分形理論講稿

分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一

前言

一、非線性復(fù)雜系統(tǒng)

（一）什么是分形（FRACTAL）

（二）自相似性

（三）標(biāo)度不變性

二、非歐氏幾何學(xué)（分形幾何學(xué)）

三、分形理論的應(yīng)用

結(jié)束語(yǔ)

分形理論

——非線性科學(xué)三大理論前沿之一前言

自然界大部分不是有序的、平衡的、穩(wěn)定的和確定性的，而是處于無(wú)序的、不穩(wěn)定的、非平衡的和隨機(jī)的狀態(tài)之中，它存在著無(wú)數(shù)的非線性過(guò)程，如流體中的湍流就是其中一個(gè)例子。在生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，生命現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象都是一種復(fù)雜現(xiàn)象，非線性關(guān)系更是常見(jiàn)?？陀^世界是復(fù)雜的，所以科學(xué)家們認(rèn)為“世界在本質(zhì)上是非線性的”。但以往人們對(duì)復(fù)雜事物的認(rèn)識(shí)總是通過(guò)還原論方法把它加以簡(jiǎn)化，即把非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性問(wèn)題。這種認(rèn)識(shí)方法雖然在科學(xué)研究中發(fā)揮過(guò)巨大作用，但是隨著科學(xué)技術(shù)和社會(huì)的發(fā)展，已經(jīng)暴露出它的局限性，從而要求人們直接研究復(fù)雜事物，以便更準(zhǔn)確、更充分地反映其本來(lái)面目。因此，一門研究復(fù)雜現(xiàn)象的非線性科學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。在非線性世界里，隨機(jī)性和復(fù)雜性是其主要特征，但同時(shí)，在這些極其復(fù)雜的現(xiàn)象背后，存在著某種規(guī)律性。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來(lái)處理這些難題，透過(guò)撲朔迷離的無(wú)序的混亂現(xiàn)象和不規(guī)則的形態(tài)，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律、局部和整體之間的本質(zhì)聯(lián)系。

目前國(guó)內(nèi)外定期召開(kāi)有關(guān)分形的學(xué)術(shù)會(huì)議，出版會(huì)議論文集和關(guān)于分形的專著，在重要期刊上經(jīng)常發(fā)表涉及分形理論和應(yīng)用的論文。世界上1257種學(xué)術(shù)刊物在80年代后期發(fā)表的論文中,與分形有關(guān)的占據(jù)37.5%。從發(fā)表論文來(lái)看，所涉及的領(lǐng)域包括哲學(xué)、物理、化學(xué)、材料化學(xué)、電子技術(shù)、表面科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)、地震學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、人口學(xué)、情報(bào)學(xué)、商品學(xué)、電影美學(xué)、思維、音樂(lè)、藝術(shù)等。分形是一門新的學(xué)科，它的歷史很短，目前正處在發(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強(qiáng)大的生命力。研究對(duì)象有一類問(wèn)題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？英國(guó)的海岸線地圖研究對(duì)象（續(xù)）當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺(沒(méi)有刻度)來(lái)測(cè)量時(shí)，對(duì)海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來(lái)近似。因此，測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的。如果你用更小的尺子來(lái)刻畫這些細(xì)小之處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無(wú)數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測(cè)得的曲線長(zhǎng)度也就越大。如果尺子小到無(wú)限，測(cè)得的長(zhǎng)度也是無(wú)限。

研究對(duì)象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長(zhǎng)度是多少：決定與尺子的長(zhǎng)短。海岸線的長(zhǎng)度是無(wú)限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實(shí)看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。海岸線什么有界？（長(zhǎng)度、面積、體積顯然無(wú)界）。Koch曲線Koch曲曲線（續(xù)）Koch曲線線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)學(xué)界成為一個(gè)個(gè)魔鬼。同樣的道理：：長(zhǎng)度無(wú)限、、面積為零、、而曲線還有有“界”。另外，有一個(gè)個(gè)特點(diǎn)：當(dāng)取取其中的一部部分展開(kāi)，與與整體有完全全的自相似性性，似乎是一一個(gè)什么東西西的無(wú)數(shù)次的的自我復(fù)制。。自然界中的其其他事物取下一片蕨類類植物葉子似似乎與整體有有某種相似性性。England的海岸線線從視覺(jué)上也也感覺(jué)有某種種自相似性一、非線性復(fù)復(fù)雜系統(tǒng)（一）什么是是分形（fractal）“分形”這個(gè)個(gè)名詞是由美美國(guó)IBM公公司研究中心心物理部研究究員暨哈佛大大學(xué)數(shù)學(xué)教授授曼德勃羅特特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次次提出（創(chuàng)造造）的，其原原義是“不規(guī)規(guī)則的，分?jǐn)?shù)數(shù)的，支離破破碎的”物體體，這個(gè)名詞詞是參照了拉拉丁文fractus(弄碎的)后后造出來(lái)的。。它含有英文文中frature(分分裂)fraction（分?jǐn)?shù)）的的雙重意義。。而我國(guó)在山山西五臺(tái)山南南山寺的影壁壁墻上的碑文文中，早在清清朝時(shí)代就有有了“日月光光明，分形變變化”的語(yǔ)句句。人類在認(rèn)識(shí)世世界和改造世世界的活動(dòng)中中離不開(kāi)幾何何學(xué)。在歷史史上，科學(xué)技技術(shù)的發(fā)展與與幾何學(xué)的進(jìn)進(jìn)步始終是密密切相關(guān)的。。在生產(chǎn)實(shí)踐踐和科學(xué)研究究中，人們用用以描述客觀觀世界的幾何何學(xué)是歐幾里德幾何何學(xué)，以及解析幾何、射射影幾何、微微分幾何等，它們能有有效地描述三三維世界的許許多現(xiàn)象，如如各種工業(yè)產(chǎn)產(chǎn)品的現(xiàn)狀，，建筑的外形形和結(jié)構(gòu)等。。但是，自然然界大多數(shù)的的圖形都是十十分復(fù)雜而且且不規(guī)則的。。例如：海岸岸線、山形、、河川、巖石石、樹(shù)木、森森林、云團(tuán)、、閃電、海浪浪等等，例如如圖1.1、、圖1.2和和圖1.3所所示。用歐幾幾里德幾何學(xué)學(xué)是無(wú)能為力力的。圖1.1布布達(dá)拉宮中中藏族壁畫中中的云的形狀狀圖1.2日日本傳統(tǒng)繪繪畫中對(duì)海浪浪的描述圖1.3山山脈的復(fù)雜雜形態(tài)另外，在科學(xué)學(xué)研究中，對(duì)對(duì)許多非規(guī)則則性對(duì)象建模模分析，如星星系分布、滲滲流、金融市市場(chǎng)的價(jià)格浮浮動(dòng)等復(fù)雜對(duì)對(duì)象，都需要要一種新的幾幾何學(xué)來(lái)描述述。所以,一般般地可把“分分形”看作大小碎片聚集集的狀態(tài)，是是沒(méi)有特征長(zhǎng)長(zhǎng)度的圖形和和構(gòu)造以及現(xiàn)現(xiàn)象的總稱。。描述分形的幾幾何，稱為分分形幾何，又又稱為描述大大自然的幾何何。下面給出“分分形”的兩個(gè)個(gè)定義，在物物理上易于理理解，但不夠夠精確，也不不夠數(shù)學(xué)化。。定義1（Mandelbrot,1986）:部分以以某種形式與與整體相似的的形狀叫分形形。定義2（Edgar,1990）:分形集合合是這樣一一種集合，，它比傳統(tǒng)統(tǒng)幾何學(xué)研研究的所有有集合還更更加不規(guī)則則（irregular）,無(wú)論是放放大還是縮縮小，甚至至進(jìn)一步縮縮小，這種種集合的不不規(guī)則性仍仍然是明顯顯的。分形的概念念分形是具有有如下所列列性質(zhì)的集集合F：F具有精細(xì)細(xì)結(jié)構(gòu)，即即在任意小小的比例尺尺度內(nèi)包含含整體。F是不規(guī)則則的，以致致于不能用用傳統(tǒng)的幾幾何語(yǔ)言來(lái)來(lái)描述。F通常具有有某種自相相似性，或或許是近似似的或許是是統(tǒng)計(jì)意義義下的。F在某種方方式下定義義的“分維維數(shù)”通常常大于F的的撲維數(shù)。。F的定義常常常是非常常簡(jiǎn)單的，，或許是遞遞歸的。JuliaSetJuliaSet:Zn+1=Zn2+C令復(fù)數(shù)C為一定定值，將Z平面面上任意一一點(diǎn)代入，，則Z平平面上部部分區(qū)域收收斂，部分分區(qū)域發(fā)散散，而發(fā)發(fā)散與收斂斂間的邊界界，即為JuliaSet的圖圖形。根據(jù)C、Z0的不同會(huì)生生成不同的的Julia集合MandelbrotSet在復(fù)平面中中，M集是是通過(guò)下述述迭代式產(chǎn)產(chǎn)生的：Zn+1=Zn^2+C。。其中，Z和和c都是復(fù)復(fù)數(shù)，由各各自的實(shí)部部和虛虛部部組組成成Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCy展開(kāi)開(kāi)得得：：Xn+1=Xn2-Yn2+Cx（實(shí)實(shí)部部））Yn+1=2*XnYn+Cy（虛虛部部））對(duì)上上述述迭迭代代式式反反復(fù)復(fù)進(jìn)進(jìn)行行迭迭代代，，得得到到的的數(shù)數(shù)集集，，稱稱為為Mandelbrot集集，，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱M集集。。在在迭迭代代過(guò)過(guò)程程中中，，Z的的初初值值定定為為0，，而而C選選擇擇一一個(gè)個(gè)不不為為0的的數(shù)數(shù),使使C在在復(fù)復(fù)平平面面的的某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)有有規(guī)規(guī)律律地地變變化化，，對(duì)對(duì)于于二二次次函函數(shù)數(shù)fc(Z)=Z^2+C的的迭迭代代，，定定義義M集集為為：：M={c∈∈C:fck(0)/→→∞∞(k→→∞∞)}。。用不不同同的的C值值反反復(fù)復(fù)進(jìn)進(jìn)行行迭迭代代，，由由此此產(chǎn)產(chǎn)生生的的Zk序序列列有有兩兩種種情情況況：：（1））Zk序列列自自由由地地朝朝著著無(wú)無(wú)窮窮大大的的方方向向擴(kuò)擴(kuò)散散，，即即發(fā)發(fā)散散；；（2））Zk序列被被限制制在復(fù)復(fù)平面面的某某一區(qū)區(qū)域內(nèi)內(nèi)，即即收斂斂。建立判判斷收收斂與與發(fā)散散的判判斷準(zhǔn)準(zhǔn)則，，對(duì)于于那些些收斂斂的Zk序序列的的點(diǎn)，，設(shè)置置某種種顏色色的色色調(diào)，，就可可以顯顯示M集的的計(jì)算算機(jī)圖圖象。。對(duì)于于那些些發(fā)散散的Zk序序列的的點(diǎn)，，根據(jù)據(jù)發(fā)散散速度度的不不同，，按照照給定定的規(guī)規(guī)則著著上不不同顏顏色的的色調(diào)調(diào)，就就能顯顯示M集周周圍的的圖象象。自然界界中的的分形形山星云云星云云天空中中的云云朵植物的的葉子子

視網(wǎng)膜膜中央央動(dòng)脈脈顳上上支阻阻塞視乳頭頭旁毛毛細(xì)血血管瘤瘤毛細(xì)血血管分分布河流分分布圖圖自然界界中的的分形形股票價(jià)價(jià)格曲曲線巖石裂裂縫金屬損損傷裂裂縫道路分分布神經(jīng)末末梢的的分布布……………局部結(jié)結(jié)論從分析析上述述現(xiàn)象象可以以看到到，Julia、Mandelbrot集集合所所顯現(xiàn)現(xiàn)出來(lái)來(lái)的圖圖形是是極端端復(fù)雜雜的，，而且且存在在著自自相似似性（（即局局部等等于全全體）），而而這么么復(fù)雜雜的圖圖形是是由一一個(gè)非非常簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的的方程程通過(guò)過(guò)初值值的選選擇反反復(fù)迭迭代得得到的的結(jié)果果。反推回回來(lái)，，一個(gè)個(gè)具有有分形形特征征的自自然現(xiàn)現(xiàn)象是是否可可以認(rèn)認(rèn)為是是有一一個(gè)非非常簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的的方程程通過(guò)過(guò)初值值的選選擇反反復(fù)迭迭代得得到的的結(jié)果果？如如果是是，只只要找找到方方程和和初值值，就就可以以隨意意地生生成我我們所所希望望的圖圖形？？如何來(lái)來(lái)研究究分形形？Mandelbrot提出了了一個(gè)分分形維數(shù)數(shù)的概念念。在Euchlid幾何何學(xué)中我我們知道道維數(shù)的的概念點(diǎn)---0維；；線---1維；；面---2維；；體---3維。。（二）自自相似性性分形具有有“粗糙和自自相似”的直觀觀特點(diǎn)。。一個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)的自相似性性是指某種種結(jié)構(gòu)或或過(guò)程的的特征從從不同的的空間尺尺度或時(shí)時(shí)間尺度度來(lái)看都都是相似似的，或或者某系系統(tǒng)或結(jié)結(jié)構(gòu)的局局域性質(zhì)質(zhì)或局域域結(jié)構(gòu)與與整體類類似。另另外，在在整體與與整體之之間或部部分與部部分之間間，也會(huì)會(huì)存在自自相似性性。一般般情況下下自相似似性有比比較復(fù)雜雜的表現(xiàn)現(xiàn)形式，，而不是是局域放放大一定定倍數(shù)以以后簡(jiǎn)單單地和整整體完全全重合。。人們?cè)谟^觀察和研研究自然然界的過(guò)過(guò)程中，，認(rèn)識(shí)到到自相似似性可以以存在于于物理、、化學(xué)、、天文學(xué)學(xué)、生物物學(xué)、材材料科學(xué)學(xué)、經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)，以以及社會(huì)會(huì)科學(xué)等等眾多的的科學(xué)之之中，可可以存在在于物質(zhì)質(zhì)系統(tǒng)的的多個(gè)層層次上，，它是物物質(zhì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)、發(fā)展展的一種種普遍的的表現(xiàn)形形式，即即是自然然界普遍遍的規(guī)律律之一。。下面舉舉幾個(gè)例例子來(lái)說(shuō)說(shuō)明自相相似性。。太陽(yáng)系的的構(gòu)造與與原子的的結(jié)構(gòu)作作一對(duì)比比，就會(huì)會(huì)發(fā)現(xiàn)這這兩個(gè)系系統(tǒng)在某某些方面面具有驚驚人的相相似。雖雖然這兩兩個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)在自然然界中尺尺度相差差如此懸懸殊，但但它們物物質(zhì)系統(tǒng)統(tǒng)之間存存在著自自相似的的性質(zhì)。。物質(zhì)系統(tǒng)統(tǒng)之間的的自相似似性在生生物界也也廣泛地地存在著著。以人人為例，，人是由由類人猿猿進(jìn)化到到一定程程度的產(chǎn)產(chǎn)物，解解剖學(xué)研研究表明明，人體體中的大大腦、神神經(jīng)系統(tǒng)統(tǒng)、血管管、呼吸吸系統(tǒng)、、消化系系統(tǒng)等在在結(jié)構(gòu)上上都具有有高度的的自相似似性。圖圖1.4是人體體小腸的的結(jié)構(gòu)，，由圖可可以看到到，當(dāng)以以不同的的放大倍倍數(shù)觀察察小腸結(jié)結(jié)構(gòu)時(shí)，，即從a到e較較大的形形態(tài)與較較小的形形態(tài)之間間的相似似表明小小腸結(jié)構(gòu)構(gòu)具有自自相似性性。圖1.4人人體小腸腸的自相相似結(jié)構(gòu)構(gòu)一棵大樹(shù)樹(shù)由許多多樹(shù)枝和和樹(shù)葉組組成，若若把一根根樹(shù)枝與與該棵大大樹(shù)相比比，在構(gòu)構(gòu)成形式式上完全全相似。。又會(huì)發(fā)發(fā)現(xiàn)該樹(shù)樹(shù)枝上分分叉長(zhǎng)出出來(lái)的更更小的細(xì)細(xì)枝條，，仍具有有大樹(shù)構(gòu)構(gòu)成的特特點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)然，這這只能是在一定尺尺度上呈呈現(xiàn)相似似性，不不會(huì)無(wú)限限擴(kuò)展下下去。另另外，樹(shù)樹(shù)枝與樹(shù)樹(shù)枝之間間，樹(shù)葉葉與樹(shù)葉葉之間，，也呈現(xiàn)現(xiàn)出明顯顯的自相相似性。。再仔細(xì)細(xì)觀察樹(shù)樹(shù)葉的葉葉脈，也也可以發(fā)發(fā)現(xiàn)類似似的自相相似結(jié)構(gòu)構(gòu)。由上面我我們可以以看到，，自然界界的分形形，其自自相似性性并不是嚴(yán)格格的，而是，，在統(tǒng)計(jì)意意義下的的自相似似性，海岸線線也是其其中一個(gè)個(gè)例子。。凡是滿滿足統(tǒng)計(jì)計(jì)自相似似性的分分形稱之之為無(wú)規(guī)分形形。另外，，還有所所謂有規(guī)規(guī)分形,這類分分形,由由于它它是按一一定的數(shù)數(shù)學(xué)法則則呈現(xiàn)，，因此具具有嚴(yán)格的自自相似性性。所謂koch曲線，，就是屬屬于有規(guī)分形形,如圖圖1.5所示。。圖1.5三三次koch曲曲線它的生成成方法是是把一條條直線等等分成三三段，將將中間一一段用夾夾角為600的二條等等長(zhǎng)（1/3））的折線線來(lái)代替替，形成成一個(gè)生生成單元元，如圖圖1.5(b).然后后再把每每一條直直線段用用生成單單元進(jìn)行行代替，，經(jīng)過(guò)無(wú)無(wú)窮多次次迭代后后就呈現(xiàn)現(xiàn)一條無(wú)無(wú)窮多彎彎曲的koch曲線。。用它來(lái)來(lái)模擬自自然界中中的海岸岸線是相相當(dāng)理想想的。koch曲線是是分形的的，因?yàn)闉樗亲宰韵嗨频牡?。自相似性性就是跨跨尺度的的?duì)稱。它意味味著遞歸歸，在一一個(gè)圖形形內(nèi)部還還有圖形形。從圖圖1.5（e））中可以以清楚看看到這一一點(diǎn)。自自相似性性指的是是，把要要考慮的的圖形的的一部分分放大，，其形狀狀與整體體相同。。設(shè)想把把圖1.5（（e）中中的koch曲曲線區(qū)間間[0,1/3]中的的圖形放放大3倍倍，放大大后的圖圖形與原原來(lái)的曲曲線形狀狀完全相相同。把把區(qū)間[2/3,1]放大3倍，也也會(huì)得到到同樣的的結(jié)果。。雖然區(qū)區(qū)間[1/3,1/2]，，[1/2,2/3]的圖形形是傾斜斜的，但但是把它它放大，，也會(huì)得得到同樣樣的結(jié)果果。若把把區(qū)間[0,1/9]的圖形形放大9倍，同同樣也可可以產(chǎn)生生與原來(lái)來(lái)相同的的圖形。。對(duì)更小小的部分分進(jìn)行放放大也是是如此，，不論多多小部分分，若把把它放大大到適當(dāng)當(dāng)大小，，應(yīng)該能能得出與與原來(lái)相相同的圖圖形。（三）標(biāo)度不不變性所謂標(biāo)度不變變性，是指在在分形上任選選一局部區(qū)域域，對(duì)它進(jìn)行行放大，這時(shí)得到的的放大圖形又又會(huì)顯示出原原圖的形態(tài)特特性。因此,對(duì)于分形，，不論將其放放大或縮小，，它的形態(tài)、、復(fù)雜程度、、不規(guī)則性等等各種特點(diǎn)均均不會(huì)變化。。所以標(biāo)度不不變性又稱為為伸縮對(duì)稱性。通俗一點(diǎn)說(shuō)說(shuō)，如果用放放大鏡來(lái)觀察察一個(gè)分形，，不管放大倍倍數(shù)如何變化化，看到的情情形是一樣的的，從觀察到到的圖象，無(wú)無(wú)法判斷所用用放大鏡的倍倍數(shù)。所以具有自相相似特性的物物體（系統(tǒng)）），必定滿足足標(biāo)度不變性性，或者說(shuō)這這類物體設(shè)有有特性長(zhǎng)度。。上面介紹的的koch曲曲線是具有嚴(yán)嚴(yán)格的自相似似性的有規(guī)分分形，無(wú)論將將它放大與縮縮小多少倍，，它的基本幾幾何特性都保保持不變，很很顯然，它具具有標(biāo)度不變變性。因此,可以看看到,自相似似性與標(biāo)度不不變性是密切切相關(guān)的。自自相似性和標(biāo)標(biāo)度不變性是是分形的兩個(gè)重要特性性。對(duì)于“特征長(zhǎng)度”這一名詞，，作一簡(jiǎn)單的的說(shuō)明，自然然界存在的所所有物體的形形狀和人類迄迄今所考慮的的一切圖形，，大致可分為為如下兩種：具有特征長(zhǎng)度度的圖形和不不具有特征長(zhǎng)長(zhǎng)度的圖形。。對(duì)于特征長(zhǎng)度，并沒(méi)有嚴(yán)格格的定義，一一般認(rèn)為能代表物體的的幾何特征的的長(zhǎng)度，就稱之為該該物體的特征征長(zhǎng)度。如一一個(gè)球的半徑徑、正方體的的邊長(zhǎng)、人的的身高、汽車車的長(zhǎng)度，這這些都是各個(gè)個(gè)物體的特征征長(zhǎng)度，它們們很好地反映映了這些物體體的幾何特征征。對(duì)具有特特征長(zhǎng)度的物物體的形狀，，對(duì)它們即使使稍加簡(jiǎn)化，，但只要其特特征長(zhǎng)度不變變，其幾何性性質(zhì)也不會(huì)有有太大的變化化。如豎起一一個(gè)代替人的的、與人具有有相同高度的的圓柱，那么么從遠(yuǎn)處去看看，也不會(huì)有有太大的差錯(cuò)錯(cuò)；如果再精精細(xì)一點(diǎn)，以以小圓柱代替替手和腿，以以矩形代替身身軀，以球代代替頭，那么么就會(huì)很像人人了。換句話話說(shuō)，關(guān)于這這類物體,可可以用幾何學(xué)學(xué)上熟知的矩矩形體、圓柱柱、球等簡(jiǎn)單單形狀加以組組合，就能很很好地與其構(gòu)構(gòu)造近似。二、非歐氏幾幾何學(xué)（分形形幾何學(xué)）歐幾里德幾何何學(xué)（簡(jiǎn)稱歐氏幾幾何學(xué)），是是一門具有2000多年年歷史的數(shù)學(xué)學(xué)分支，它是是以規(guī)整幾何圖圖形為研究圖圖象。所謂規(guī)整幾幾何圖形就是是我們熟悉的的點(diǎn)、直線與與線段；平面面與平面上的的正方形、矩矩形、梯形、、菱形、各種種三角形以及及正多邊形等等。空間中的的正方體、長(zhǎng)長(zhǎng)方體、正四四面體等。另另外一類就是是曲線或由曲曲面所組成的的幾何圖形，，平面上的圓圓與橢圓，空空間中的球、、橢球、圓柱柱以及圓臺(tái)等等。這些點(diǎn)、、直線、平面面圖形、空間間圖形的維數(shù)數(shù)（歐氏維數(shù)數(shù)）分為為0、1、2、、和3。對(duì)規(guī)規(guī)整幾何圖形形的幾何測(cè)測(cè)量是指長(zhǎng)長(zhǎng)度（（邊長(zhǎng)長(zhǎng)、周周長(zhǎng)以以及對(duì)對(duì)角線線長(zhǎng)等等）、、面積積與體體積的的測(cè)量量。數(shù)學(xué)的的不規(guī)規(guī)則圖圖形實(shí)際上上，在在曼德德?tīng)柌侍靥氐膯?wèn)問(wèn)題提提出之之前，，數(shù)學(xué)學(xué)家就就曾經(jīng)經(jīng)構(gòu)造造過(guò)多多種不不規(guī)則則的幾幾何圖圖形，，他們們具有有和海海岸線線相似似的性性質(zhì)。。Cantor集集Cantor在在1883年構(gòu)構(gòu)造了了如下下一類類集合合：取取一段段歐式式長(zhǎng)度度為l的直直線段段，將將該線線段三三等分分，去去掉中中間的的一段段，剩剩下兩兩段。。再將將剩下下的兩兩段分分別三三等分分，各各去掉掉中間間的一一段，，剩下下四段段。將將這個(gè)個(gè)操作作進(jìn)行行下去去，直直至無(wú)無(wú)窮，，可得得到一一個(gè)離離散的的點(diǎn)集集，點(diǎn)點(diǎn)數(shù)趨趨于無(wú)無(wú)窮多多，而而長(zhǎng)度度趨于于零。。經(jīng)無(wú)無(wú)限次次操作作所得得到的的離散散點(diǎn)集集稱為為Cantor集。。Koch雪雪花線線瑞典數(shù)數(shù)學(xué)家家科赫赫（H.vonKoch)在1904年年提出出了一一種曲曲線，，它的的生成成方法法是把把一條條直線線段分分成三三段，，將中中間的的一段段用夾夾角為為60度的的兩條條等長(zhǎng)長(zhǎng)折線線來(lái)代代替，，形成成一個(gè)個(gè)生成成元，，然后后再把把每個(gè)個(gè)直線線段用用生成成元進(jìn)進(jìn)行代代換，，經(jīng)無(wú)無(wú)窮次次迭代代后就就呈現(xiàn)現(xiàn)出一一條有有無(wú)窮窮多彎彎曲的的Koch曲線線。Sierpinski集集首先，，將一一個(gè)等等邊三三角形形四等等分，，得到到四個(gè)個(gè)小等等邊三三角形形，去去掉中中間的的一個(gè)個(gè)，保保留它它的邊邊。將將剩下下的三三個(gè)小小三角角形再再分別別進(jìn)行行四等等分，，并分分別去去掉中中間的的一個(gè)個(gè)，保保留它它的邊邊。重重復(fù)操操作直直至無(wú)無(wú)窮，，得到到一個(gè)個(gè)面積積為零零，線線的歐歐式長(zhǎng)長(zhǎng)度趨趨于無(wú)無(wú)窮大大的圖圖形。。這個(gè)個(gè)圖形形被人人們稱稱為謝謝爾賓賓斯基基縷墊墊。Sierpinski地毯將一個(gè)正方方形九等分分，去掉中中間的一個(gè)個(gè)，保留四四條邊，剩剩下八個(gè)小小正方形。。將這九個(gè)個(gè)小正方形形再分別進(jìn)進(jìn)行九等分分，各自去去掉中間的的一個(gè)保留留它們的邊邊。重復(fù)操操作直至無(wú)無(wú)窮。對(duì)一個(gè)正六六面體，將將它的每條條邊進(jìn)行三三等分，即即對(duì)正六面面體進(jìn)行27等分，，去掉體心心和面心處處的7個(gè)小小正六面體體，剩下20個(gè)小正正六面體，，并保留它它們的表面面，重復(fù)操操作直無(wú)窮窮，得到的的圖形。體體積趨于零零，而其表表面的歐式式面積趨于于無(wú)窮大。。Sierpinski海綿Sierpinski集的共共同特點(diǎn)它們都是經(jīng)經(jīng)典幾何無(wú)無(wú)法描述的的圖形，是是一種“只只有皮沒(méi)有有肉”的幾幾何集合。。它們都具有有無(wú)窮多個(gè)個(gè)自相似的的內(nèi)部結(jié)構(gòu)構(gòu)，任何一一個(gè)分割后后的圖形放放大后都是是原來(lái)圖形形的翻版。。問(wèn)題在哪里里？以上是一些些經(jīng)典幾何何意義下的的“病態(tài)””圖形，以以Koch曲線為例例，以一維維來(lái)度量它它，它的長(zhǎng)長(zhǎng)度趨于無(wú)無(wú)窮，而以以二維來(lái)度度量它，它它的面積為為零，那么么，它究竟竟是幾維圖圖形?1維維？2維維？1．？？？？？維維嗎？經(jīng)典的維度度定義有問(wèn)問(wèn)題嗎？經(jīng)典幾何的的維度定義義在經(jīng)典幾何何下，點(diǎn)被被定義成0維的，點(diǎn)點(diǎn)沒(méi)有長(zhǎng)度度；直線被被定義成1維，只有有長(zhǎng)度，沒(méi)沒(méi)有面積，，平面圖形形被定義成成2維的，，有面積，，沒(méi)有體積積，立體圖圖形是3維維的，有體體積。經(jīng)典幾何討討論的維度度都是整數(shù)數(shù)，它們的的數(shù)值與決決定幾何形形狀的變量量個(gè)數(shù)及自自由度是一一致的，這這是一個(gè)很很自然的想想法。換一個(gè)角度度看維度根據(jù)相似性性來(lái)看線段段、正方形形和立方體體的維數(shù)。。首先把線線段、正方方形和立方方體的邊兩兩等分，這這樣，線段段成為長(zhǎng)度度一半的兩兩條線段，，正方形變變成邊長(zhǎng)為為原來(lái)邊長(zhǎng)長(zhǎng)1/2的的四個(gè)小正正方形，而而立方體而而成為八個(gè)個(gè)小立方體體，邊長(zhǎng)為為原來(lái)邊長(zhǎng)長(zhǎng)的1/2。原來(lái)的的線段、正正方形和立立方體分別別由2，4，8個(gè)把把全體分成成1/2的的相似形組組成。而2，4，8可改寫成成2的1，，2，3次次方，這里里的1，2，3分別別與其圖形形的經(jīng)驗(yàn)維維數(shù)相一致致。(1)長(zhǎng)度度=,面積積=2,體積=3（正方體））；(2)長(zhǎng)度度（半徑））=,面面積=,體體積=(球）；由上面兩兩式可以以看到，，長(zhǎng)度、、面積和和體積的的量綱是是長(zhǎng)度單單位的1、2和和3次方方，它們們恰好與與這些幾幾何圖形形存在空空間的歐歐氏維數(shù)數(shù)相等，，而且均均為整數(shù)數(shù)。除了正方方體和球球以外的的那些幾幾何圖形形的體積積，都可可以用正正方體或或球來(lái)進(jìn)進(jìn)行測(cè)量量?？偨Y(jié)歐氏氏幾何的的測(cè)量可可以看到到：第一一類幾何何圖形的的測(cè)量是是以長(zhǎng)度度為基礎(chǔ)礎(chǔ)；第二二類幾何何圖形也也是以長(zhǎng)長(zhǎng)度（兩兩點(diǎn)間的的距離r）為為基礎(chǔ)的的，平面面圖形以以圓為基基礎(chǔ)，空空間圖形形以球?yàn)闉榛A(chǔ)。。所以，，在歐氏氏幾何中中對(duì)規(guī)整整幾何圖圖形的測(cè)測(cè)量，可可以用下下式來(lái)表表示：在歐氏幾幾何測(cè)量量中，可可以把上上述兩類類幾何圖圖形（分分別以正正方體和和球作為為代表））歸納為為如下二二點(diǎn)：長(zhǎng)度=面積=(2.1)體積=式中a和和b為常常數(shù)，稱稱為幾何因子子，與具體體的幾何何圖形的的形狀有有關(guān)，如如對(duì)圓；對(duì)球.由由式（（2.1）可以以得出如如下結(jié)論：它們是以以兩點(diǎn)間間的距離離為基礎(chǔ)礎(chǔ)的，而而且它們們的量綱綱數(shù)分別別等于幾幾何圖形形存在的的空間的的維數(shù)。。在物理學(xué)學(xué)中，大大于3維維的空間間也是存存在的，，如把時(shí)時(shí)間和空空間一起起加以考考慮，就就得到了了所謂的的四維空空間。以上討論的維維數(shù)都是整數(shù)數(shù)，它們的數(shù)數(shù)值與決定幾幾何形狀的變變量個(gè)數(shù)及自自由度數(shù)是一一致的。也就就是說(shuō)，直線線上的任意點(diǎn)點(diǎn)可用1個(gè)個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示示，平面上的的點(diǎn)可用由2個(gè)實(shí)數(shù)組成成的數(shù)組來(lái)表表示……我們把自由度度數(shù)作為維數(shù)，也稱為經(jīng)驗(yàn)維數(shù)。現(xiàn)在我們會(huì)問(wèn)問(wèn):是否有非非整數(shù)維的幾幾何存在呢？？實(shí)際上,若若對(duì)長(zhǎng)度為1的線段n等等分，每段長(zhǎng)長(zhǎng)為r，則(2.2)對(duì)面積為1的的正方形作n等分，每個(gè)個(gè)小正方形的的邊長(zhǎng)為r，，則(2.3)對(duì)體積為1的的正方體作n等分，每個(gè)個(gè)小正方體的的邊長(zhǎng)為r，，則(2.4)上面三個(gè)等式式中，r的冪冪次實(shí)際上就就是幾何體能能得到定常度度量的空間維維數(shù)，于是有有如下公式(2.5)對(duì)上式兩邊取取對(duì)數(shù)，則得得到空間維數(shù)數(shù)D的表達(dá)式式：（2.6）對(duì)koch曲曲線而言，在在第n步時(shí)，，其等長(zhǎng)折線線段總數(shù)為4n，每段長(zhǎng)長(zhǎng)度為，于是koch曲線的維數(shù)數(shù)D應(yīng)為（2.7）這是一個(gè)非整整數(shù)值，它定定量地表示koch曲線線的復(fù)雜程度度。koch曲線是一個(gè)個(gè)分形圖形。。分形圖形雖雖然一般都比比較復(fù)雜，但但其復(fù)雜程度度可用非整數(shù)數(shù)維數(shù)去定量量化，維數(shù)愈愈大，其復(fù)雜雜性就會(huì)相應(yīng)應(yīng)提高。我們上面講的的維數(shù)又稱為為相似維數(shù)，常用Ds表表示。一般地地，如果某圖圖形是由把原原圖縮小為1/a的相似似的b個(gè)圖形形所組成，則則有：，(2.8)因此，我們對(duì)對(duì)koch曲曲線，又可看看成是由把全全體縮小成1/3的四個(gè)個(gè)相似形構(gòu)成成的，按式（（2.8），，koch曲曲線的相似維維數(shù)則為(2.9)下面我們?cè)倏纯纯碖OCH曲線在歐氏氏幾何中的長(zhǎng)長(zhǎng)度是多少，顯然，，，，，，，那么由于它是一條條閉區(qū)間的曲曲線，在歐氏氏幾何中，其其面積為零。。換句講，koch曲線線在傳統(tǒng)的歐歐氏幾何領(lǐng)域域不可度量。。而分維恰恰好好反映了這種種曲線的不規(guī)則性和復(fù)復(fù)雜性。由以上的討論論，我們可以以看到，從傳統(tǒng)的幾何學(xué)學(xué)出發(fā)，我們用用非常簡(jiǎn)單的的一把直尺去去研究koch曲線，會(huì)會(huì)發(fā)現(xiàn)它十分分的復(fù)雜，它它包含無(wú)限的的層次結(jié)構(gòu)，，用什么樣的的尺子都很難難測(cè)量它，所所以我們說(shuō)koch曲線線是很復(fù)雜的的幾何對(duì)象。。從分形幾幾何學(xué)學(xué)出發(fā)，，我們們用一一個(gè)看看起來(lái)來(lái)很復(fù)復(fù)雜的的測(cè)量量單位位———一個(gè)個(gè)小的的koch曲線線———去測(cè)測(cè)量koch曲曲線，，所得得的結(jié)結(jié)果卻卻十分分簡(jiǎn)單單。對(duì)對(duì)比以以上兩兩種情情況：：歐氏幾幾何用簡(jiǎn)單單的圖圖形作作為工工具，，研究究某些些對(duì)象象時(shí)發(fā)發(fā)現(xiàn)存存在著著復(fù)雜雜性；；分形幾幾何用復(fù)雜雜的圖圖形（（恰恰恰是利利用自自相似似性，，利用用復(fù)雜雜圖形形的本本身或或其一一部分分）作作工具具,研研究究對(duì)象象時(shí)得得到非非常簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的的結(jié)果果。維數(shù)數(shù)的的含含義義分形形是是復(fù)復(fù)雜雜不不規(guī)規(guī)則則的的系系統(tǒng)統(tǒng),而而描描述述這這系系統(tǒng)統(tǒng)的的粗粗糙糙,破破碎碎,不不規(guī)規(guī)則則,不不光光滑滑程程度度及及復(fù)復(fù)雜雜性性的的定定量量指指標(biāo)標(biāo)和和手手段段就就是非非整整數(shù)數(shù)維維數(shù)數(shù):分維維,分分?jǐn)?shù)數(shù)維維數(shù)數(shù)是是描描述述復(fù)復(fù)雜雜對(duì)對(duì)象象或或系系統(tǒng)統(tǒng)的的最最基基本本特特征征--分分形形特特征征的的定定量量參參數(shù)數(shù).分維維D度度量量了了系系統(tǒng)統(tǒng)填填充充空空間間(致致密密)或或縫縫隙隙(疏疏松松)的的能能力力,刻刻劃劃了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的無(wú)無(wú)序序性性,表表征征了了動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)最最低低的的基基本本或或獨(dú)獨(dú)立立變變量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù).描述的對(duì)象層次性自相似性特征長(zhǎng)度表達(dá)方式維數(shù)人類創(chuàng)造的簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)物體(可微,可導(dǎo),連續(xù),光滑,規(guī)整)常無(wú)有用數(shù)學(xué)公式0及正整數(shù)1或2或3大自然創(chuàng)造的復(fù)(非歐幾何學(xué))雜的真實(shí)物體(不連續(xù),不可導(dǎo),不規(guī)則,粗糙,不光滑,曲折)有無(wú)用迭代語(yǔ)言,分維一般是分?jǐn)?shù)(可是正整數(shù))分形形幾幾何何學(xué)學(xué)與與歐歐氏氏幾幾何何學(xué)學(xué)的的差差異異分形形幾幾何何學(xué)學(xué)歐氏氏幾幾何何學(xué)學(xué)三、、分分形形理理論論的的應(yīng)應(yīng)用用分形形幾幾何何的的誕誕生生接接近近30年年，，但但它它對(duì)對(duì)多多種種學(xué)學(xué)科科的的影影響響是是極極其其巨巨大大的的。。分分形形理理論論在在生生物物學(xué)學(xué)、、地地球球物物理理學(xué)學(xué)、、物物理理學(xué)學(xué)和和化化學(xué)學(xué)、、天天文文學(xué)學(xué)、、材材料料科科學(xué)學(xué)、、計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)圖圖形形學(xué)學(xué)、、語(yǔ)語(yǔ)言言學(xué)學(xué)與與情情報(bào)報(bào)學(xué)學(xué)、、信信息息科科學(xué)學(xué)、、經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)等等領(lǐng)領(lǐng)域域都都有有廣廣泛泛的的應(yīng)應(yīng)用用。。生物學(xué)：：肺（人人肺的分分形維數(shù)數(shù)約為2.17；血管管（血管管直徑分分布的分分形維數(shù)數(shù)約為2.3）），人腦腦（人腦腦表面的的皺紋的的分形維維數(shù)約為為2.73-2.79）；蛋蛋白質(zhì)。。地球物理理學(xué)：海海岸線、、河流的的干流和和支流分分布、地地震研究究。物理學(xué)和和化學(xué)：：超導(dǎo)；；固體表表面；高高分子。。下面我們們舉一個(gè)個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)中的例例子。所所謂股票票價(jià)格的的變動(dòng)。。股票價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)圖雖然然經(jīng)?？煽稍趫?bào)紙紙（或電電視等））上看到到，但因因價(jià)格漲漲落得非非常厲害害，而且且完全是是隨機(jī)的的，因此此使人感感到幾乎乎無(wú)規(guī)律律可循。。但若從從統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)觀點(diǎn)解解析這一一變動(dòng)，，就會(huì)發(fā)發(fā)現(xiàn)有很很好的規(guī)規(guī)律。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)下下面兩個(gè)個(gè)法則：：⑴每個(gè)單單位時(shí)間間內(nèi)的股股票價(jià)格格變動(dòng)分分布，服服從特性性指數(shù)D≈1.7的對(duì)對(duì)稱穩(wěn)定定分布。。⑵單位時(shí)時(shí)間不論論取多大大或多小小，其分分布也是是相似的的。也就就是說(shuō)，，適當(dāng)?shù)氐馗淖兂叱叨?，就就可成為為同樣的的分布。。關(guān)于穩(wěn)態(tài)態(tài)分布,只討論論與分形形有關(guān)的的一些性性質(zhì)。若若把單位位時(shí)間T之間的的股票價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)x的分分布密度度記為P（x）），則下下述關(guān)系系成立：：此關(guān)系式式表示股票價(jià)格格變動(dòng)的的大小分分布為分分形。例如，，一天的的股票價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)在x元元以上，，比2x元以上上的變動(dòng)動(dòng)次數(shù)多多21.7≈3.2倍。法則（2）表示示股票價(jià)格格變動(dòng)在在時(shí)間上上也是分分形的。一天的的股票價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)圖形與與一年的的股票價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)圖形相相比，不不同的只只是股票票價(jià)格的的尺度，，而對(duì)變變動(dòng)情況況則很難難加以區(qū)區(qū)別。下面我們?cè)俳榻榻B分形對(duì)哲學(xué)的的影響。分形中充滿滿著辯證法思思想，它不僅僅為辯證法提提供新的事例例，而且可以以豐富人們對(duì)對(duì)辯證法的認(rèn)認(rèn)識(shí)。分形理理論中具有確確定性與隨機(jī)機(jī)性、內(nèi)在隨隨機(jī)性與外在在隨機(jī)性、局局部與整體、、簡(jiǎn)單與復(fù)雜雜等幾對(duì)矛盾盾的辯證關(guān)系系。后面，僅僅對(duì)所謂整體體與局部這一一對(duì)矛盾，存存在著辯證的的關(guān)系，加以以簡(jiǎn)要的闡述述。很早以前，人人們對(duì)部分（（局部）與整整體的關(guān)系，，是認(rèn)為整體體可以分解為為一些部分，，整體是由部部分組成的；；部分包含在在整體之中，，是整體的組組成部分，部部分相加可以以構(gòu)成整體。。因此，整體體等于部分。。在這一認(rèn)識(shí)識(shí)中,把部部分與整體的的關(guān)系理解為為機(jī)械的分解解和相加。比比如，人們?cè)谠谇竺娣e的過(guò)過(guò)程中就充分分體現(xiàn)了這一一思想。人們們正是基于這這種整體與部部分的關(guān)系的的看法，形成成簡(jiǎn)化事物的的方法——還還原論方法。。這種方法確確實(shí)為我們解解決了許多問(wèn)問(wèn)題，推動(dòng)了了科學(xué)技術(shù)的的發(fā)展。但是是，隨著科學(xué)學(xué)技術(shù)的發(fā)展展，說(shuō)明它并并非總是有效效的。17世紀(jì)，，伽利略（（Galileo，，G.1564～1642））在1638年出版版的《關(guān)于于新科學(xué)的的對(duì)話》一一書(shū)中提出出一個(gè)悖論：正整數(shù)集集合s1的的元素與正正整數(shù)平方方的集合s2的元素素是一樣多多的。人們們稱伽利略略悖論,可可以表示如如下：s1：1，2，3，…，，n…s2：12，22，32，…，n2…一方面從常常識(shí)來(lái)看，，s1的元元素顯然比比s2的元元素多。因因?yàn)閺?2到22就就少了2、、3兩個(gè)數(shù)數(shù)，從22到32缺缺少5、6、7、8四個(gè)數(shù)，，一般地從從n2到（（n+1））2就缺少少2n個(gè)正正整數(shù)；另另一方面從從上面所列列的一一對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)來(lái)看，s1與s2的的元素確實(shí)實(shí)是一樣多多的，或者者說(shuō)s1的的元素并不不比s2的的元素多。。當(dāng)時(shí)，人們們用有限數(shù)數(shù)的眼光來(lái)來(lái)看待無(wú)限限數(shù)的關(guān)系系，無(wú)法理理解這種奇奇特的現(xiàn)象象，所以稱稱它為伽利略悖論論。這個(gè)悖論論說(shuō)明什么么呢？在無(wú)無(wú)窮集合中中，整體可可以與部分分相等，或或者說(shuō)整體體不大于部部分。這說(shuō)說(shuō)明我們不能把有窮情況況下得出的的結(jié)論，不不加限止地地推廣到無(wú)無(wú)窮的情況況，說(shuō)明我我們以前對(duì)對(duì)整體與部部分的關(guān)系系的認(rèn)識(shí)是是有條件的的，不是普普遍有效的的。在部分（局局部）與整整體的關(guān)系系，分形幾幾何已經(jīng)