選填題專項(xiàng)突破空間向量與立體幾何(教師版)

選填題專項(xiàng)突破：空間向量與立體幾何題型一、點(diǎn)線面的位置關(guān)系1.空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（）A.若則B.為異面直線且，則與中至少一條相交C.若與所成的角相等，則D.若，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中的線面位置關(guān)系逐個對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于，若，則或，又，則或，故錯誤；對于，若與都不相交，則，則，這與是異面直線矛盾，故正確；對于，若與和所成的角相等，如果，則，故錯誤；對于，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故錯誤.故選：.2.（多選）設(shè)是兩個平面，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么．B.如果，，那么．C.如果，，，，那么．D.如果，，，，那么．【答案】AB【分析】由線面垂直的定義可知選項(xiàng)A正確；由面面平行的性質(zhì)可知選項(xiàng)B正確；由線面垂直的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)C錯誤；由面面平行的判定定理可知選項(xiàng)D錯誤.【詳解】對于A.如果，那么直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，由于，故，選項(xiàng)A正確.對于B.如果，那么平面內(nèi)的任意一條直線都與平面平行，由于，故，選項(xiàng)B正確.對于C.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.如圖，選項(xiàng)條件中直線不一定是平面與平面的交線，故不能推出.選項(xiàng)C錯誤.對于D.平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.如圖，選項(xiàng)條件中兩直線可能平行，不能得到.選項(xiàng)D錯誤.故選：AB.3.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為所在棱的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.直線與為異面直線 D.平面【答案】D【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，判斷垂直和平行關(guān)系.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為，對于A.，，，，，，，所以與不垂直，故A錯誤；對于B.平面的法向量為，，所以與平面的法向量不垂直，則與平面不平行，故B錯誤；對于C.，，，，所以，則，故C錯誤；對于D.，，，，，，，，平面，所以平面，故D正確.故選：D4.（多選）三棱臺中，，設(shè)AB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為與BF交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，則()A.直線GH與直線異面 B.C.線段AE上存在點(diǎn)，使得平面D.線段BE上存在點(diǎn)，使得平面【答案】AD【解析】如圖所示，對于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，故與平面的交點(diǎn)為，且是唯一的.又因?yàn)锽，G，H三點(diǎn)不共線，所以GH不經(jīng)過點(diǎn)，又平面，所以直線GH與直線沒有交點(diǎn)，即直線GH與直線異面，故A正確；對于B，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)是的重心，，若，則，事實(shí)上：，所以是的中點(diǎn)，不成立，故B錯誤；對于CD選項(xiàng)，如圖，取線段BF的中點(diǎn)，連接并延長，交BE于點(diǎn)，下證平面：由為的中點(diǎn)可知，又平面平面，所以平面，故D正確，C錯誤；故選AD.題型二、空間幾何體的截面（交線）1.已知正方體中，點(diǎn)、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（）A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形【答案】B【分析】由題意，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，作出截面圖形可得結(jié)論.【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)、滿足，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接交于，延長交于點(diǎn)，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形.故選：B．2．已知三棱錐的側(cè)棱都相等,側(cè)棱的中點(diǎn)分別為,,,棱的中點(diǎn)為,平面．且,．若四面體的每個頂點(diǎn)都在球的球面上,則該球面與三棱錐側(cè)面的交線總長為（C）A．B．C．D．【解析】如圖所示：連結(jié),∵,,,,分別為各棱的中點(diǎn),,∴,∴點(diǎn)即為球的球心,∵平面,∴球面與三棱錐側(cè)面的交線總長為,故選C．題型三、空間幾何體的表面積、體積1．已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓臺的軸截面，利用其周長和兩底面圓半徑的關(guān)系列方程，求出，代入公式，即可求得圓臺的表面積.【詳解】

如圖，作出圓臺的軸截面,設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，故軸截面周長為，解得，所以上、下底面圓的面積分別為，，圓臺側(cè)面積，所以圓臺的表面積為.故選:C.2．已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，解得（負(fù)值已舍去）；因?yàn)槠矫?，所以，即，解得（?fù)值已舍去）；所以.故選：B3.如圖，按斜二測畫法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖為梯形其中以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則還原出原圖形，進(jìn)而確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，再根據(jù)相關(guān)特征計算幾何體體積即可.【詳解】由題意，所以，如圖，原圖形中，，所以直角梯形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺，，故選：D.4.如圖所示的五面體為《九章算術(shù)》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道。其中，四邊形，，均為等腰梯形，平面平面，，，，和間的距離為2，和間的距離為4，則該羨除的體積為______.【答案】12【分析】結(jié)合錐體體積體積公式，采用切割法求幾何體體積.【詳解】如圖：連接、則，，所以該羨除的體積為：.故答案為：125.已知正方體的表面積與體積之比為6，若，，則四面體的體積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【解析】依題意，，解得.如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，且與交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值，故選C.題型四、空間角1.在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，在等腰中，是中點(diǎn)，所以，所以，即異面直線與所成角的正弦值為.故選：C2．如圖，在正三棱柱中，若,則與所成角的大小為

（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連接，可得且，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，因?yàn)?，在直角中，可得，在直角中，可得，再取的中點(diǎn)，連接，可得，因?yàn)榈酌?，所以底面，在直角中，可得，所以，所以，所以異面直線與所成的角為.故選：C.3.如圖，在三棱錐PABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)，，，利用空間向量運(yùn)算得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.【詳解】設(shè)，，，則，，，，所以，故直線CE與DF所成的角為.故選：D4．在三棱錐中，兩兩垂直，，則直線與平面所成角的正切值等于（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得就是直線與平面所成角，在中計算可得答案.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)為，連接，作交于點(diǎn)，因?yàn)?，且，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，因?yàn)?，所?故選：D.5.如圖所示的幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)90°得到的．設(shè)是圓弧的中點(diǎn)，是圓弧上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則直線與平面所成角的正弦值最大為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先將圖形補(bǔ)全為一個正方體，然后以為原點(diǎn)，、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法算出直線與平面的所成角的正弦值，根據(jù)線面夾角定義確定夾角最大值，即可得結(jié)論．【詳解】由題意可將圖形補(bǔ)全為一個正方體，以為原點(diǎn)，、、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，，設(shè),,，其中、滿足，，，,0,，,,，,,，設(shè),,為平面的一個法向量，則即，取，則，，,,，設(shè)直線與平面的所成角為，則．由，，，設(shè)，，為銳角，則，令，，所以，則當(dāng)時有，，所以，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，即的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.6.已知如圖邊長為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【詳解】設(shè)，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.7.如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角的正切值等于．【答案】【分析】在平面ABC內(nèi)，過作，可證得平面，AH⊥平面BCD，過作，可得平面，則，故為二面角的平面角的補(bǔ)角，設(shè)，求出，即可得出答案.【詳解】在平面ABC內(nèi)，過作，垂足為，連接DH，由題意，，平面，∴平面，∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD，過作，垂足為，連接AR，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，故為二面角的平面角的補(bǔ)角．設(shè)，則由題設(shè)知，，在中，，，故二面角的正切值為．故答案為：．8.如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.【答案】【詳解】過A作的延長線于E，連結(jié)DE，∵平面平面，平面平面，∴平面∴E點(diǎn)即為點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影，∴為在平面內(nèi)的射影，

設(shè)，則，∴由余弦定理可得，∴，∴，又，∴，設(shè)二面角為，∴.而二面角與互補(bǔ)，∴二面角的余弦值為.故答案為：9.（多選）已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面所成的角為【答案】AC【分析】對于A，B，利用向量法，設(shè)出正方體棱長，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩直線對應(yīng)的向量，根據(jù)向量的夾角公式求出向量夾角，再根據(jù)異面直線所成角與向量夾角的關(guān)系得到結(jié)果.對于C，D，先求出平面的法向量，再根據(jù)直線的方向向量與法向量的夾角，結(jié)合直線與平面所成角和它們夾角的關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體棱長為，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.所以，.設(shè)直線與所成的角為，根據(jù)向量的夾角公式.先計算，，.則，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以直線與所成的角為.故A正確.由前面建立的坐標(biāo)系可知，，，.所以，.設(shè)直線與所成的角為，根據(jù)向量的夾角公式.先計算，，.則，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以直線與所成的角不是.故B錯誤.由前面建立的坐標(biāo)系可知，，，，.所以.設(shè)平面法向量為，因?yàn)椋?由，即，令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.先計算，，.則，所以直線與平面所成的角為.故C正確.由前面建立的坐標(biāo)系可知，.所以.平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.先計算，，.則，所以直線與平面所成的角不是.故D錯誤.故選：AC.10.（多選）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（

）A．多面體的外接球的表面積為B．的周長的最小值為C．線段長度的取值范圍為D．與平面所成的角的正弦值最大為【答案】AC【分析】根據(jù)題意將多面體放入正方體中，根據(jù)正方體外接球相關(guān)知識直接判斷A，根據(jù)圖形展開以及余弦定理判斷B，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線段長度和線面角公式判斷C和D.【詳解】對于A，由題意可知，多面體可以放在如圖所示的正方體當(dāng)中，

設(shè)中點(diǎn)為，則為多面體的外接球球心，所以多面體的外接球半徑為，則多面體的外接球的表面積為，故A正確.對于B，的周長為，將如下圖所示展開，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，

由，則，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，則的周長最小為，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，則，故C正確.對于D，由，所以，設(shè)平面法向量，由，令，則，則與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，取得與平面所成角的正弦值的最大值，故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.題型五、空間距離1.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A.B. C.D.【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.解：取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.2.已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=4，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為.【答案】【詳解】設(shè)在平面內(nèi)的射影為，則平面，由于平面，所以，過作，垂足分別為，由于，所以四邊形是矩形.由于平面，所以平面，平面，所以；同理可證得.所以，，，即到平面的距離是.故答案為：3.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到平面的距離為.【答案】/【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，又，在中，，所以是邊長為的等邊三角形，則，，即，解得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.4.已知四面體滿足，，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樗拿骟w滿足，，，，，，可得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.故選：D.5.已知正方體的棱長為為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為（

）A．1B．C．D．2【答案】B【詳解】由題意得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積轉(zhuǎn)化法為，當(dāng)與重合時，最大，最大為，此時最小，為.故選：B.6.在長方體中，若，，則直線到平面的距離是________.【答案】/6.72【詳解】易知，又面，面，所以面，則直線到平面的距離，與點(diǎn)到平面的距離相等，過作于，因?yàn)槊?，面，所以，又，，面，所以面，又，，則，在中，，得到，所以直線到平面的距離為，故答案為：.題型六、多面體與球的切、接1.三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）AB.C.D.【答案】B【分析】首先作圖構(gòu)造外接球的球心，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，最后代入三棱錐外接球的表面積公式.【詳解】如圖，點(diǎn)為外接圓的圓心，過點(diǎn)作平面的垂線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，所作兩條垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.故選：B2.在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體．在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】先求出各個邊長，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時，由勾股定理逆定理得⊥，故滿足四面體為一個鱉臑，取中點(diǎn)，連接，得到，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，從而求出外接球表面積.【詳解】因?yàn)橹苯侵?，為斜邊上的高，，，所以，，，，如圖，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時，由勾股定理逆定理得⊥，結(jié)合⊥，⊥，故滿足四面體為一個鱉臑，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤?，⊥，故，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，故該鱉臑外接球的表面積為為.故選：C3.已知點(diǎn)，，均在球的球面上運(yùn)動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為___________.【答案】【分析】由題意可得當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，由，列方程求出，從而可求出球的體積.【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的體積為.故答案為：4.已知三棱錐，二面角的大小為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為__________.【答案】【分析】利用已知條件得到為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，進(jìn)而求棱錐外接球半徑，即可得表面積.【詳解】由，則底面外接圓半徑，所以，外接圓是以為直徑的圓，又，且二面角的平面角為，結(jié)合對稱性，即在以為圓心，2為半徑的半圓上，要使棱錐體積最大，需保證到面的距離最大，故，此時，又，,都在面上，故面，同時，還要保證面積最大，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時最大面積，綜上，棱錐體積最大時，為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，如下圖，分別是中點(diǎn)，為的中心，為棱錐外接球球心，又，，所以，外接球半徑，故其表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件確定為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，再確定外接球球心，進(jìn)而求半徑為關(guān)鍵.5.已知正三棱錐的高為，且各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，則三棱錐體積的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】由外接球的體積得出球半徑，再由正三棱錐得出體積，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】如圖，設(shè)H為底面三角形的中心，PH為三棱錐的高，設(shè)為h，由題意得，，解得，該三棱錐為正三棱錐，,，，令，由，可得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，.故選：B6.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積值是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，取的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在側(cè)面上的投影為點(diǎn)，則點(diǎn)在上，利用求出球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離，再由棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)在側(cè)面上的投影為點(diǎn)，則點(diǎn)在上，且，，球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離為，所以，，解得，所以.故選：A.7.三棱錐中，，平面平面ABC，且。記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取BC中點(diǎn)，連接OA，OP，則，則的面積為的面積，由可得的面積為，于是三棱錐的表面積為，由等體積可知，所以，故.設(shè)函數(shù)，且，則，當(dāng)單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，所以，所以時，取得最小值，故答案為．題型七、綜合1.（多選）在正方體中，分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面C.平面D.與所成的角是【答案】ABD【分析】A．利用三角形中位線進(jìn)行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．2.（多選）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點(diǎn)，且，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.平面C.的面積與的面積相等D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【分析】由正方體性質(zhì)得線面垂直，線面平行，點(diǎn)到平面的距離，由體積公式確定三棱錐體積，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】由正方體的性質(zhì)平面,平面,則，又，，平面，所以平面，平面，則，A正確；由正方體的性質(zhì)知平面，即平面，B正確；由正方體性質(zhì)得A到直線的距離為，而到直線的距離為，兩個三角形面積不相等，C錯；，而A到平面的距離即到平面的距離為，因此為定值，D正確，故選：ABD．3.（多選）如圖，在正方體中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，則（）．A.點(diǎn)在平面上的射影不可能是點(diǎn)B.點(diǎn)在平面上的射影到，兩點(diǎn)的距離相等C.當(dāng)點(diǎn)與頂點(diǎn)A重合時，直線與平面所成角的正切值為D.當(dāng)點(diǎn)與頂點(diǎn)重合時，點(diǎn)到平面的距離等于【答案】BCD【分析】對于A，先證明平面，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，即可排除A項(xiàng)；對于B，證明平面平面，得點(diǎn)P在平面上的射影在直線上，即得結(jié)論；對于C，由平面可得當(dāng)點(diǎn)P與頂點(diǎn)A重合時，直線與平面所成角即，計算即可判斷；對于D，先利用等體積證得點(diǎn)C到平面的距離等于，再由平面，即得結(jié)論.【詳解】對于A，如圖，連接，因平面，平面則,又,平面，故得平面，又平面，故直線，同理，又平面,故得直線平面．當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時，，此時點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面上的射影，故A錯誤；對于B，連接，，，由A項(xiàng)已得平面,而平面，故得平面平面，為這兩平面的交線，于是點(diǎn)P在平面上的射影在直線上，顯然為線段的中垂線，故B正確；對于C，因平面，則與平面所成的角等于與平面所成的角，即，設(shè)正方體棱長為1，則，故C正確；對于D，如圖，設(shè)正方體棱長為1，平面，因,,由，可得,解得，而,即點(diǎn)C到平面