數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第四章 積分變換法2_第1頁
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傅立葉變換要求函數(shù)f

在有定義并且絕對可積。很多常見函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)，多項式，三角函數(shù)等都不滿足條件（在廣義的意義下仍可求），以時間t

為自變量的函數(shù)在區(qū)間無意義。這些都限制了傅立葉變換的應用，為此引入拉普拉斯

(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為§4.3拉普拉斯變換的概念和性質

在復參數(shù)p

的某個區(qū)域內(nèi)收斂。記作：若f(t)在內(nèi)的任一有限區(qū)間是分段連續(xù)的，且存在常數(shù)

使得

則在半平面Re(p)>c

內(nèi)，f(t)的拉普拉斯變換F(p)一定存在，且F(p)還是p的解析函數(shù)。拉普拉斯變換的存在條件：基本性質(注意p的范圍是復平面的一部分)：

1)基本變換:2)線性性質3)

微分性質若則4)積分性質6)位移性質7)延遲性質5)對拉普拉斯變換求導8)卷積性質練習：答案：拉普拉斯變換既適用于常微分方程，也適用于偏微分方程。例解常微分方程的初值問題:解：對t

進行拉普拉斯變換,設§4.4拉普拉斯變換的應用

則原方程變?yōu)檫M行拉普拉斯逆變換,考慮到

有例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y

進行拉普拉斯變換。則方程變?yōu)椋涸O而變?yōu)?/p>

解常微分方程得取拉普拉斯逆變換，得例：一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0度，求桿上溫度分布規(guī)律。解：需要求解定解問題思考：需要對哪一個自變量進行哪一種積分變換？對t

進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為二階方程，但是僅有一個邊界條件！考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)表示溫度，故

D(p)=0.

再由邊值條件可知，C(p)=F(p).

為求出u(x,t),

需要對U(x,p)進行拉普拉斯逆變換。由拉普拉斯變換表知，例

求解定解問題解：對t進行拉普拉斯變換。設我們得到常微分方程的通解為由邊界條件，從而，因為所以拉普拉斯變換的反演公式：利用留數(shù)基本定理，可得積分變換法求解定解問題的基本步驟：

1)選取恰當?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是2)注意定解條件的形式。假如對x進行拉普拉斯變換，而原方程是關于x的k

階方程，則定解條件中必須出現(xiàn)3)定解條件中部分條件需要進行相應的積分變換，部分條件不需要進行積分變換。對方程進行積分變換時用到的條件都不再進行相應的積分變換。4)通過積分變換

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