四川省成都市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)（理）試題及參考答案

成都市重點(diǎn)中學(xué)高二下學(xué)期4月階段性測試數(shù)學(xué)試題（理科）時間：120分鐘總分：150分第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，是增函數(shù) B.當(dāng)時，取到極小值C.在區(qū)間上，是減函數(shù) D.在區(qū)間上，是增函數(shù)4.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試成績統(tǒng)計的折線圖如下，下列說法正確的是（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則B.甲成績比乙成績更穩(wěn)定C.甲成績的極差大于乙成績的極差D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則5.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲于1674年得到了第一個關(guān)于的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳入我國.我國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家明安圖為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初年（1736年）開始，歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式，同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算開創(chuàng)先河，如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于的級數(shù)展開式計算的近似值（其中表示的近似值）”.若輸入，輸出的結(jié)果可以表示為（）A. B.C. D.6.橢圓與直線相交于，兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為2，則（）A. B. C. D.27.已知是區(qū)間內(nèi)任取的一個數(shù)，那么函數(shù)在上是增函數(shù)的概率是（）A. B. C. D.8.如圖所示，四邊形為邊長為2的菱形，，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），且，沿把平面折起，使平面底面，當(dāng)五棱錐的體積最大時，的長為（）A.1 B. C. D.9.已知點(diǎn)，，若在圓上存在點(diǎn)滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為.若在雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.11.定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且，當(dāng)時，恒成立，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知呈線性相關(guān)的變量與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則______.2456834.57.5914.若實數(shù)，滿足約束條件，設(shè)的最大值為，則______.15.已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到軸和到直線的距離之和的最小值為2，則拋物線的準(zhǔn)線方程為______.16.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為______.三、解答題（17題10分，18—22題各12分，共70分）17.（本小題10分）已知命題：復(fù)數(shù)，.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.命題：關(guān)于的函數(shù)在上是增函數(shù).若是真命題，是真命題，求實數(shù)的取值范圍.18.（本小題12分）已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.19.（本小題12分）春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)有600輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻繪成頻率分布直方圖.其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時刻64.（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取5輛，再從這5輛車中隨機(jī)抽取3輛，則恰有1輛為9:20~10:00之間通過的概率是多少？20.（本小題12分）如圖1，在梯形中，，，，，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿折起，使，分別到點(diǎn)，的位置，得到幾何體，如圖2所示.（1）判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.21.（本小題12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，.試問：直線是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出與的面積之比；若不是，請說明理由.22.（本小題12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間.（2）若存在兩個不同的零點(diǎn)，，且.求證

參考答案一、選擇題題號123456789101112答案BCDBCACBCBBA二、填空題13.6.5； 14.； 15.； 16.三、解答題17..【詳解】命題為真：解得；……（3分）命題為真：可得，所以……（6分）由是真命題，可得命題為假命題，又是真命題，所以命題為真命題，所以或，且，故，所以的取值范圍；……（10分）18.（1）；（2）最大值為2，最小值為【詳解】（1）因為，故，解得……（2分）因為，所以.則所求切線的斜率為，且……（4分）故所求切線方程為，即；……（6分）（2）因為，，所以.令，得（舍去），……（8分）當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為.又，，所以的最大值為2，最小值為……（12分）19.（1）10:04；（2）.【詳解】（1）這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值為，即：10點(diǎn)04分……（4分）（2）由題意知，時間段內(nèi)抽取車輛數(shù)為，分別記為：，，時間段內(nèi)抽取車輛數(shù)為，分別記為：，，時間段內(nèi)抽取車輛數(shù)為，記為：……（7分）所以從這5輛車中隨機(jī)抽取3輛的基本事件有：，，，，，，，，，共10個……（9分）恰有1輛為9:20~10:00之間通過的基本事件有：，，，，，共有6個……（11分）所以恰有1輛為9:20~10:00之間通過的概率為……（12分）20.（1）存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（2）.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，平面平面.證明如下：由題易知，，，因為點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.……（2分）連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形，……（3分）所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，，所以平面平面……（5分）（2）因為，，所以，所以，又，，所以，，兩兩垂直.故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，得，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，故平面與平面所成角的正弦值為.21.（1）；（2）為定值，定值為2，理由見解析.【詳解】（1）由題意可得，解得，則的方程……（4分）（2）與面積之比為定值，定值為2，理由如下：設(shè)直線，，，，聯(lián)立可得，，則，，……（6分）所以，，所以，設(shè)，同理可得.……（8分）所以，所以直線，即，所以恒過定點(diǎn)……（10分）設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別是，，則……（12分）22.（1）當(dāng)時在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明過程見詳解.【詳解】（1）因為，所以……（1分）（ⅰ）當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；……（2分