.2】（2324高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．CB．第2023行中從左往右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等C．記第n行的第i個數(shù)為ai，則i=1D．第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為8:13【變式9.1】（2425高二上·上海浦東新·期中）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第11行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第100行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.【變式9.2】（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第15行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.一、單選題1．（2324高二下·天津西青·期末）(x?1)10的展開式的第7項的系數(shù)為（

A．C107 B．C106 C．2．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若(x+3x2A．9 B．10 C．11 D．123．（2324高二下·河北秦皇島·階段練習(xí)）985+211被10除所得的余數(shù)為（A．1 B．2 C．0 D．94．（2324高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知(x?1)n的二項展開式中二項式系數(shù)和為32，若(x?1)n=a0A．80 B．192 C．?192 D．?805．（2024·湖南衡陽·一模）(x2?1xA．30 B．?30 C．60 D．?606．（2324高二下·全國·單元測試）已知二項式ax+13xn(a>0)的展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256，展開式中xA．1 B．14 C．2 D．7．（2324高二下·天津?yàn)I海新·期中）已知f(x)=(2?x)8=A．a(chǎn)B．f(?1)除以5所得的余數(shù)是1C．a(chǎn)D．a(chǎn)8．（2425高二下·山東·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．在第10行中第5個數(shù)最大B．第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)相等C．CD．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)二、多選題9．（2324高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）在x?12xA．所有系數(shù)的絕對值之和為129 B．xC．系數(shù)最大項為第3項 D．有理項共有5項10．（2324高二下·貴州安順·期中）關(guān)于x2A．所有項的二項式系數(shù)和為64 B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為?20 D．系數(shù)最大的項為第3項11．（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知1?2x2021=aA．展開式中所有項的系數(shù)和為?1B．展開式中二項系數(shù)最大項為第1010項C．a(chǎn)D．|三、填空題12．（2324高二下·福建福州·階段練習(xí)）若2x?m(x?1)5的展開式中x3的系數(shù)為40，則實(shí)數(shù)m=13．（2425高三上·上海·開學(xué)考試）設(shè)x∈R，若(3+x)5=a0+a14．（2324高二下·山東菏澤·期中）如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第行中從左至右第11與第12個數(shù)的比為1∶2．四、解答題15．（2425高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知x+1(1)求展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大項．16．（2024高三·全國