中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義 第34講 幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)學(xué)案

第34講幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)中心：O旋轉(zhuǎn)中心：O旋轉(zhuǎn)角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性質(zhì)：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋轉(zhuǎn)中心：B旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)中心：B旋轉(zhuǎn)角：∠ABA'=∠CBC'性質(zhì)：AB=A'B、CB=C'B連接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均為等腰三角形【例題講解】例題1．如圖所示，將一副三角板的直角頂點重合擺放在桌面上，若，則度．解：由圖，，則度．故35．例題2．如圖，中，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，設(shè)交于，連接，當旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為，是等腰三角形．解：繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，，，，是等腰三角形，，①，則，當，則，這不合題意舍去，②當，，，解得；③當，，，解得．故答案為或．【旋轉(zhuǎn)60°】得等邊例題3.如圖，在直角坐標系中，點A在y軸上，△AOE是等邊三角形，點P為x軸正半軸上任意一點，連接AP，將線段AP繞點A逆時針60°得到線段AQ，連接QE并延長交x軸于點F.（1）問∠QFP角度是否發(fā)生變化，若不變，請說明理由；（2）若AO=，OP=x，請表示出點Q的坐標（用含x的代數(shù)式表示）（1）不變（2）

【旋轉(zhuǎn)90°】構(gòu)造全等例題4．如圖，在平面直角坐標系中，點為第一象限內(nèi)一點，且．連結(jié)，并以點為旋轉(zhuǎn)中心把逆時針轉(zhuǎn)后得線段．若點、恰好都在同一反比例函數(shù)的圖象上，則的值等于多少？解：過作軸，過作，，，，，在和中，，，，，，，則；與都在反比例圖象上，得到，整理得：，即，△，，點為第一象限內(nèi)一點，，，則．故答案為．【旋轉(zhuǎn)180°】由中心對稱得平行四邊形例題5．如圖所示，拋物線與軸于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點．將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線，它的頂點為，與軸的另一個交點為．（1）四邊形是什么特殊四邊形，請寫出結(jié)果并說明理由；（2）若四邊形為矩形，請求出，應(yīng)滿足的關(guān)系式．解：（1）當，時，拋物線的解析式為：．令，得：．．令，得：．，，與關(guān)于點中心對稱，拋物線的解析式為：；四邊形是平行四邊形．理由：連接，，，與、與都關(guān)于點中心對稱，，，四邊形是平行四邊形．（2）令，得：．．令，得：，，，．要使平行四邊形是矩形，必須滿足，，，．，應(yīng)滿足關(guān)系式．

例題6．如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，與軸交于另一點．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖2，過點作軸于點，將繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)后得（點，，分別與點，，對應(yīng)），使點，在拋物線上，求點，的坐標．解：（1）拋物線過、，，．解得，，拋物線解析式．（2）如圖2，由題意知，繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)后得，設(shè)繞點旋轉(zhuǎn)，聯(lián)結(jié)，，，，，，四邊形為平行四邊形，且．、，設(shè)，則、在拋物線上，，，解得，．，．【旋轉(zhuǎn)過后落點問題】例題7．如圖，中，已知，，點在邊上，，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度后，如果點恰好落在初始的邊上，那么．解：當旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點落在邊上，如圖1，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到△，，，，，即；當點的對應(yīng)點落在邊上，如圖2，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到△，，，，，，，，，即，綜上所述，的值為或．故答案為或．例題8．如圖，在中，，點在上，且，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，且落在的延長線上，連接交的延長線于點，則．解：過作于點，，，在中，，，在中：，，，，△是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，在和中，，，，又（對頂角相等），，．故14．例題9．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），頂點為，拋物線與軸交于點，直線交軸于，且與這兩個三角形的面積之比為．（1）求點的坐標；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點與重合，此時點的對應(yīng)點恰好也在軸上，求拋物線的解析式．解：（1）如圖1，拋物線對稱軸，當時，，過點作軸于，易知，，，，，，，；（2），，，，如圖2，作于，于，則四邊形是矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，

【旋轉(zhuǎn)+“恰好”問題】例題10．如圖，在直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點、，點、分別在軸、軸上，且，，將繞原點順時針轉(zhuǎn)動一周，當與直線平行時點的坐標．【另外再可思考，當“AB所在直線與MN垂直時點A的坐標”】解：①，，，，，直線的解析式為，，，，，，，點的坐標為，；②圖②中的點與圖①中的點關(guān)于原點對稱，點的坐標為：，，故，、，．例題11．在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點，，以點為旋轉(zhuǎn)中心，把順時針旋轉(zhuǎn)，得．記旋轉(zhuǎn)角為．為．（Ⅰ）如圖①，當旋轉(zhuǎn)后點恰好落在邊上時，求點的坐標；（Ⅱ）如圖②，當旋轉(zhuǎn)后滿足軸時，求與之間的數(shù)量關(guān)系：（Ⅲ）當旋轉(zhuǎn)后滿足時，求直線的解析式（直接寫出結(jié)果即可）．解：（1）點，，得，，在中，由勾股定理，得，根據(jù)題意，有．如圖①，過點作軸于點，則，．有，得，，，點的坐標為，．（2）如圖②，由已知，得，，，在中，，軸，得，，；（3）若順時針旋轉(zhuǎn)，如圖，過點作于，過點作于，，，設(shè)，，則，在中，，，，，，直線的解析式為：，直線與直線垂直，且過點，設(shè)，把，代入得，，解得，互相垂直的兩條直線的斜率的積等于，直線的解析式為．同理可得直線的另一個解析式為．

【鞏固練習(xí)】1．如圖，在等邊中，是邊上一點，連接．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．若，，則的周長是．2.如圖一段拋物線：，記為，它與軸交于點和；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于，如此進行下去，直至得到，若點在第10段拋物線上，則的值為.3．如圖，中，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得△，當落在邊上時，連接，取的中點，連接，則的長度是．4．如圖，中，，，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到△處，此時線段與的交點為的中點，求線段的值．5．如圖，在直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到．求的函數(shù)表達式．6．如圖，四邊形是平行四邊形，，，點在軸的負半軸上，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，經(jīng)過點，點恰好落在軸的正半軸上，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．7.在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，直線經(jīng)過點，，將四邊形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線相交于點、．在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，若使？則點的坐標為．8．如圖，在中，，，點的坐標為，，將旋轉(zhuǎn)到的位置，點在上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為．9．已知正方形的邊長為5，在邊上運動，的中點，繞順時針旋轉(zhuǎn)得，問時，、、在一條直線上．10．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，點在線段上，點的橫坐標為，點在線段上，且，將繞點旋轉(zhuǎn)后得到△．（1）若點恰好落在軸上，試求的值；（2）當時，若△被軸分得兩部分圖形的面積比為，求該一次函數(shù)的解析式．11．在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到△．（1）如圖①，當點在線段延長線上時．①求證：；②求△的面積；（2）如圖②，點是邊的中點，點為線段上的動點，在繞點順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點的對應(yīng)點是，求線段長度的最大值與最小值的差．

12．如圖（1），在中，，，，動點在線段上以的速度從點運動到點，過點作于點，將繞的中點旋轉(zhuǎn)得到△，設(shè)點的運動時間為．（1）當點落在邊上時，求的值；（2）在動點從點運動到點過程中，當為何值時，△是以為腰的等腰三角形；（3）如圖（2），另有一動點與點同時出發(fā)，在線段上以的速度從點運動到點，過點作于點，將繞的中點旋轉(zhuǎn)得到△，連結(jié)，當直線與的一邊垂直時，求線段的長．

13．如圖，，，點為線段的中點，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，拋物線經(jīng)過點．（1）若該拋物線經(jīng)過原點，且，求該拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，點在拋物線上，且銳角，滿足，求的取值范圍．

14．如圖1，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，將沿軸對折得到，再將繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)后得△，，分別與點，，對應(yīng)）使點、在拋物線上，求點、的坐標；

15．點為圖①中拋物線為常數(shù)，上任一點，將拋物線繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的新圖象與軸交于、兩點（點在點的上方），點為點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點．（1）若點的坐標為，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖②，若原拋物線恰好也經(jīng)過點，點在第一象限內(nèi)，是否存在這樣的點使得是以為底的等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案1.解：是等邊三角形，，由逆時針旋旋轉(zhuǎn)得出，，，，，，，是等邊三角形，，的周長．故19．2.解：令，則，解得，，，由圖可知，拋物線在軸下方，相當于拋物線向右平移個單位，再沿軸翻折得到，拋物線的解析式為，在第10段拋物線上，．3.解：，，，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，故．4.解：，，，，繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到△處，，，點為的中點，，，過點作于，，解得，在中，，，，（等腰三角形三線合一），．5.解：直線與軸交于點，與軸交于點，、，如圖2，過點做交直線于點，過點作軸，在和中，，，，，點坐標為，設(shè)的解析式為，將，點坐標代入，得，解得，的函數(shù)表達式為；6.解：如圖所示：過點作軸于點，由題意可得：，，，則，故，，，，，．故．7.解：存在這樣的點和點，使．理由如下：過點畫于，連接，則，，，．設(shè)，，，如圖4，當點在點左側(cè)時，，在中，，解得，，（不符實際，舍去）．，，，如圖5，當點在點右側(cè)時，，．在中，，解得，，，，綜上可知，存在點，，，使．8.解：如圖，與的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，連接，過作軸于．點在上，點到、的距離相等，都是，即，，，，，，，點的坐標是，，由勾股定理得，，旋轉(zhuǎn)中心的坐標為，．故，．9.解：過作，交延長線于點，連接，，，，，，的中點，繞順時針旋轉(zhuǎn)得，，，，．，當時，、、在一條直線上．則是等腰直角三角形，，，．時，、、在一條直線上．故．10.解：（1）由題意，得，，如圖，過點作軸的垂線，交軸于點，交直線于點，易知：，，，，，，；（2）由（1）得，當時，點在軸右側(cè)；當時，點在軸左側(cè)．①當時，設(shè)與軸交于點，連接，由△被軸分得兩部分圖形的面積比為，△△，，，，；②當時，同理可得：；綜上所述，或．11.解：（1）①證明：，，，，（旋轉(zhuǎn)角相等），，；②過作于，過作于，如圖①：，，，，，，，，，，，，，△的面積為：；（2）如圖2，過作于，以為圓心為半徑畫圓交于，有最小值，此時在中，，，的最小值為；如圖，以為圓心為半徑畫圓交的延長線于，有最大值；此時，線段的最大值與最小值的差為．12.解：（1）如圖1，在中，，，，，當點落在邊上時，由題意得，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，△，，即，解得：，當點落在邊上時，；（2）當時，，解得：．，；當時，．（3）Ⅰ、當時，如圖6，，，，，；Ⅱ、當時，如圖7，，，，，；Ⅲ、當時，如圖8，由（1）有，，；當時，，；當時，，；當時，，．13.解：（1）過點作軸，垂足為．，．又，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．在和中，．，．．把點和點的坐標代入得：，解得：，．拋物線的解析式為．（2）如圖2所示：點，，為線段的中點，，．、兩點的縱坐標為1，軸．．當時，恰好．設(shè)點的坐標為．當點在軸上且時，則，即，解得：或（舍去）．當點位于軸的下方，點處時，且時，則，即，解得：或（舍去）．為銳角