圓周角和圓心角的關(guān)系

1、3.3 3.3 圓周角和圓心角的圓周角和圓心角的關(guān)系關(guān)系(1)(1)大興學校 卿麗萍圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系A(chǔ)BCDOABOABO相等的圓心角所對的弧相等，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等所對的弦相等圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系A(chǔ)BCDOABOABO如果兩個如果兩個圓心角圓心角、 兩條兩條弧弧、 兩條兩條弦弦中有中有一組量一組量相等，相等，中有中有一組量一組量相等，那么它們所對應的相等，那么它們所對應的其余各組量其余各組量都分別都分別相等相等1.圓心角的定義圓心角的定義?.OBC答答:頂點在圓心的角叫圓心角頂點在圓心的角叫圓心角.OBC 我們把頂點在圓心的周角等我們把頂點在圓

2、心的周角等分成分成360360份時，每一份的份時，每一份的圓心角圓心角是是1 1的角。的角。 在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對的在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等弧的度數(shù)相等。 因為同圓中相等的圓心角所因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被對的弧相等，所以整個圓也被等分成等分成360360份。我們把每一份這份。我們把每一份這樣的樣的弧弧叫做叫做1 1的弧。的弧。在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，點與圓的位置關(guān)系有哪些點與圓的位置關(guān)系有哪些? ?BC當角的頂點發(fā)生變化時，這個角的位置有哪幾種情況當角的頂點發(fā)生變化時，這個角的位置有哪幾種情況? ?A.O.O.O.A.

3、A.BCBC圓周角圓周角.OBCA特征：特征： 角的頂點在圓上角的頂點在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.圓周角定義圓周角定義: 頂點在圓上頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角并且兩邊都和圓相交的角叫叫圓周角圓周角.練習：練習：1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖2、指出圖中的圓周角。、指出圖中的圓周角。ABCO有沒有圓周角？有沒有圓周角？有沒有圓心角？有沒有圓心角？它們有什么共同的特點？它們有什么共同的特點？它們都對著它們都對著同一條弧所對的同一條弧所對的ABCOAB

4、COABCOABCODABCOD 下列圖形中，哪些圖形中的圓心角下列圖形中，哪些圖形中的圓心角BOCBOC和圓周角和圓周角AA是同對一條弧。是同對一條弧。 ABCOABCO 自己動手量一量自己動手量一量同一條弧同一條弧所對的圓心角和所對的圓心角和圓周角分別是多少度？圓周角分別是多少度？一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 n 為了解決這個問題為了解決這個問題, ,我們先探究一條弧所對的圓我們先探究一條弧所對的圓 周角和圓心角之間有的關(guān)系周角和圓心角之間有的關(guān)系. .類比圓心角類比圓心角探知探知圓周角圓周角 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的

5、相等的弧弧所對的所對的圓心角圓心角相等相等. . 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對的所對的圓周角圓周角有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 想一想想一想OOOABCABCABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如圖如圖, ,觀察觀察弧弧ACAC所對的所對的圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC, ,它們的大小有什么關(guān)系它們的大小有什么關(guān)系? ? 說說你的想法說說你的想法,并與同伴交流并與同伴交流. 議一議議一議n教師提示教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系注意圓心與圓周角的位置關(guān)系.OABCOABCOABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 1 1. .首

6、先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況： 當當圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的一邊的一邊(BC)(BC)上時上時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系的大小關(guān)系. . 議一議議一議nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .老師期望老師期望:你可

7、要理你可要理解并掌握解并掌握這個模型這個模型.圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ? 2.2.當當圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的內(nèi)部時的內(nèi)部時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會怎樣的大小關(guān)系會怎樣? ? 議一議議一議n老師提示老師提示: :能否轉(zhuǎn)化為能否轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所

8、對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ? 3.3.當當圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的外部時的外部時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系會怎樣的大小關(guān)系會怎樣? ? 議一議議一議n老師提示老師提示: :能否也轉(zhuǎn)化為能否也轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點B B作直徑作直

9、徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所對的圓周角等于它所一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半對的圓心角的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABC圓周角圓周角定理定理 綜上所述綜上所述, ,圓周角圓周角ABCABC與與圓心角圓心角AOCAOC的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是: : 圓周角定理圓周角定理: :一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對等于它所對 的的圓心角圓心角的一半的一半. . 議一議議一議n老師提示老師提示:圓

10、周角定理是承上啟下的知識點圓周角定理是承上啟下的知識點,要予以重視要予以重視.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21練習：練習：2.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圓中角求圓中角X的度數(shù)的度數(shù)AO.X120130AO.X120 C C D B3、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為AB的半圓中，的半圓中，O為圓心，為圓心，C、D為半為半圓上的兩點，圓上的兩點，COD=500，則，則CAD=_.做做看，收獲知多少？做做看，收獲知多少？一、判斷一、判斷1 1、頂點在圓上的角叫圓周角。、頂點在圓上的角叫圓周角。2

11、2、圓周角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)的一半。、圓周角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)的一半。二、計算二、計算1 1、半徑為、半徑為R R的圓中，有一弦分圓周成的圓中，有一弦分圓周成1 1：2 2兩兩部分，則弦所對的圓周角的度數(shù)是部分，則弦所對的圓周角的度數(shù)是 。O6060或或1201202 2、如圖、如圖, ,在在OO中中,BOC=50,BOC=50, , 求求AA的大小的大小. .OBAC解解: A= BOC = 25: A= BOC = 25. .21習題習題1.如圖：如圖：OA、OB、OC都是都是 O的半徑的半徑 AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12BAC=

12、 BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計算和證明問題解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理然后再靈活運用圓周角定理分析分析:AB所對圓周角是所對圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對圓周角是所對圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_習題習題1.如圖：如圖：OA、OB、OC都是都是 O的半徑的半徑 AOB=2BOC.求證：求證：ACB=2BAC.證明：證明：ACB= AOB12

13、BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計算和證明問題解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理然后再靈活運用圓周角定理分析分析:AB所對圓周角是所對圓周角是ACB, 圓心角是圓心角是AOB. 則則ACB= AOB. BC所對圓周角是所對圓周角是 BAC , 圓心角是圓心角是BOC, 則則 BAC= BOC 21_21_思考題思考題：如圖，在如圖，在 O中中, CE=BD, DE=2BC， EOD=64，求，求 A的度的度數(shù)。數(shù)。ABCDEO一一 、這節(jié)課

14、主要學習了兩個知識點：、這節(jié)課主要學習了兩個知識點：1、圓周角定義。、圓周角定義。2、圓周角定理及其定理應用。、圓周角定理及其定理應用。二、方法上主要學習了圓周角定理的證二、方法上主要學習了圓周角定理的證明滲透了明滲透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和的思想方法和分類討論的思想方法。分類討論的思想方法。三、圓周角及圓周角定理的應用極其廣三、圓周角及圓周角定理的應用極其廣泛，也是中考的一個重要考點，望同學泛，也是中考的一個重要考點，望同學們靈活運用們靈活運用 2. 2.如圖如圖(2),(2),在在OO中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系? ? 為什么為什么? ? 3. 3.如圖如圖(3),AB(3),AB是直徑是直徑, ,你能確定你能確定CC的度數(shù)嗎的度數(shù)嗎?