基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

基本不等式教學(xué)目標(biāo)：1．探索并了解基本不等式的證明；2．體會(huì)證明不等式的基本思想方法；3．能應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的不等式證明問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；2.從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：用基本不等式求最大值和最小值。教學(xué)方法：情境教學(xué)法、講授法、直觀教學(xué)法教學(xué)工具：多媒體教學(xué)過(guò)程：情景設(shè)置：

（展示并介紹古代弦圖）同學(xué)們現(xiàn)在看到的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中著名的一副圖，叫做弦圖。它是由我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的。早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一。（展示24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）大家現(xiàn)在看到的是2002年在我們北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。這個(gè)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)源于古代弦圖。它的色調(diào)明暗相間，使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民的熱情好客。弦圖不僅造型美觀，而且蘊(yùn)藏著很多玄機(jī),他的玄機(jī)當(dāng)然不僅僅是像風(fēng)車這么簡(jiǎn)單，今天咱們也來(lái)研究一下弦圖。二、引入新知：?jiǎn)栴}一：請(qǐng)觀察會(huì)標(biāo)圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們?cè)诿娣e上有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?有正方形和直角三角形；正方形ABCD的面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上正方形EFGH的面積，即正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和。如果令，那么，則正方形ABCD的面積，4個(gè)直角三角形的面積之和，故有。問(wèn)題二：它們有相等的時(shí)候嗎？(演示幾何畫(huà)板，學(xué)生觀察，分析得出結(jié)果)。我們可以得出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；這其實(shí)就是一個(gè)從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用了數(shù)學(xué)中非常重要的數(shù)形結(jié)合的思想方法。故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。思考：同學(xué)們?nèi)绾卫斫狻爱?dāng)且僅當(dāng)”？當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。問(wèn)題三：如果是任意實(shí)數(shù)，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，你能給出證明嗎？（學(xué)生自主完成）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。這是作差比較法，將得到的差值與零作比較。因此我們可以得出結(jié)論1：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。這是一個(gè)很重要的不等式，對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。問(wèn)題四：如果，用分別代替，結(jié)果如何？可得。通常我們把上式寫(xiě)為我們可以得出結(jié)論2：基本不等式：如果，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。思考：能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明？（學(xué)生活動(dòng)）證法一：作差比較法。沿用問(wèn)題三的證明過(guò)程，用分別代替可得出證明。證法二：請(qǐng)同學(xué)們把以下證明過(guò)程補(bǔ)充完整：要證①只要證②要證②,只要證③要證③,只要證④顯然,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),④中的等號(hào)成立。這種證明方法叫“分析法”，實(shí)際就是執(zhí)果索因的思想方法。同學(xué)們還有沒(méi)有用不等式的性質(zhì)證明這個(gè)不等式的其他方法？這個(gè)問(wèn)題請(qǐng)大家在課后進(jìn)行探討。我們常把叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)，因此我們可以給出基本不等式的代數(shù)解釋：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。思考：能否用幾何方法進(jìn)行證明？思考：能否找出圖中與和相關(guān)的線段？易知是直徑，就是半徑，比如半徑DO=；可知～，則半弦CD=；顯然半弦CD半徑DO，故。因此我們可以得出基本不等式的幾何解釋：半弦不大于半徑?；蛘哒J(rèn)為是：直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的一半。除此以外你還可以想到基本不等式的其他解釋嗎？前面我們剛學(xué)了數(shù)列，和在數(shù)列中分別表示什么？分別表示正數(shù)的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。因此，從數(shù)列的角度看：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)?？梢钥闯鑫覀兛梢詮牟煌慕嵌热ダ斫饣静坏仁?。三、例題講解、強(qiáng)化認(rèn)知學(xué)以致用，我們可以兩個(gè)重要不等式來(lái)解決什么樣的問(wèn)題呢？運(yùn)用基本不等式的不同形態(tài)我們可以解決不同類型的問(wèn)題。形態(tài)一：例1.若，求的最小值。分析：直接運(yùn)用形態(tài)一解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，y取最小值2。結(jié)論1：已知x,y都是正數(shù),P是常數(shù).則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)）簡(jiǎn)稱為“積定和最小”。練一練：下列函數(shù)最小值是2的是（）注意：利用求最值時(shí)要注意：（1）各項(xiàng)皆為正數(shù)；（2）和為定值；（3）注意等號(hào)成立的條件。即“一正，二定，三相等”。形態(tài)二：例2.若，求的最大值。解：=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，y取最大值。注意：一正，二定，三相等。結(jié)論2：已知x,y都是正數(shù),S是常數(shù).則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)）簡(jiǎn)稱為：“和定積最大”小結(jié)：不論利用哪種形態(tài)的基本不等式求最值，都要注意以下幾點(diǎn)：（1）各項(xiàng)皆為正數(shù)；（2）和或積為定值；（3）注意等號(hào)成立的條件。即“一正，二定，三相等”。在生活中基本不等式有什么用呢？我們來(lái)看看下一個(gè)例題：例3用籬笆圍成一個(gè)面積為100的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：設(shè)菜園的長(zhǎng)、寬分別為、，則，籬笆的長(zhǎng)為。顯然由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短為40m。小結(jié)：一定要注意運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件：“一正，二定，三相等”。練一練：用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？四、反思小結(jié)，概括提煉1、掌握了兩個(gè)不等式；2、掌握了基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，求最值的時(shí)候要注意：一正，二定，三相等；積定和最小與和定積最大。3、感受了