2022年《電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)》劉嵐課后習(xí)題解答

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載習(xí)題及參考答案5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷 q 與無窮大導(dǎo)體平面相距為d，如果把它移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？解：用鏡像法計(jì)算。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷的影響用鏡像電荷來代替，鏡像電荷的大小為 -q，位于和原電荷對(duì)稱的位置。當(dāng)電荷q 離導(dǎo)體板的距離為 x 時(shí)，電荷 q 受到的靜電力為2)2(042xqf靜電力為引力， 要將其移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處， 必須加一個(gè)和靜電力相反的外力2)2(042xqf在移動(dòng)過程中，外力f 所作的功為dqddxdxqdxf016220162當(dāng)用外力將電荷 q 移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，同時(shí)也要將鏡像電荷移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，所以，在整個(gè)過程中，外力作的總功為dq08/2。也可以用靜

2、電能計(jì)算。 在移動(dòng)以前， 系統(tǒng)的靜電能等于兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用能：dqdqqdqqqqw082)2(04)(21)2(042122211121移動(dòng)點(diǎn)電荷 q 到無窮遠(yuǎn)處以后， 系統(tǒng)的靜電能為零。 因此，在這精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載個(gè)過程中，外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增量， 即外力作功為dq08/2。52

3、一個(gè)點(diǎn)電荷放在直角導(dǎo)體內(nèi)部（如圖5-1） ，求出所有鏡像電荷的位置和大小。解：需要加三個(gè)鏡像電荷代替導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷。在（-a，d）處，鏡像電荷為 -q，在（錯(cuò)誤！鏈接無效。）處，鏡像電荷為 q，在（ a，-d）處，鏡像電荷為 -q。圖 5-1 53 證明：一個(gè)點(diǎn)電荷q 和一個(gè)帶有電荷 q、半徑為 r 的導(dǎo)體球之間的作用力為2)22(204rddrqddqrqqf其中 d 是 q 到球心的距離（ dr） 。證明：使用鏡像法分析。由于導(dǎo)體球不接地，本身又帶電q，必須在導(dǎo)體球內(nèi)加上兩個(gè)鏡像電荷來等效導(dǎo)體球?qū)η蛲獾挠绊憽Ｔ诰嚯x球心b=r2/d 處，鏡像電荷為q= -rq/d；在球心處，鏡像電荷為d

4、rqqqqq/2。點(diǎn)電荷 q 受導(dǎo)體球的作用力就等于球內(nèi)兩個(gè)鏡像電荷對(duì) q 的作用力，即2)2(2042)(2204drddqrddqrqqbdqdqqf2)22(204rdd r qddqrqq54 兩個(gè)點(diǎn)電荷 +q 和-q 位于一個(gè)半徑為a 的接地導(dǎo)體球的直徑的dq-qqqxya精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載

5、延長(zhǎng)線上，分別距離球心d 和-d。（1）證明：鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子， 位于球心，偶極矩為 2a3q/d2。（2）令 q 和 d 分別趨于無窮，同時(shí)保持q/d2不變，計(jì)算球外的電場(chǎng)。解： （1）使用導(dǎo)體球面的鏡像法疊加原理分析。在球內(nèi)應(yīng)該加上兩個(gè)鏡像電荷：一個(gè)是q 在球面上的鏡像電荷，q1 = -aq/d，距離球心b=a2/d；第二個(gè)是 -q 在球面上的鏡像電荷，q2 = aq/d，距離球心b1=-a2/d。當(dāng)距離較大時(shí)，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個(gè)電偶極子，電偶極矩為232)1(1dqabbqp（2）球外任意點(diǎn)的電場(chǎng)等于四個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。設(shè)+q 和-q 位于坐標(biāo) z 軸上， 當(dāng)

6、 q 和 d 分別趨于無窮，同時(shí)保持 q/d2不變時(shí)，由+q 和-q 在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)相當(dāng)于均勻平板電容器的電場(chǎng)，是一個(gè)均勻場(chǎng)。均勻場(chǎng)的大小為204/2dq，方向在 -ez。由鏡像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)可以由電偶極子的公式計(jì)算：）sincos2(304ererpe）sincos2(230432eredrqa55 接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個(gè)半徑為a的半球形突起， 在點(diǎn)（0，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

7、 第 3 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載0，d）處有一個(gè)點(diǎn)電荷q（如圖 5-5） ，求導(dǎo)體上方的電位。解：計(jì)算導(dǎo)體上方的電位時(shí)，要保持導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為零。先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷q1 = -q，位于（ 0，0，-d）處。再找球面鏡像電荷 q2 = -aq/d，位于（ 0，0，b）處，b= a2/d。當(dāng)疊加這兩個(gè)鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位時(shí)，在導(dǎo)體平面上和圖 5-5 球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個(gè)鏡像電荷q 3 =aq/d， 位于（0，0，-b）處。這時(shí)，三個(gè)鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平面和球面上都為零。而且三個(gè)鏡像電荷

8、在要計(jì)算的區(qū)域以外。導(dǎo)體上方的電位為四個(gè)點(diǎn)電荷的疊加，即）（332211041rqrqrqrq其中212)(22dzyxr212)(221dzyxr212)(222bzyxr212)(223bzyxr56求截面為矩形的無限長(zhǎng)區(qū)域（0 xa，0yb）的電位，其四壁的電位為dqbq2q3-b-dq1az精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀

9、學(xué)習(xí)資料歡迎下載0,0,）（）（bxx0,0）（ybybbyubybyuya2),1(020,0,）（解：由邊界條件0,0,）（）（bxx知，方程的基本解在y 方向應(yīng)該為周期函數(shù)，且僅僅取正弦函數(shù)，即)(sinbnnkynkny在 x 方向，考慮到是有限區(qū)域，選取雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)，使用邊界條件0,0）（y，得出僅僅選取雙曲正弦函數(shù)，即xbnshnx將基本解進(jìn)行線性組合，得bxnnbxnshnc1sin待定常數(shù)由 x=a 處的邊界條件確定，即bxnnbxnshncya1sin),(使用正弦函數(shù)的正交歸一性質(zhì)，有dybynbyabanshncb0sin),(202cossin2)(0sin0

10、20bbynynbbynnbbudybynbyub精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2cos222sin2)(0nnbnnbbu2cossin2)(02cos0sin)21(0bbbynynbbynnbbubbbynnbudybynbybbunbnbbunnbbunnnbucos02sin2)(0)2coscos0（

11、2c o s20nbnbbu化簡(jiǎn)以后得dybynbyabanshncb0sin),(2=2sin2202nnbu求出系數(shù)，代入電位表達(dá)式，得bxnshbynbannnunsinsin2sin2204157 一個(gè)截面如圖 5-7 所示的長(zhǎng)槽， 向 y 方向無限延伸， 兩則的電位是零，槽內(nèi) y， 0，底部的電位為00,ux ）（求槽內(nèi)的電位。解：由于在 x=0 和 x=a 兩個(gè)邊界的電位為零，故在 x 方向選取周期解，且僅僅取正弦函數(shù)，即)(sinannkxnknx圖 5-7 在 y 方向，區(qū)域包含無窮遠(yuǎn)處，故選取指數(shù)函數(shù)，在y時(shí)，電位趨于零，所以選取由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為xy=0=0=

12、u0a精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載ynkeny由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為ayneaxnnnsin1c待定系數(shù)由 y=0 的邊界條件確定。在電位表示式中，令y=0，得axnnnusin1c0)cos1(00sin02nnaudxaxnauanc當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，nunc04，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，00c。最后，

13、電位的解為ayneaxnnunsin045, 3, 157若上題的底部的電位為00,ux ）（ax3sin重新求槽內(nèi)的電位。解：同上題，在 x 方向選取正弦函數(shù)，即)(sinannkxnknx，在 y方向選取ynkeny。由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為ayneaxnnnsin1c精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載將

14、 y=0 的電位代入，得0uax3sinaxnnnsin1c應(yīng)用正弦級(jí)數(shù)展開的唯一性，可以得到n=3 時(shí)，03cc，其余系數(shù)00c，所以ayeax33sin0u59 一個(gè)矩形導(dǎo)體槽由兩部分構(gòu)成，如圖5-9 所示，兩個(gè)導(dǎo)體板的電位分別是 u0和零，求槽內(nèi)的電位。解：將原問題的電位看成是兩個(gè)電位的疊加。一個(gè)電位與平行板電容器的電位相同（上板電位為u0，下板電位為零），另一個(gè)電位為u，即uya0u圖 5-9 其中， u 滿足拉普拉斯方程，其邊界條件為y=0 , u=0 y=a , u=0 x=0 時(shí), 20,02,000,0uayayuayaayuuayuy）（x時(shí)，電位 u應(yīng)該趨于零。 u的形式解

15、為ayx=u0=u02a精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載axneaynnnusin1c待定系數(shù)用 x=0 的條件確定。）（y,0uaynnnusin1cdyaynayunca0sin),0(202cossin2)(0sin020aaynynaaynnaaudyaynayua2cos222sin2)(0nnannaa

16、u2c o ssi n2)(02cos0sin)21(0aaaynynaaynnaauaaaynnaudyaynayaaunanaaunnaaunnnaucos02sin2)(0)2coscos0（2c o s20nanaau化簡(jiǎn)以后，得到dyaynayunca0sin),0(2=2cos0nnau只有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不為零。將系數(shù)求出，代入電位的表達(dá)式，得axneaynnnunyausin2cos02,4,20510 將一個(gè)半徑為a 的無限長(zhǎng)導(dǎo)體管平分成兩半，兩部分之間互相絕緣，上半 (0）接電壓 u0，下半（ 1 的各項(xiàng)，得020,02nandnanandna由此解出0ndna。最終得到圓柱內(nèi)

17、、外的電位分別是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載cos2000cos02,cos00201raerere電場(chǎng)強(qiáng)度分別為eereeesin0002cos000211eraereraee)22001(sin0)22001(cos022514 在均勻電場(chǎng)中，設(shè)置一個(gè)半徑為a 的介質(zhì)球，若電場(chǎng)的方向沿z 軸，求介質(zhì)球內(nèi)

18、、外的電位、電場(chǎng)（介質(zhì)球的介電常數(shù)為，球外為空氣） 。解：設(shè)球內(nèi)、外電位解的形式分別為)(cos)1(01nnpnrnbnrnan)(cos)1(02nnpnrndnrncn選取球心處為電位的參考點(diǎn)，則球內(nèi)電位的系數(shù)中00a，0nb.在 r處，電位cos02re，則球外電位系數(shù)nc中，僅僅1c不為零，01ec，其余為零。因此，球內(nèi)、外解的形式可分別簡(jiǎn)化為)(cos(01nnpnrnan)(cos10cos02nnpnrndnre再用介質(zhì)球面（ r=a）的邊界條件1=2及rr201，得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 16 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載)(cosp2)1(01cos00)(cosp11)(cos11cos0)(cosp1nnnandnnennnannannnpnandnaennnanan比較上式的系數(shù)，可以知道，除了n=1 以外，系數(shù)na、nd均為零，且3102