數(shù)字信號(hào)處理第二章

1、1數(shù)字信號(hào)處理課件 第 2 章雷博2上節(jié)內(nèi)容回顧 序列ZT的定義及收斂域的確定 序列逆ZT的求解 留數(shù)法3本節(jié)主要內(nèi)容逆ZT求解 部分分式展開(kāi)法 長(zhǎng)除法ZT的性質(zhì)ZT求解線(xiàn)性常系數(shù)差分方程4逆Z變換：從X(z)和收斂域還原出序列x(n). 2.1.3 逆Z變換實(shí)質(zhì)：求X(z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)。5 部分分式展開(kāi)法用于求序列的Z變換為下述有理分式形式時(shí)的逆Z變換。 2部分分式展開(kāi)法 若假定序列為因果序列，則一定有NM。當(dāng)X(z)的N個(gè)極點(diǎn)都是單極點(diǎn)時(shí)，可以展開(kāi)成以下的部分分式的形式6 可按留數(shù)定理求得各系數(shù)Ak(k=0,1,N)如下，為了方便通常利用X(z)/z的形式求取7例2-1-5 已

2、知 求X(z)的原序列。 解：將X(z)變?yōu)閄(z)/z的形式并化為部分分式由求系數(shù)Ak的公式求得 因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，為因果序列，從而求得 8部分分式展開(kāi)法特點(diǎn)： 適合于單階極點(diǎn)的情形； 熟記常用序列的ZT.9 按定義Z變換為z-1的冪級(jí)數(shù)，只要在給定的收斂域內(nèi)將X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式，則級(jí)數(shù)中的系數(shù)就是原序列x(n)。 3長(zhǎng)除法(冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法) 在具體進(jìn)行長(zhǎng)除法時(shí)，要根據(jù)收斂域，先確定序列是左邊序列還是右邊序列，對(duì)于左邊序列Z變換為z的正冪級(jí)數(shù)，分子分母多項(xiàng)式應(yīng)按升冪排列展開(kāi)，對(duì)于右邊序列，Z變換為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，分子分母應(yīng)按降冪排列進(jìn)行展開(kāi)。 10例 2-1-6 用長(zhǎng)除法求 的逆Z

3、變換。 解：由收斂域知，這是一右邊序列，用長(zhǎng)除法將其 展開(kāi)成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，將分母多項(xiàng)式按降冪排 列所以11例 2-1-7 用長(zhǎng)除法求Z變換 解 由于收斂域 為環(huán)域，知x(n)必為雙 邊序列, 將X(z)部分分式分解 上式括弧中的第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于右邊序列，用長(zhǎng)除法將其展開(kāi)成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，將分母多項(xiàng)式按降冪排列，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)于左邊序列，用長(zhǎng)除法將其展開(kāi)成z的正冪級(jí)數(shù)，將分母多項(xiàng)式按升冪排列。的逆Z變換x(n)12對(duì)右邊序列 由此求得右邊序列為 對(duì)左邊序列 由此求得左邊序列為 綜上可得 13長(zhǎng)除法的特點(diǎn)： 簡(jiǎn)單 很難得到封閉公式解14利用已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求序列的逆Z變換。如下例所示。 例2-1-8 求以

4、下Z變換的逆Z變換 x(n)解：由于收斂域?yàn)?,知序列應(yīng)為因果序列，利用 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 故有 及 用 代入上式，因因此x(n)為15一些常用序列的Z變換 見(jiàn)課本P51頁(yè)16 2.1.4 Z變換的性質(zhì)與定理1. 線(xiàn)性性 Z變換是一種線(xiàn)性變換，滿(mǎn)足疊加原理。如果序列x(n)和y(n)的Z變換分別用X(z)和Y(Z)表示，即則17 例 2-1-9 求序列 的z變換，并確定其收斂域。解：由z變換的線(xiàn)性性，有182.序列的移位如果則n0為正(右移),為負(fù)(左移)19例2-1-10 設(shè)求 的z變換和收斂域。解：由于由移位特性所以203.序列乘指數(shù)序列(z域尺度變換)證明214.序列的反褶5.序列的共軛若

5、 則若 則226.微分性質(zhì)證明即23例 2-1-11 利用微分性質(zhì)求下面z變換的逆z變換x(n).解：首先將X(z)對(duì)z進(jìn)行微分得根據(jù)微分性質(zhì)，有但所以247.初值定理 如果x(n)為因果序列，它的初值可由下式求得這是因?yàn)?58.終值定理 若x(n)為因果序列，且其Z變換的極點(diǎn)除在z=1處可以有一個(gè)一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則有26證：對(duì)因果序列 x(n)=0, n1，這樣允許對(duì)上述等式的兩端取z1的極限27289.卷積定理若則其中29證明：30 由于Y(z)=X(z)H(z)，所以Y(z)的收斂域是X(z)和H(z)的重疊部分，一般來(lái)說(shuō)要比原來(lái)的小，但如果其中一個(gè)Z變換在收斂域邊界上

6、的極點(diǎn)被另一個(gè)的零點(diǎn)所抵消，則收斂域會(huì)擴(kuò)大。 卷積定理是離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析中最重要的定理之一。按照卷積定理，顯然有31例 2-1-12 設(shè) ， ， , 用卷積定理求 解： 由于按卷積定理得由于收斂域?yàn)?， 可知序列必定是因果序列。用圍線(xiàn)積分求逆Z變換得32在圍線(xiàn)內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)z=a和z=1，從而求得3310.序列相乘（復(fù)卷積定理）若則同時(shí)有 其中C是在v平面上 與 公共收斂域中繞原點(diǎn)的一條閉合曲線(xiàn)，v的收斂域滿(mǎn)足 以及 將此兩個(gè)不等式相乘即得34若序列都是因果序列，則由于 ，則有現(xiàn)證明 按Z變換定義得 35例 2-1-13 已知 用復(fù)卷積定理求 解 由于 按復(fù)卷積定理有 36 在v平面中，被

7、積函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收斂域?yàn)楣手挥幸粋€(gè)極點(diǎn)v2=b在圍線(xiàn)積分內(nèi)。用留數(shù)定理求得3711.帕斯維爾定理(Parseval) 若則且其中C為在由下述不等式確定的收斂域內(nèi)，繞原點(diǎn)的一條閉合曲線(xiàn)。 38 證明: 按序列的共軛性質(zhì)式有 則由復(fù)卷積定理有 由于假設(shè)條件規(guī)定 ,因此 =1在收斂域內(nèi)。因此可令z=1，有 帕斯維爾定理實(shí)際上能量守恒定理在Z域中的反映。39 2.5.5 時(shí)域離散系統(tǒng) 差分方程的Z變換解法 利用Z變換將差分方程變成了代數(shù)方程； 單邊Z變換的移位特性清楚給出了輸出與輸入及初始狀態(tài)之間的關(guān)系。40 當(dāng)輸入序列x(n)為因果序

8、列時(shí)，線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的常系數(shù)差分方程描述為1零狀態(tài)響應(yīng)的解法 在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(n)=0(n0)時(shí)，對(duì)上式兩邊取雙邊Z變換，由Z變換的移位特性可得41于是 由于常系數(shù)的差分方程中的系數(shù)ak和bk是已知的，按上式可求得H(z)，這樣由Z變換的卷積定理，當(dāng)x(n)給定時(shí)就可由下式求得響應(yīng)y(n)，這就是差分方程的零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換解法。42 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零時(shí)，除了考慮零狀態(tài)響應(yīng)外還必須考慮零輸入響應(yīng)。這時(shí)差分方程的Z變換解法需使用單邊Z變換。 由于序列移位的單邊Z變換與雙邊Z變換不同，下面先說(shuō)明單邊Z變換的移位特性。 2初始狀態(tài)不為零的解法 43設(shè) 則這就是序列移位后的單邊Z變換。 4