幾種常用數(shù)值積分方法的比較匯總

1、貴州師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）誠信聲明學科分類號110.3420GUIZHOU NORMAL COLLEGE本科畢業(yè)論文題 目一幾種常用數(shù)值積分方法的比較潘曉祥 學號1006020540200院（系）數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學年級2010 級講師指導教師雍進軍職稱二0四年五月本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設(shè)計），是本人在指導老師 的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人

2、承擔。本科畢業(yè)論文作者簽名：年月曰貴州師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書畢業(yè)設(shè)計題冃幾種常用數(shù)值積分方法的比較作者姓名潘曉祥學號1006020540200年級2010 級所屬學院數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級四班指導教師簽名雍進軍講師職稱講師開題日期2013年7月10日主要目標1了解什么數(shù)值積分基本思想和一些常用的數(shù)值積分方法；2對各種數(shù)值積分方法的誤差以及代數(shù)精度進行分析；3對各積分方法進行比較總結(jié)出優(yōu)缺點。通過對幾種常用的數(shù)值積分方法進行了的分折*并用這幾種方法對被積函數(shù)是普通函數(shù)做了數(shù)值積分，并在計算機上進行實驗。數(shù)值積分是計算方法或數(shù)值分析理論中非常重要的內(nèi)容,數(shù)值積分方法

3、也 是解決實際計算問題的重要方法'對幾種常用數(shù)值積分方法的分析很必要。貴州師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書本文通過對復化求積公式，Newton -Coles求積公式，Romberg求積公式，咼斯型求積公式 進行分 析討論并在計算機上積分實驗，從代數(shù)精度,求積公式i吳差等角度對這些方法進行分析比較'并總結(jié)出毎種求積分法的優(yōu)缺點以及實用性。貴州師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書論文題冃幾種常用數(shù)值積分方法的比較作者姓名潘曉祥學號1006020540200年級2010 級所屬學院指導教師姓名數(shù)學與計算機科學學院雍進軍專業(yè)職稱題印性質(zhì)應(yīng)用硏究數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級數(shù)本（4 ）班講

4、師預計字數(shù)5000.00 字日期2013年7月05日24選題的原由： 硏究意義：數(shù)值積分是數(shù)學上的重要課題之一,是數(shù)值分析申的重要內(nèi)容之一,也是數(shù)學的硏究重點并在實際問題及應(yīng)用中有 著廣泛的應(yīng)用常用于科學與工程的計算中，如涉及到積分方程，工程計算，計算機圖形學，金融數(shù)學等應(yīng)用科學領(lǐng)域都有著相當重要的應(yīng)用，所以研究數(shù)值積分問題有很重要的意義數(shù)值積分是硏究如何求出一個積分的數(shù)值這一課題的超源可追溯到古代，其中一個突出的例子是希臘人用內(nèi)接與外接正多邊形推算出圖面積的方法也正是此法使阿基米德得以求出n值得上界與下界，若干世紀以來，尤其是十六世紀后，已提出了多彳中數(shù)值積分方法，其中有矩形求積法，內(nèi)橢求積

5、法， 牛頓科待斯公式，復化求積公式，龍貝格求積公式，高斯型求積公式但各種方法都有特點，在不冋的情況下試用程 度不冋，我們將著重從求積公式的代數(shù)精度和余項等角度對這些方法進行分析比較 硏究動態(tài)2這些年來，有矢數(shù)值積分的硏究已經(jīng)成為一個很活躍的硏究領(lǐng)域，歷史上，阿基米徳，牛頓，歐拉，高斯，切比雪夫等人都對此有過貢獻研究出各種各樣的數(shù)值求積公式，但一個好的數(shù)值求積公式應(yīng)該滿足：計算簡單，誤差小，代數(shù)精度高我們將對矩形求積法，內(nèi)橢求積法，牛頓科特斯公式，化求積公式，貝格求積公式，斯型求積公式進行比較對數(shù)值求積公式能有進一步的了解和學習1數(shù)值積分方法的基本思想2幾類常用數(shù)值積分方法的基本分析2.1主要內(nèi)

6、容：Newt on - Cotes求積公式復化求積公式2.3Romberg求積公式高斯型求積公式3幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評述4利用MATLAB編程應(yīng)用對幾類求積算法的分析比較研究方法:本論文主雯通過對相矣文獻和書籍的參考，合自己的見解，復化求積公式，Newton - Cotes求積公式,Romberg求積公式，高斯型求積公式逬行討論并進行上機實驗- 角度對這些方法進行分析比較完成期限和采取的主要措施：從代數(shù)精度，求積公式誤差等本論文計劃用6個月的時問完成，階段的任務(wù)如下:7月份査閱相矢書籍和文獻;8月份完成開題報告并交老師批閱9月份完成論文初槁并交老師批閱10月份完成論文二搞并交老師批閱主

7、要措施：考相矣書藉和文獻，合自己的見解，老師的指導下和同學的幫助下完成11月份完成論文三搞;12月份定稿.主要參考文獻及資料名稱:1矢治陸金甫數(shù)學分析基礎(chǔ)（第二版）IM北京：等教育出版社-20107胡祖熾林源渠.數(shù)值分析M北京：等教育出版社.4 986.3薛毅數(shù)學分析與實驗M北京：業(yè)大學出版社2005.34徐士良數(shù)值分析與算法M北京：械工業(yè)出版社2007.1王開榮楊大地.應(yīng)用數(shù)值分析M北京:等教育出版社2010.7楊一都數(shù)值計算方法M北京:等教育出版社.2008478910韓明王家寶李林數(shù)學實驗（MATLAB版上海：濟大學出版社2012J 圣寶建矢于數(shù)值積分若干問題的硏究J南京信息工程大學.2

8、009.05.01. : 42 劉緒軍.幾種求積公式計算精確度的比較.南京職業(yè)技術(shù)學院.2009.史萬明吳裕樹孫新數(shù)值分析ML北京理工大學出版社.2010 A指導教師意見:簽名：開題報告會紀要時間2013年8月26日地點寧靜樓229教師辦公室與會人員姓名職務(wù)（職稱）姓名職務(wù)（職稱）姓名職務(wù)（職稱）雍進軍導師（講師）鄧喜才副教授李晟副教授龍林林組長會議記錄摘要：指導小組針對課題 二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用提問了以下問題以及報告人的回答-雍老師問：選擇此題冃的冃的？潘曉祥答：隨著計算機和計算方法的飛速發(fā)展,幾乎所有學科都走向定量化和精確化中的數(shù)值計算方法則是解決“計算"問題的橋梁和工具。鄧老師冋

9、：對這個冋題進行研究有什么實際的意義,又有實用性和實驗性的技術(shù)待潘曉祥答：計算方法既有數(shù)學類課程中理論上的抽僉性和嚴謹性征，計算方法是一門理論性和實踐性都很強的學科在科學研究和工程技術(shù)中都要用到各種計算方法例如在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、 的蹤影。橋梁設(shè)計、天氣預報和漢字字樣設(shè)計中都有計算方法李老師冋：對這個冋題你有什么自己的看法？潘曉祥答：隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展和普及,現(xiàn)在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程我們知道，計算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積,提高計算方法的效率與提高計算機硬件的效率冋樣重要科學計算已用到科學技術(shù)和社會生活的各個領(lǐng)域中所以，研究數(shù)值計算方法可以

10、讓數(shù)學的應(yīng)用更大更廣。會議主持人簽名：記錄人簽名：負責人簽名：負責人簽名：貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院指導教師指導本科畢業(yè)論文情況登記表論文（設(shè)計）題冃幾種常用數(shù)值積分方法的比較用學生姓名潘曉祥學號1006020540200年級2010 級所屬學院數(shù)計學院專業(yè)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級四班指導教師姓名雍進軍職稱講師學歷碩士指導時間指導地點指導內(nèi)容導教師簽名備注2013 年 06 月 100致遠樓416論文選題-資料準備面授2013年06月22日網(wǎng)上確定畢業(yè)論文選題電子郵件2013年06月26日網(wǎng)上怎樣撰寫畢業(yè)論文開題報告電子郵件2013年06月28日網(wǎng)上指導學生撰寫開題報告電子郵件2013年07月

11、14日網(wǎng)上幫助學生查找有矢參考文獻電子郵件2013年07月仃日手機女M町構(gòu)思自己的畢業(yè)論文手機飛信2013年08月21日手機聽取學生畢業(yè)論文寫作進展情況匯報手機飛信2013年08月28日網(wǎng)上解答學生在論文寫作中遇到的疑惑電子郵件2013年9月09日網(wǎng)上幫助學生查找有矢參考文獻電子郵件2013年們月28日網(wǎng)上女M可規(guī)劃自己的論文電子郵件2013年12月04日手機怎樣寫好論文引言手機飛信2013年12月08日網(wǎng)上怎樣寫好論文引言電子郵件2013 年 12 月 120網(wǎng)上怎樣寫論文摘要電子郵件2013 年 12 月 160網(wǎng)上怎樣選取論文矢鍵詞電子郵件2013年12月20日網(wǎng)上怎樣編輯論文中的公式電

12、子郵件2014年01月05日手機督促學生在寒假中寫好論文的初稿電子郵件2014年02月27日寧辭樓2伯檢查學生論文完成悄況面授2014年03月03日寧辭樓2伯對學生的論文初犒提出修改時意見面授2014年03月07日寧辭樓2伯解答學生在修改時的閑惑面授2014年03月11日寧辭樓2伯指導學生修改論文面授貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）學號 1006020540200姓名論文（設(shè)計）題冃交叉評閱表學院（蓋章）：潘曉祥專業(yè)幾種常用數(shù)值積分方法的比較數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級四班評語：該冋學在論文撰寫過程中對相矢文獻閱讀范圍廣泛，方法正確 >內(nèi)容完整-能綜合運用所學知識分析和解決實際

13、冋題-畢業(yè)論文撰與過程中態(tài)度端正勒奮刻苦。論文硏究了Newt on- Cotes求枳公式 ' 復化求積公式、 Romberg積分、高斯積分方法-通過算例分析，得出幾種常用數(shù)值積分方 法是解決頭際計算冋題的重要方法°論文結(jié)構(gòu)合理' 符合邏輯文章層次分明*語言準確文字通順達到規(guī)范性要求*建議作為學士論文答辯。（滿分100分）指導教師（簽名）：評語：該冋學具備較好的基礎(chǔ)理論與專業(yè)知識 > 學習態(tài)度認真 > 閱讀教師指定的參哮資料、文獻較好的完成了任務(wù)書 規(guī)定的工作量。論文硏究了 Newton- Cotes求積公式、復化求積公式、 Romberg積分、咼斯積分方法

14、-通過算 例分析'得出幾種常用數(shù)值積分方法是解決實際計算問題的重要方法。論文結(jié)構(gòu)合理'符合邏輯文章層次分明*語言準確文字通順達到本科畢業(yè)論文相矢要求。同意參加答辯。（滿分100分）評閱教師（簽名）：論文題目作者姓名所屬學院貴州師范學院本科畢業(yè)論文答辯記錄表幾種常用的多項式插值方法潘曉祥學號1006020540200年級2010 級數(shù)計專業(yè)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級本科（四）班雍進軍講師指導教肺姓名' 幟稱答辯會紀要時間2014年5月11日地點致遠樓406答辯小組成負姓名職務(wù)（職稱）姓名職務(wù)（職稱）姓名職務(wù)（職稱）左羽教授崔忠偉副教授麼玉梅講師答辯中提出的主要問題及冋答的簡要情況

15、記錄：1自己做的有哪些？答：第頁至第12頁，總結(jié)進行比較。2程序運行過沒有？ 答：運行過。320頁程序代碼中，if后的是什么符號？ 答：連接作用的符號。4-解釋一下什么時候用分號-什么時候不用？ 答：回答不清。5 摘要中央文拼與有錯 答辯后修改答辯小組負責人簽名：左羽記錄人簽名：梅林林2014年5月們?nèi)赵u語：該生能在規(guī)定時間敘述論文的主要內(nèi)容-對提出的問題一般能回答-無原則錯誤。答辯小組經(jīng)過充分討論- 根據(jù)該生論文質(zhì)S和答辯中的表現(xiàn)*冋意評定論文成績?yōu)橹械取薄４?、丄辯評定成績：77負責人（簽名）：左羽2014年5月11日1Abstract1 前言2數(shù)值積分方法的基本思想3 幾類常用數(shù)值積分方法

16、的簡單分析3.1 Newt on Cotes 求積公式3.2 復化求積公式3. 3 Romberg求積公式34高斯型求積公式4幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評述5 利用MATLAB®程應(yīng)用對幾類求積算法的分析比較10結(jié)束語錯誤！未定義書簽。致謝14附錄16貴卅師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）我們在求函數(shù)的積分時'往往因為原函數(shù)非常復雜以至于難以求出或用初等函數(shù)表 示' 這讓我們計算起來非常困難' 所以我們只能想辦法求它的近 似值，因此直接借助牛頓 “菜布尼茲公式計算定積分的，睜況是非常少見的。這時候數(shù)值積分就是解決這種問題的一 種很好很有效的方法。本文從數(shù)值積分問題的產(chǎn)生

17、出發(fā)，詳細介紹了一些數(shù)值積分的常用 方法（Newton Cotes求積公式，復化求積公式，Romberg求積公式高斯型求積公式）并對其進行了簡要的分析，在探討了這些數(shù)值積分算法的優(yōu)缺點的理論之外，我們 還將這些數(shù)值積分算法在計算機上通過matbb軟件編程實現(xiàn)應(yīng)用，并分別用各自求積 公式進行運算'以此來分析比較各種求積公式的代數(shù)精度和計算誤差。矢鍵詞：數(shù)值積分；求積公式；代數(shù)精度貴卅師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）Abstractfunction is very complex that it is difficult to find the elementary functions, whic

18、h makes u We in the function for the integration, often because the original s very difficult to calculate, so we can only think of a way to find the approximate value, thus directly with Newt on - Leib niz formula calculati ng defi nite in tegral situation is very rare. When numerical integration i

19、s to solve this problem in a very effective method. From the numerical integration problem, introduces some methods of nu merical in tegrati on (Newt on - Cotes quadrature formula, composite quadrature formulas, Lon gbei lattice quadrature formula, Gauss type quadrature formulas) and has carried on

20、brief analysis, discusses the advantages and disadvantages of these numerical integration algorithm theory, we will these numerical integration algorithm in the computer by MATLAB software program ming applicati on, and separately with their res pective quadrature formula for com put in g, in order

21、to an alyze the algebraic calculati on precisi on and error comparis on of various quadrature formulas.Keywords: Numerical in tegrati on; Calculati on meth; nu merical an alysis#貴卅師范學院畢業(yè)論文(設(shè)計丄、八亠亠1冃I言微積分的發(fā)明是世界數(shù)學史上一項輝煌的成就。但在實際求積問題的時候'求解積分卻有著非常多局限性。比如對于定積分Ff(x)dx衽求某函數(shù)的定3積分時，在一定條件下，雖然有牛頓萊布里茨公式1=叫X)

22、dx二F(b) 一 F(a)可弋a(chǎn)以計算定積分的值，但在很多情況下f(x)的原函數(shù)不易求出或非常復雜。被()=沁(，等；有的X積函數(shù)f(x)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達出來 ' 例如函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)存在，但其表達式太復雜，計算量太大，有的甚至無法 有解析表達式。因此能夠借助牛頓萊布尼茲公式計算定積分的情形是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)對這類函 數(shù)的定積分，也不能用不定積分方法求解，只能設(shè)法求其近似值。因此，探討近似計算的 數(shù)值積分方法是有明顯的實際意義的即有必要研究定積分的數(shù)值計算方法，以解決定積分 的近似計算。而數(shù)值積分就是解決

23、此類問題的一種有效的方法，它的特點是利用被積函數(shù)f M在一些節(jié)點上的信息求出定積分的近似值。在很多實際應(yīng)用中，只能知道積分函數(shù)在某些特定點的取值比如天氣測量中的氣溫'濕度'氣壓等，醫(yī)學測量中的血壓'濃度等等。通過研究，我們將會更熟練掌握一些 數(shù)值積分方法去計算一些特定條件的數(shù)值計算，以便 我們得到自己想要的結(jié)果。2數(shù)值積分方法的基本思想在數(shù)學分析中，計算連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分是通過f(x)的原函數(shù)F(x),由下列定積分公式a f(x)dx 二 F(b)F (a)得到的。但由于大量被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此，很難用求原函數(shù)的公式彳(x)dx =

24、 F(b)-F(a)得到積分；有些被積函數(shù)f(x)不是明顯知道的，例如由數(shù)值表給出它的離散值，或者是它被定義為某個微分方程的解，而這個微分方程是不能顯示解出的。這說明，按f(x)dx = F(b) - F(a)公式計算定積分是有很大局限性的。因而常常采用在電子計算機上很有效的數(shù)值積分方法°我們從定積分的定義b n.(,f (x)dx :(b -a)' C(n.k) f(Xk)k=0出發(fā)。推導出兩個簡單的數(shù)值積分公式。f(x)dx =沖(kE)AXk式的幾何意義，kn就是把整塊曲線梯形的面積積分成若干個小曲邊梯形面積的和，當無限細分時這個和取極 限就是真正曲邊梯形面積。去掉取極

25、限這一步，用有限個小曲邊梯形面積的和，代替整塊 的曲邊梯形面積'從而求得一個近似值，這就是數(shù)值積分的基本思想。根據(jù)小區(qū)間的不同分割方法和各分點f( Z )值的不同選擇'就得到不同的數(shù)值積分公式。求和數(shù)值求積公式是取lab 1上若干個點Xk處的高度f(XK)，通過加權(quán)&后，再、Akf(Xk)k=0從而得到積分的近似值。數(shù)值求積公式寫成一般形式f(x)dx 八 AJ(Xk)k=0式中Xk稱求積節(jié)點，Ak稱求積系數(shù)，也稱伴隨節(jié)點Xk的權(quán)。當積分區(qū)間a,bl確 定后 ' 求積系數(shù)人僅僅與節(jié)點Xk的選取有矢，而不依賴被積函數(shù)f(x)的具體貴卅師范學院畢業(yè)論文(設(shè)計Rjf

26、f (x)dxA f (Xk)k=0#貴州師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）把R If 1稱為求積公式的截斷誤差或余項。數(shù)值求積方法的特點是直接利用積分區(qū)間lab 1上一些離散節(jié)點的函數(shù)值 進行線性組合來近似計算定積分的值 ' 從而將定積分的計算歸結(jié)為函數(shù)值的 計算，這就避開了牛頓 菜布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難，并為計算機求積分提供了可行性。3幾類常用數(shù)值積分方法的簡單分析3.1 Newton- Cotes求積公式常用的梯形公式和Simpsor公式是低階的牛頓柯特斯公式，牛頓柯特斯 公式是積分區(qū)間上等距節(jié)點的插值求積公式。插值求積公式在積分區(qū)間上， 所取節(jié)點是等距時稱為牛頓柯特斯公式 

27、9; 即f (x)dx : (b-a)- C(n,k)f(Xk)k=0其中c(n,k)為Cotes求積公式的系數(shù)，是n和k的函數(shù)。當時，為梯形公式：:f(x)dx © 9f(a)2f(b)7梯形公式的代數(shù)精度為1，有兩個積分節(jié)點。當n=2時 ' 為Simpson公式:b(b -a)/(b)af(x)cJx f(a) 4f(6Simpson公式的代數(shù)精度為3，有三個積分節(jié)點由于只增加一個節(jié)點，其代數(shù)精度增加2，由此可知，Simpson公式比梯形公式代當n=4時' NewtonCotes求積公式為Cotes公式：:f(x)dx 烤7f(a) 32f (專)12f(寧)32

28、(寧)7f(b)Newton-Cotes公式的代數(shù)精度為5,有5個積分節(jié)點。所以對于Newt omCotes積分公式，n為偶數(shù)時的代數(shù)精度要比n為奇數(shù)時的積分公式效果比較優(yōu)越。但并不是n的值越大越好，當n過大時（n=8），求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性不好。3.2復化求積公式由于NewtomCotes的節(jié)點n越大對應(yīng)的精度就越高，但是n=8時公式的數(shù)值 是 不穩(wěn)定的'因此就不能用增加求積節(jié)點的方法來提高精度，因此，我們常常將求積區(qū)間a,b分成若干小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上采用數(shù)值穩(wěn)定的Cotes公式求小區(qū)間上的積分'然后把每個小區(qū)間上的結(jié)果加起來作為原定積 分的近視值，這種方法構(gòu)造的求積

29、公 式就叫做復化求積公式。常用的復化求積公式有: 復化梯形公式：n變步長梯形公式為：T2計 f（xo）：r）二豬Mn 二寧"f(X2ii)2n j#復化Simpson公式:b - a人盲“心)ygb_aS2n 八 Ik6n變步長復化Simpson公式:"心f(X。)fgn) 4、f(X2 一 2' f(X2k)kdkT3.3 Romberg求積公式Romberg積分方法也叫做逐次分半加速法，它是在復化梯形公式誤差估計的基礎(chǔ)上'應(yīng)用線性外推的方法構(gòu)造出的一種加速算法。將積分區(qū)間分成n等分和2n等分時，求得積分近似值Tn和Tm，并沒有誤差估計式1I 'T

30、an. 3 （Tzn-Tn）3積分近似值Tzn的誤差大致等于3仃2人），當用-）對丁?.進行修正時,33-<T2n-Tn）與n之和比T?n更接近于真值I，故Pn）是對Tth誤差的一種補償, 33因此可以期望下式是一個更好的結(jié)果，即T - T2n' (J -)二今 n2- ； Tn3 33F面說明T即是分成n等分時Simpson公式的值&。將復化梯形公式nVf(a) 2 ' f(xO f(b)梯形變步長求積公式T2ndin4f(X!2 2心n4n4代入上式T表達式得-hT= ; Jf(a)+4 送 f(x .)+2 送 f(xj+f(b)6 -心 遷心這就是說 &#

31、39; 用梯形法二分前后兩個梯形值Tn和丁加作線性外推，結(jié)果得到Simpson法的積分值&。將誤差由o（»）變?yōu)閛（hj，從而提高了逼近精度。再考察Simpson法。其截斷誤差與成正比，因此，若將步長折半，則誤差減至】，即有 16:16 S2 j1515不難驗證 ' 上式右端的值其實等于Cn，就是說，用Simpson法二分前后的兩個積分值& 與S2n,按上式再作線性外推，結(jié)果得到柯特斯法的積分值即有16 1Cn S2n Sn1515這時將誤差由0（椚變?yōu)閛（h。），逼近精度又一次得以提高。同樣的方法'依據(jù)柯特斯法的誤差公式，可進一步導出下列龍貝格公式6

32、41% C2nCn6363Rn逼近積分值的誤差為0（"，這樣Romberg公式將誤差由o（h。）變?yōu)閛（h），逼近精度再次得以提高。Romberg公式有7次代數(shù)精度，這表明該公式不是牛 頓柯特斯公 式。在步長二分的過程中運用SnG、Rn表達式加工三次，就能將粗糙的積 分值九逐步 加工成精度較高的Romberg值Rn，或者說，將收斂緩慢的梯形值序列九加工成收斂迅 速的Romberg值序列Rn，這種加速方法稱Romberg算法。3.4高斯型求積公式前面介紹的n1個節(jié)點的Newton -Cotes求積公式，其特征是節(jié)點是等距 的。這 種特點使得求積公式便于構(gòu)造'復化求積公式易于形成

33、。但同時也限 制了公式的精度。n 是偶數(shù)時 ' 代數(shù)精度為' n是奇數(shù)時，代數(shù)精度為n ；我們知道n個節(jié)點的插值型求n 0能不能在區(qū)間積公式的代數(shù)精確度不低于a,b 1上適當選擇個節(jié)點Xo,Xi,X2 X.使插值求積公式的代數(shù)精度高于n呢?答案是肯定的'適當選擇節(jié)點'可使公式的精度最高達到不失一般性，將求積公式Ja所學的高斯型求積公式°f（x）dx八Akf（Xk）的求積區(qū)間La,b轉(zhuǎn)換成TJk=0貴州師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）對任意求積區(qū)間ab 1作變換D-a, 322Xtt可以變換到區(qū)間1-1,1上，這時af(X) dX=乜"b-aT&quo

34、t;ba丄 ab' *b'a丄 ab*P(附'J (t) dt 二 2I 22b V(t) dt其中仕）二f （ b合tbt） o22高斯勒讓德求積公式在這里簡稱高斯公式，它是在區(qū)間1-1,1上進行討論 的。4幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評述所以不同類由于我們在計算實際問題是往往要考慮到代數(shù)精度和計算最， 型的求積公式有著不同的特點：Simpson積分方法和梯形積分方法雖然計算簡便，但是精度比較差，不理想。但對于光滑性較差的被積函數(shù)有時會比高精度的積分方法更為有效。特別是梯形積分方法對被 積函數(shù)是周期函數(shù)的求積效果更為突出。Newt on- Cotes公式是不穩(wěn)定的 &#

35、39; 然而復化梯形公式和復化Simpson公式不僅 保留 了低階公式的優(yōu)點還能夠獲得比較較高的精度，所以在實際計算中應(yīng)用 得最為廣泛。Romberg積分方法的算法簡單.方便編程的實現(xiàn)。收斂速度快-計算精 度較高，但 是計算;較大。Gauss積分方法的精度較高，數(shù)值穩(wěn)定收斂速度較快，但因為其節(jié)點不規(guī)則'計算比較麻煩5利用MATLAB編程應(yīng)用對幾類求積算法的分析比較在簡單的認識積分方法比且理論比較之后，則要進行數(shù)學實驗進行驗證，因此就要通過matlab軟件對各種積分方法逬行編程并運算，然后對其各種方法的運算結(jié)果進行分析比較'掌握和理解各方法的優(yōu)缺點。規(guī)定各個程序都以I = 0皿d

36、x為例子進行運算。原積分的精確值為isin XoX dx"9°®M"70367483例 分別用不同的方法計算積分I二，沁dx，并作比較。用以上介紹的幾類積分方法分別計算積分，得出誤差，并進行比較:1 ' 用 Newt on-Cotes 公式當時，即用梯形公式，用程序一（程序見附錄）11在MATLAB命令窗口中輸入>>NCotes （0,1,1,2）得92703549240395 Ir =0.01904757796323當n=2時，即用Simpson公式，用程序一（程序見附錄）在MATLAB命令窗口中輸入>>NCotes （

37、0,1,2,2）得I 肝 0.94614588227359 Ir =0.000062811906407當n=4時，即用科特斯公式，用程序一（程序見附錄）在MATLAB命令窗口中輸入>>NCotes （0,1,4,2）得I -0.94608300406367R =0.0000000663035132-用復化梯形公式令 h=1/8=0.125,ffl程序二（程序見附錄）在MATLAB命令窗口中輸入 » trapri Cf,0,1.8），得J ；叱0%(f (0) +2 f (h) +. .+ f(7h)+ f(l) =0.9456908635270 x2R =0.000392

38、2068401823 '用復化Simpson公式令h=1/8=0J25,用程序三（程序見附錄）怡nXdx： hf(0)4f(h) °x3=0.94608308538495R =0.000000015017767在MATLAB命令窗口中輸人>> simpr1（t0,8）,得f(7h)b： ； , 2f(2h)f(6h)IHf(1£4 '用Romberg公式用程序四（程序見附錄）在MATLAB命令窗口中輸人» romber(T,0,1,5,0.5*(10 八(8)，得(沁 dx 4.94608307036718X1R = 0.0000000

39、000000025 -用高斯勒讓德求積公式令 x=(t+1)/2，| =t+1（1）用2個節(jié)點的Gauss公式10.94604115827633（2）用3個節(jié)點的Gauss公式，用程序五（程序見附錄）在 MATLAB 命令窗口中輸人 » GuassLegendre (0,1,2,2)得1-0.946083134078473|R =0.000000063711290算法比較:1.原積分的精確值為：1 sin X/ = dx =0.946083070367183 oX2.由例題的各種求積算法可知：（1）對Newton-cotes公式，當nh時只有1位有效數(shù)字，當n=2時有3位有效數(shù)貴州師

40、范學院畢業(yè)論文(設(shè)計)字，當n=4時有7位有效數(shù)字。(4) 用復化梯形公式有2位有效數(shù)字 ' 對復化Simpson公式有7位有效數(shù)字。(5) 用復化梯形公式 ' 對積分區(qū)間0,1二分"次用了 2049個函數(shù)值，才可以得7位有效數(shù)字°(6) 用Romberg公式對區(qū)間0們二分3次用了 9個函數(shù)值，就可以得到7位有效數(shù)字；二分4次用了 14個函數(shù)值，卻可以得到14位有效數(shù)字。(7) 用高斯勒讓德求積公式僅僅用了 3個函數(shù)值，就能得到比較精確的6位有效數(shù)字。#貴州師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）結(jié)束語本文主要研究了常用的幾類數(shù)值積分的求積算法并通過例題計算積分進行分析比

41、較。Newt on-Cotes積分方法是一種非常普遍的積分方法，然而梯形積分方法的誤差最大，近似效果最差，Simpson積分方法的精度比梯形積分方法高了一個數(shù)量級；Cotes 積分方法精度比Simpson積分方法高兩個數(shù)量級。則Cotes代數(shù)精度比較高。由此可知 一般情況下，積分公式代數(shù)精度越高，計算精度也越高。但是高階的Cotes積分方法收Simpson 積分斂性沒有保證，因此實際應(yīng)用中很少用。復化梯形積分方法比梯形積分方法精度高，同樣的'復化 方法比Simpson積分方法精度高，高了差不多7個數(shù)最級，所以復化積分方法比較優(yōu) 越。Romberg積分方法收斂速度快-計算精度較高，但是計

42、算量較大。Gauss積分方法精度高 > 數(shù)值穩(wěn)定收斂速度較快，但是計算麻煩。經(jīng)研究可以知道Newt omCotes方法的代數(shù)精度越高，數(shù)值積分的效果越 好 ' 越精 確。當積分區(qū)間比較大的時候，積分數(shù)值不穩(wěn)定 ' 這個時候可以利用復化積分方法效果會 更好；Romberg積分方法可以利用變步長復化積分公式得到更為精確的數(shù)值結(jié)果，是比 較好的積分方法。高斯求積方法精確度高，收斂性快，比其他積分方法優(yōu)越。具有很廣泛13的運用。參考文獻1（第二版）32005.3薛毅.數(shù)學分析與實驗M北京:業(yè)大學出版社4徐士良數(shù)值分析與算法M 北京:械工業(yè)出版社2007.15王開榮.楊大地.應(yīng)用數(shù)

43、值分析M北京:等教育出版社2010.76楊一都數(shù)值計算方法M.北京:等教育出版社.2008.4韓明王家寶李林數(shù)學實驗（MATLAB）版M.上海:濟大學出版社2012.18圣寶建.矣于數(shù)值積分若干問題的研究J 南京信息工程大學.2009.05.01. :429劉緒軍.幾種求積公式計算精確度的比較J.南京職業(yè)技術(shù)學院.2009.10史萬明.吳裕樹.孫新.數(shù)值分析M.北京理工大學出版tt.2010.4.矢治陸金甫數(shù)學分析基礎(chǔ)M.北京：等教育出版社.2010.7胡祖熾林源渠數(shù)值分析M北京:等教育出版社.1986.3貴卅師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計行文至此，我的這篇論文已接近尾聲：歲月如梭，我四年的大學時光也

44、 即將敲 響結(jié)束的鐘聲。離別在即，站在人生的又一個轉(zhuǎn)折點上，心中難免思緒萬千' 一種感 恩之情油然而生。首先感謝貴州師范學院四年來對我的培養(yǎng)，是博學的老師們教會了我學習的方 法、鍛煉了我思考的能力指明了我未來奮斗的方向，從而使我進一步明確了人生的 目標。其次，我要感謝我的指導老師一雍進軍老師，他的嚴謹細致' 一絲不茍的作風一直是 我工作、學習中的榜樣；他的循循善誘的教導和不拘一格的思 路給予我無盡的啟迪。在撰 寫整個畢業(yè)論文的過程當中 ' 他為我們考慮到了每一個細節(jié)，從開題報告到畢業(yè)論文的擬 定修改上，雍老師更是不厭其煩的 為我們做好每一步的細心指導。對此，我表示衷心地

45、感 謝。沒有雍老師' 我的論文也不可能這么順利的完成。同時，我也要感謝每一位給過我?guī)椭?的老師和同學，在我撰寫論文的過程當中同樣給了我大量有益的建議，在此一并向他們表 示真誠的感謝一感謝他們對我的支持和幫助。最后感謝這篇論文所 涉及到的各位學者' 本 文引用了數(shù)位學者的研究文獻' 如果沒有各位學者的 研究成果帶給我的的幫助和啟發(fā)，我 將很難完成本篇論文的寫作。由于我的學術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學 友批評指 正。最后，衷心感謝評閱論文及參加答辯的各位老師！15貴州師范學院畢業(yè)論文(設(shè)計)1 NewtonCotes求積公式的MATLAB實現(xiàn)先用M文

46、件定義一個名為fl.m的函數(shù):% i是要調(diào)用第幾個被積函數(shù)g(i)，X是自變最 g(1)=sqrt(x);if x=0g(2)=1： else g(2)=si n(x)/x;end g(3)=4/(1+x2);匸 g(i);程序一：fun cti on C,g=NCotes(a,b, n,m)%a， b分別為積分的上下限；%n是子區(qū)間的個數(shù);% m是調(diào)用上面第幾個被積函數(shù)；%當n=1時計算梯形公式；當n=2時計算辛浦生公式，以此類推;i=n：h=(b-a)/i;貴卅師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計19z=0;forj=0:ixG+1)=a+j*h; s=1;ifj=Os=s;elsefor k=1:js

47、=s*k;endendif i-j=0r=r：elser=r*k;endendif mod(i-j),2)=1elseq=i*s*r;end貴州師范學院畢業(yè)論文(設(shè)計)y=i： for k=0:iif k =jy=y*(sym(T)-k);end end l=int(y,0J);CG+1)=l/q；2=z+CG+1)*f1(m,xG+1): endg=(b-a)*21.11) 當輸入, n=1=2時，即在MATLAB命令窗口輸入 » NCotes(0,1,1,2)即可得用梯形公式的積分值和相應(yīng)科特斯系數(shù)如圖2) 當輸入a=0,b=1 / n =2,m=2時即在MATLAB命令窗口輸入

48、 » NCotes(0,1,2,2)即可得用辛浦生公式的積分值和相應(yīng)科特斯系數(shù)如圖1.23) 當輸入a=0,b=1 / n =4,m=2時即在MATLAB命令窗口輸入 » NCotes(0,1,4,2)即可得用科特斯公式的積分值和相應(yīng)科特斯系數(shù)如圖1.3#貴州師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）23圖"圖1.2圖1.32復化梯形求積公式的MATLAB實現(xiàn)通過f（X）的n 1個等步長節(jié)點逼近積分：/ (幼辦怎 £(/()+/(*) )+方 £ yl匕)其中,xP kh,Xo=a程序二:fun cti on s=trapM (f,a,b, n)% f是被積函數(shù)

49、;%a,b分別為積分的上下限;% n是子區(qū)間的個數(shù)；%S是梯形總面積；h=(b-a)/n;s=0;for k=1:( n-1)x=a+h*k;s=s+feval(I,x);endformat longs=h*(feval(T,a)+feval(T,b)/2+h*s;先用M文件定義一個名為f.m的函數(shù):fun cti on y=f(x)if x=0y=1：elsey=s in( x)/x;end若取子區(qū)間的個數(shù) 在MATLAB命令窗口中輸入»trapr1(t0,1.8)回車得到如圖2.1貴卅師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）圖2.13復化Simpson求積公式的MATLAB實現(xiàn)程序三：fun c

50、ti on s=simpr1(f,a,b ,n)% f是被積函數(shù);% a,b分別為積分的上下限；%n是子區(qū)間的個數(shù)；%s是梯形總面積，即所求積分數(shù)值；h=(b-a)/(2* n);s仁0;s2=0;for k=1: nx=a+h*(2*k-1);si 二 s1+feval(T,x);end25貴州岀碑堂聲f禪耳丫設(shè)計）s=0;27endx=a+h*2*k;s2=s2+feval(T,x);s 二 hWal.a)+feval(T,b)+4*s1+2*s2)/3：先用M文件定義一個名為f.m的函數(shù):fun cti on y=f(x)if x=0y=1：elsey=s in( x)/x;end若取子