廣西田陽高中2020學年高二數學12月月考試卷 理（含解析）

廣西壯族自治區(qū)田陽高中2020學年高二12月月考數學（理）試題一、選擇題：（共12題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1.拋物線的準線方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】拋物線方程即為，故準線方程為選A2.已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為()A. 100,10 B. 200,10 C. 100,20 D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論【詳解】由圖1得樣本容量為（3500+2000+4500）2%100002%200，抽取的高中生人數為20002%40人，則近視人數為400.520人，故選：D【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決本題的關鍵3.將數30012轉化為十進制數為（ ）A. 524 B. 774 C. 256 D. 260【答案】B【解析】試題分析：故選B考點：排序問題與算法的多樣性.4.一組數據的平均數是4.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（）A. 55.2，3.6 B. 55.2，56.4 C. 64.8，63.6 D. 64.8，3.6【答案】D【解析】【分析】首先寫出原來數據的平均數的公式和方差的公式，把數據都加上以后，再表示出新數據的平均數和方差的公式，兩部分進行比較，即可得到結果.【詳解】設這組數據分別為，由其平均數為，方差是，則有，方差，若將這組數據中每一個數據都加上，則數據為，則其平均數為，方差為，故選D.【點睛】本題主要考查了數據的平均數和方差公式的計算與應用，其中熟記數據的平均數和方差的公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5.下列結論錯誤的是()A. 命題“若p，則q”與命題“若非q，則非p”互為逆否命題B. 對于一個命題的四種命題可能一個真命題也沒有C. 命題“直棱柱的每個側面都是矩形”為真D. “若am2bm2，則ab”的逆命題為真【答案】D【解析】【分析】寫出命題“若p，則q”的逆否命題判斷A，通過四種命題的關系和真假判斷，即可判斷B，由直棱柱的性質可知C成立命題“若am2bm2，則ab”的逆命題為“若ab，則am2bm2”，當m0時，該命題為假來判斷D【詳解】命題“若p，則q”的逆否命題為：“若非q，則非p”，故A正確；一個命題與它的逆命題、否命題、逆否命題中，互為逆否命題的命題有2對，根據互為逆否命題的兩個命題真假性相同，這四個命題中真命題個數為0、2或4，故B正確；由直棱柱的性質可知，直棱柱每個側面都是矩形，故C成立；命題“若am2bm2，則ab”的逆命題為“若ab，則am2bm2”，很顯然當m0時，該命題為假故D不成立故選：D【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查四種命題間的相互關系，考查了直棱柱的性質，屬于綜合題.6.已知是橢圓上一點， 為橢圓的兩焦點，且，則面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由橢圓的標準方程可得：c4，設|PF1|t1，|PF2|t2，根據橢圓的定義可得：t1+t210，再根據余弦定理可得：t12+t22t1t264，再聯立兩個方程求出t1t212，進而結合三角形的面積公式求出三角形的面積【詳解】由橢圓的標準方程可得：a5，b3，c4，設|PF1|t1，|PF2|t2，所以根據橢圓的定義可得：t1+t210，在F1PF2中，F1PF260，所以根據余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264，整理可得：t12+t22t1t264，把兩邊平方得t12+t22+2t1t2100，所以得t1t212，F1PF23故選A【點睛】本題考查橢圓的幾何性質與橢圓的定義，考查了解三角形的有關知識點，以及考查學生的基本運算能力與運算技巧，屬于中檔題7. 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（ ）A. 34 B. 55 C. 78 D. 89【答案】B【解析】試題分析：由題意， ，從而輸出，故選B.考點：1.程序框圖的應用.【此處有視頻，請去附件查看】8.雙曲線過點（，4），則它的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用已知條件求出a，然后求解雙曲線的漸近線方程即可【詳解】雙曲線過點（，4），可得，可得a4，則該雙曲線的漸近線方程為：故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力9.如圖，長方體中，分別是的中點，則異面直線與所成角為（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】D【解析】如圖：連接B1G，EGE，G分別是DD1，CC1的中點，A1B1EG，A1B1=EG，四邊形A1B1GE為平行四邊形，A1EB1G，B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=B1G2+FG2=B1F2B1GF=90異面直線A1E與GF所成角為90，故選 D10.兩人約定在2000到2100之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在2000至2100各時刻相見的可能性是相等的，則他們兩人在約定時間內相見的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意設事件A為“甲乙兩人能會面”，求出試驗包含的所有事件，并且事件對應的集合表示的面積是s1，再求出滿足條件的事件，并且得到事件對應的集合表示的面積是 ，進而根據幾何概率模型的計算公式可得答案【詳解】由題意知本題是一個幾何概型，設事件A為“甲乙兩人能會面”，試驗包含的所有事件是（x，y）|，并且事件對應的集合表示的面積是s1，滿足條件的事件是A（x，y）|，|xy|所以事件對應的集合表示的面積是12，根據幾何概型概率公式得到P則兩人在約定時間內能相見的概率是故選：B【點睛】本題考查了幾何概型的定義與概率計算公式，而幾何概率模型一般通過事件的長度、面積或者體積之比來求事件發(fā)生的概率，本題屬于中檔題，11.直線過橢圓：的左焦點和上頂點，與圓心在原點的圓交于兩點，若，則橢圓離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據圓的性質結合求出直線的斜率，再根據的坐標得出直線的斜率，從而得出的關系，進而求出橢圓的離心率.【詳解】橢圓的焦點在軸上，,，故直線的方程為，即，直線（即）的斜率為，過作的垂線，則為的中點，是的中點，直線的斜率，不妨令，則，橢圓的離心率，故選D.【點睛】本題主要考查直線的斜率、圓的性質以及橢圓的離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.12.雙曲線與拋物線相交于兩點,公共弦恰好過它們的公共焦點,則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由拋物線和雙曲線的對稱性可知垂直與軸因為過焦點,則可令因為拋物線和雙曲線共焦點,則,所以,將代入雙曲線方程可得,則,將代入上式并整理可得,即,解得,因為,所以故B正確考點：1拋物線的定義;2雙曲線的離心率二填空題：（每小題5分，共20分）13.若向量=（4, 2，-4）,=（6, -3，2）,則_【答案】4【解析】【分析】由坐標運算可得2和2的坐標，進而可得其數量積【詳解】（4，2，4），（6，3，2），由向量的坐標運算可得22（4，2，4）-（6，3，2）（2，7，10），2（4，2，4）+2（6，3，2）（16，-4，0）62470（10）4【點睛】本題考查空間向量的數量積的坐標運算，屬于基礎題14.命題p:，,若“非p”為真命題，m的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由題意知， x2+mx+20恒成立，即，即可得到結果.【詳解】由題意知，命題p:，為假，即x2+mx+20恒成立，即，所以0，得到，故答案為.【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應用，考查轉化思想以及計算能力15.過原點的直線與圓相交于A、B兩點，則弦AB中點M的軌跡方程為_【答案】【解析】【分析】根據圓的特殊性，設圓心為C，則有CMAB，當斜率存在時，kCMkAB1，斜率不存在時加以驗證【詳解】設圓x2+y26x+50的圓心為C，則C的坐標是（3，0），由題意，CMAB，當直線CM與AB的斜率都存在時，即x3，x0時，則有kCMkAB1，（x3，x0），化簡得x2+y23x0（x3，x0），當x3時，y0，點（3，0）適合題意，當x0時，y0，點（0，0）不適合題意，解方程組得x，y，點M的軌跡方程是x2+y23x0（）故答案為【點睛】本題主要考查軌跡方程的求解，應注意利用圓的特殊性，同時注意所求軌跡的純粹性，避免增解16.設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F為拋物線的焦點，記點P到點A（-1,1）的距離與點P到直線x= - 1的距離之和的最小值為M，若B（3,2），記|PB|+|PF|的最小值為N，則M+N= _【答案】【解析】【分析】當P、A、F三點共線時，點P到點A（-1,1）的距離與點P到直線x= - 1距離之和最小，由兩點間的距離公式可得M；當P、B、F三點共線時，|PB|+|PF|最小，由點到直線的距離公式可得【詳解】可得拋物線y24x的焦點F（1，0），準線方程為x1，點P到點A（1，1）的距離與點P到直線x1的距離之和等于P到點A（1，1）的距離與點P到焦點F的距離之和，當P、A、F三點共線時，距離之和最小，且M=|AF|，由兩點間的距離公式可得M=|AF|；由拋物線的定義可知|PF|等于P到準線x1的距離，故|PB|+|PF|等于|PB|與P到準線x1的距離之和，可知當P、B、F三點共線時，距離之和最小，最小距離N為3（1）4,所以M+N=，故答案為.【點睛】本題考查拋物線的定義，涉及點到點、點到線的距離，利用好拋物線的定義是解決問題的關鍵，屬于中檔題三解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知p:,q:,若p是q的充分不必要條件，求實數的取值范圍【答案】【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法分別求出命題p和q，由p是q的充分不必要條件，可知pq，從而求出a的范圍.【詳解】解得，解得：，若p是q的充分不必要條件，則，解得：【點睛】本題考查充分條件、必要條件和充要條件，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式組的解法，是一道基礎題；18.對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數頻率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合計M1（1）求出表中M，p及圖中a的值；（2）若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間15，20）內的人數；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間20，25）內的概率【答案】（1）0.125；（2）5；（3）【解析】【分析】（1）由頻率=，能求出表中M、p及圖中a的值（2）由頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖能求出參加社區(qū)服務的平均次數（3）在樣本中，處于20，25）內的人數為3，可分別記為A，B，C，處于25，30內的人數為2，可分別記為a，b，由此利用列舉法能求出至少1人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間20，25）內的概率【詳解】（1）由分組10，15）內的頻數是10，頻率是0.25知，所以M=40因為頻數之和為40，所以因為a是對應分組15，20）的頻率與組距的商，所以（2）因為該校高三學生有360人，分組15，20）內的頻率是0.625，所以估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在此區(qū)間內的人數為3600.625=225人（3）這個樣本參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生共有3+2=5人設在區(qū)間20，25）內的人為a1，a2，a3，在區(qū)間25，30）內的人為b1，b2則任選2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10種情況，（9分）而兩人都在20，25）內共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3種情況，至多一人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間20，25）內的概率為【點睛】本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用19.已知直線與雙曲線（1）當時，直線與雙曲線的一漸近線交于點，求點到另一漸近線的距離；（2）若直線與雙曲線交于兩點，若，求的值【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）寫出雙曲線漸近線方程，漸近線方程與直線方程聯立可求得，利用點到直線距離公式即可得結果；（2）直接聯立直線與雙曲線方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數關系求得兩交點的橫坐標的和與積，由弦長公式列方程求解即可.【詳解】（1）雙曲線漸近線方程為由得則到的距離為；（2）聯立方程組，消去得直線與雙曲線有兩個交點，解得且，（且）.，解得，或，.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程、點到直線距離公式以及弦長公式的應用，屬于中檔題.求曲線的弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.20.某種產品的廣告費用支出（萬元）與銷售額（萬元）之間有如下的對應數據：245683040605070（1）求回歸直線方程；（2）據此估計廣告費用為12萬元時的銷售額約為多少？參考公式： 【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據所給的數據先做出橫標和縱標的平均數，利用最小二乘法寫出線性回歸方程系數的表達式，把樣本中心點代入求出a的值，得到線性回歸方程；（2）根據所給的變量的值，把值代入線性回歸方程，得到對應的的值，這里的的值是一個預報值.試題解析：（1）求回歸直線方程，因此回歸直線方程為；（2）當時，預報的值為萬元，即廣告費用為12萬元時，銷售收入的值大約是萬元.21.如圖，四邊形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB/PA,AB=PA=4，EB=2，F為PD的中點.（1）求證AFPC（2）BD/平面PEC（3）求二面角D-PC-E的大小【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）150.【解析】【分析】（1）依題意，PA平面ABCD以A為原點，分別以、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AFPC（2）取PC的中點M，連接EM推導出BDEM，由此能證明BD平面PEC（3）由AFPD，AFPC，得AF平面PCD，求出平面PCD的一個法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角DPCE的大小【詳解】（1）依題意，平面ABCD，如圖，以A為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系。依題意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0），P（0，0，4），E（0，4