數(shù)學(xué)相關(guān)微積分

1、重積分的物理應(yīng)用1、物體的質(zhì)量2、物體的質(zhì)心（重心）上節(jié)內(nèi)容回顧3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)過(guò)原點(diǎn)垂直與xoy面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：平面薄片D對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：空間物體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：關(guān)于坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：4、物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力習(xí)題課一、主要內(nèi)容二、重積分的計(jì)算步驟三、典型例題定 義幾何意義性 質(zhì)計(jì)算法應(yīng) 用重積分一、主要內(nèi)容1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。2、掌握二重積分（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）的計(jì)算方法，交換累次積分的次序。3、掌握三重積分（直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)）的計(jì)算方法。4、會(huì)用重積分計(jì)算一些幾何量與物理量。（平面圖形的面積，體積，曲面的面積

2、）（質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力等）。基本要求：二、重積分的計(jì)算步驟1、畫積分區(qū)域草圖；2、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；3、選定積分次序；4、定出積分的上、下限；5、計(jì)算累次積分（定積分）。技巧：注意利用積分域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性。輪換對(duì)稱性積分區(qū)域被積函數(shù)例1. 解: 三、典型例題等式兩端求積分，得例2. 如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例3解將D分塊。例4.證明證:左端= 右端例5解只能選擇先x后y的積分次序。解例7解例809考研題解一畫域采用極坐標(biāo)系解二畫域采用極坐標(biāo)系例9 證解：設(shè)例10解例11解例12例13證明：交換積分次序例14解例15解積分區(qū)域如圖所示例16 解利用球坐標(biāo)例17.設(shè)

3、函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, 其中(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; (2) 證明 t 0 時(shí), (03考研)解: (1) 因?yàn)?兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得(2) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 即證 故有因此 t 0 時(shí), 因重積分應(yīng)用綜合例題微元法解決問(wèn)題的思路：熟悉相關(guān)的物理知識(shí)；取典型小區(qū)域，按質(zhì)點(diǎn)對(duì)待，寫出質(zhì)量微元小質(zhì)點(diǎn)位于 處，寫出待求量微元。解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法2 利用直角坐標(biāo)方程. 方法1 利用球坐標(biāo)方程.例18. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.上半平面方程為：例19求半徑為R，高為h的均勻圓柱體繞過(guò)對(duì)稱軸的中心且垂直于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解設(shè)柱體由平面z=0,z=h圍成。過(guò)中心且垂直于母線的軸為本問(wèn)題無(wú)現(xiàn)成公式可套！體會(huì)微元分析法思想！則注：此題也可以建立坐標(biāo)系，使軸為x軸。設(shè)柱體由平面 圍成。例20解一如圖建立坐標(biāo)系，球面方程設(shè)重心坐標(biāo)為由對(duì)稱性知密度函數(shù)為：而重心為解二：由對(duì)稱性知密度函數(shù)為：重心明確所建坐標(biāo)系！作業(yè)P160: 1(1,