抽樣分布基本概念 .ppt

1、統(tǒng)計(jì)學(xué) -從典型案例到問(wèn)題和思想,經(jīng)濟(jì)管理類“十三五”規(guī)劃教材,典型案例【6】 第一節(jié) 抽樣分布基本概念 第二節(jié) 幾個(gè)常見(jiàn)的抽樣分布,第五章 抽樣分布,【典型案例6】如何決定是否購(gòu)買一批蘋(píng)果？,俗話說(shuō)“一日一蘋(píng)果，醫(yī)生遠(yuǎn)離我。” 假如現(xiàn)在面對(duì)一批蘋(píng)果，人們?nèi)绾瘟私馑?們口感的均值和差異值，以便作出是否購(gòu) 買這批蘋(píng)果的決策呢？ 人們常用作法：從這批蘋(píng)果中隨機(jī)挑 出幾個(gè)品嘗后，得出這幾個(gè)蘋(píng)果口感的均 值和差異值，以此作為這批蘋(píng)果口感的均 值和差異值，從而作出是否購(gòu)買這批蘋(píng)果 的決策。,從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來(lái)講，挑出的幾個(gè)蘋(píng)果口感的均值和差異值就是樣本平均數(shù)和樣本方差，這批蘋(píng)果口感的均值和差異值是總體平均數(shù)

2、和總體方差。 這種用商品質(zhì)量數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)、樣本方差作為總體平均數(shù)、總體方差的作法，是人們購(gòu)買商品時(shí)常用的有效估計(jì)方法，其理論依據(jù)是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。,【典型案例6】如何決定是否購(gòu)買一批蘋(píng)果？,第一節(jié) 抽樣分布基本概念,一、樣本容量和樣本個(gè)數(shù) 二、參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量 三、抽樣分布 四、抽樣分布的數(shù)字特征,總體是研究的所有個(gè)體構(gòu)成的集合，其中的個(gè)體的數(shù)目常用 表示。 從中隨機(jī)抽取部分個(gè)體構(gòu)成一個(gè)樣本，構(gòu)成樣本的個(gè)體的數(shù)目，常用 表示，稱為樣本容量，也稱樣本量。 例如，典型案例6中，一批蘋(píng)果有400個(gè)，從中抽取8個(gè)進(jìn)行品嘗，那么 ，而 。顯然，從中可以得到很多個(gè)樣本。,一、樣本容量和樣本個(gè)數(shù),從一個(gè)

3、含有N個(gè)個(gè)體的總體中，隨機(jī)抽取樣本容量為n的樣本，可得到很多個(gè)樣本，此即樣本個(gè)數(shù)。 典型案例6中，將400個(gè)蘋(píng)果編號(hào)，則隨機(jī)抽取的樣本可能是由編號(hào)為18的這8個(gè)蘋(píng)果構(gòu)成，也可能是由編號(hào)為101108的8個(gè)蘋(píng)果構(gòu)成等等。,一、樣本容量和樣本個(gè)數(shù),參數(shù)是用來(lái)描述總體數(shù)量特征的，如總體均值 、總體比例 、總體方差 等； 統(tǒng)計(jì)量是用來(lái)描述樣本數(shù)量特征的，是由樣本構(gòu)造的函數(shù)，如樣本均值 、樣本比例 、樣本方差 等。 由于總體是唯一的、固定不變的，故參數(shù)往往是一個(gè)未知的常數(shù)；而樣本不唯一，且一旦抽取出來(lái)，就成為已知，故統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，其取值隨著樣本的變化而改變。,二、參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量,抽樣的目的就是要根據(jù)樣

4、本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)或推斷總體參數(shù)。 比如，常用樣本均值 去推斷總體均值 、用樣本比例 去推斷總體比例 、用樣本方差 去推斷總體方差 。 以上做法的理論依據(jù)就是樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。,二、參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。抽樣分布就是統(tǒng)計(jì)量的概率分布。 如樣本均值的概率分布、樣本比例的概率分布、樣本方差的概率分布等都稱為抽樣分布。,三、抽樣分布,以下將以樣本均值為例說(shuō)明統(tǒng)計(jì)量的 抽樣分布。,【例5-1】設(shè)有一個(gè)總體，含有5個(gè)個(gè)體：10、20、30、40、50，即 。采取重復(fù)抽樣的方式從中抽取樣本容量為2的樣本，即 。 試寫(xiě)出樣本均值 的抽樣分布。,三、抽樣分布,解：由于 =5， =2，從總體中采取重

5、復(fù)抽樣的方式抽取樣本，則樣本共有 =52 =25個(gè)。計(jì)算出這25個(gè)樣本的均值 ，其結(jié) 果如表5-1所示。,表5-1 n=2 時(shí)樣本均值的抽樣及其取值情況,表5-2 =2時(shí)樣本均值 的抽樣分布,從而，樣本均值 的概率分布如表5-2所示。,三、抽樣分布,在例5-1中，若樣本容量n=4，則樣本共有 個(gè),并且例5-1中的總體是一個(gè)非常小的總體，現(xiàn)實(shí)世界中，我們面對(duì)的總體往往很大，進(jìn)而樣本數(shù)目將很可觀，不可能將所有的樣本都抽取出來(lái)。 因此抽樣分布實(shí)質(zhì)上是一種理論分布。它可能是精確的某已知分布，也可能是以某已知分布為極限的極限分布。,三、抽樣分布,抽樣分布理論在推斷統(tǒng)計(jì)中具有重要的作用，它是后續(xù)參數(shù)估計(jì)和

6、假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)和基礎(chǔ)。,三、抽樣分布,設(shè)總體的平均數(shù)為 ，方差為 ，采取重復(fù)抽樣的方式，從中抽取獨(dú)立同分布的樣本： ， 。根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，可推出：,四、抽樣分布的數(shù)字特征,（一）樣本均值的數(shù)字特征,（5.1）,在例5-1中，樣本均值的平均數(shù),總體均值,樣本均值的方差,總體方差,由于n =2，從而驗(yàn)證了（5.1）的正確性。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,由式（5.1）可知： 的平均數(shù)為 ，方差為 。隨著 的增大，其方差越來(lái)越小，從而 的取值越來(lái)越向著 靠攏，故用 去估計(jì) 理論依據(jù)成立。,由此可見(jiàn)，典型案例6中，人們用挑選 出的幾個(gè)蘋(píng)果口感的均值去估計(jì)這批蘋(píng)果 口感的均值的做法是站得住腳的

7、。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,以上結(jié)論均建立在重復(fù)抽樣情形下，若是在不重復(fù)抽樣情形下，方差需要用系數(shù) 進(jìn)行修正，從而樣本均值的數(shù)字特征為：,（5.2）,可見(jiàn)：用 去估計(jì) 理論依據(jù)同樣成立。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,比例：總體（或樣本）中具有某種屬性的個(gè)體數(shù)與全部個(gè)體數(shù)之比，總體比例記為 。 現(xiàn)有 ，采取重復(fù)抽樣的方式從中抽取獨(dú)立同分布的樣本： ， 。樣本中變量值1出現(xiàn)次數(shù)記為 ，那么變量值1出現(xiàn)次數(shù)所占的比例為 / ，即 為樣本比例。,（二）樣本比例的數(shù)字特征,四、抽樣分布的數(shù)字特征,根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，可推出樣本比例 的數(shù)學(xué)期望、方差與總體的平均數(shù)、方差之間的關(guān)系：,（5.3）,四、抽樣

8、分布的數(shù)字特征,由式（5.3）可知： 的平均數(shù)為總體 比例 ，方差為 。隨著 的增大， 方差越來(lái)越小，從而 的取值越來(lái)越向 靠攏，故用 去估計(jì) 理論依據(jù)成立。,以上結(jié)論均建立在重復(fù)抽樣情形下，若是在不重復(fù)抽樣情形下，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，方差需要用系數(shù)進(jìn)行修正，從而樣本比例的數(shù)字特征為：,（5.4）,可見(jiàn)：用 去估計(jì) 理論依據(jù)同樣成立。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,設(shè)總體 的方差為 ，采取重復(fù)抽樣的方式，從中抽取獨(dú)立同分布的樣本： ， ， 。根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，可推出樣本方差的數(shù)學(xué)期望、方差與總體的方差之間的關(guān)系為：,（5.5）,（三）樣本方差的數(shù)字特征,四、抽樣分布的數(shù)字特征,由式(5.5)可

9、知：樣本方差的平均數(shù)為 ，方差為 ，隨著 的增大，其方差越來(lái)越小，從而 的取值越來(lái)越向著 靠攏，故用 去估計(jì) 理論依據(jù)成立。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,由此可見(jiàn)，典型案例6中，人們用挑選 出的幾個(gè)蘋(píng)果口感的差異值去估計(jì)這批蘋(píng) 果口感的差異值的做法是站得住腳的。,以上結(jié)論均建立在重復(fù)抽樣情形下，若是在不重復(fù)抽樣情形下，方差需要用系數(shù)進(jìn)行修正，從而樣本方差的數(shù)字特征為：,（5.6）,可見(jiàn)：用 去估計(jì) 理論依據(jù)同樣成立。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤，也稱標(biāo)準(zhǔn)誤差。 標(biāo)準(zhǔn)誤可用于說(shuō)明抽樣誤差的大小。抽樣誤差是指由抽樣的隨機(jī)性引起的樣本結(jié)果與總體的真實(shí)值之間的差異，

10、它描述的是所有樣本可能的結(jié)果與總體真值之間的平均性差異。若總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。,（四）標(biāo)準(zhǔn)誤(重點(diǎn)),四、抽樣分布的數(shù)字特征,樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤為 。當(dāng)總體比例 未知時(shí)，可用樣本比例代替，此時(shí)得到的標(biāo)準(zhǔn)誤稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。,四、抽樣分布的數(shù)字特征,樣本方差的標(biāo)準(zhǔn)誤為 。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn) 差未知時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，此時(shí)得 到的標(biāo)準(zhǔn)誤稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。,樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤為 。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn) 差未知時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，此時(shí)得 到的標(biāo)準(zhǔn)誤稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。,一、樣本均值的抽樣分布 二、樣本比例的抽樣分布 三、樣本方差的抽樣分布 四、t分布和F分布,第二節(jié) 幾個(gè)常見(jiàn)的抽

11、樣分布,抽樣分布即統(tǒng)計(jì)量的概率分布。本節(jié)將分別對(duì)樣本均值、樣本比例以及樣本方差的抽樣分布作詳細(xì)的討論。,如無(wú)特別說(shuō)明，本章中的抽樣方式均 指重復(fù)抽樣。,第二節(jié) 幾個(gè)常見(jiàn)的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布，就是采取重復(fù)抽樣的方式，選取容量為 的所有樣本，由樣本均值所有可能的取值形成的概率分布。它是推斷總體均值 的理論基礎(chǔ)。,以下分兩種情況來(lái)討論樣本均值 的 抽樣分布類型。,一、樣本均值的抽樣分布,正態(tài)分布的再生定理：若總體變量 ,從這個(gè)總體中抽取容量為 的樣本，則樣本均值 。,（一）總體服從正態(tài)分布,一、樣本均值的抽樣分布,正態(tài)分布：若 的概率密度函數(shù)為,（5.7）,其中， 和 都是參數(shù)，且 ，則稱

12、 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布，記作 。其概率密度函數(shù)圖見(jiàn)圖5-1。,圖5-1 正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖,一、樣本均值的抽樣分布,正態(tài)分布概率密度函數(shù) 的性質(zhì)：,（1） ，即整個(gè)曲線都在x軸的上方； （2）曲線 相對(duì)于 對(duì)稱，并在 處達(dá)到最大值 ； （3）曲線的陡緩程度由 決定， 越大，曲線越平緩； 越小，曲線越陡峭。 （4）當(dāng) 趨于無(wú)窮時(shí)，曲線以 軸為漸近線。 正態(tài)分布的概率密度曲線是一條對(duì)稱的鐘型曲線。 決定了圖形的中位置， 決定了圖形中曲線的陡峭程度。,特別地，當(dāng)參數(shù) =0， =1時(shí)，這樣的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 ，其概率密度函數(shù)為：,一、樣本均值的抽樣分布,獨(dú)立同分布中心極限定理表明

13、：無(wú)論總體服從何種分布，只要其平均數(shù)和方差存在，那么從中抽取的獨(dú)立同分布樣本 ， ，其均值在當(dāng) 很大時(shí)，就會(huì)近似服從正態(tài)分布 。,（二）總體服從非正態(tài)分布,實(shí)際應(yīng)用中，一般取 ，此時(shí)的樣 本稱為大樣本。若為小樣本，且總體分布 不是正態(tài)分布，此時(shí)不能按照正態(tài)分布來(lái) 處理，要運(yùn)用小樣本的相關(guān)理論來(lái)討論。,圖5-2 樣本均值的抽樣分布圖,一、樣本均值的抽樣分布,根據(jù)本章第一節(jié)，在不重復(fù)抽樣情形下，樣本均值的抽樣分布為： ,（5.8）,一、樣本均值的抽樣分布,【例5-2】假設(shè)在一個(gè)飯店門口等待出租車的時(shí)間是服從左偏分布的，均值為12分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘?，F(xiàn)從飯店門口隨機(jī)抽取100名顧客并記錄他們等待出

14、租車的時(shí)間，考察100名顧客的平均等待時(shí)間的抽樣分布。,一、樣本均值的抽樣分布,解：依題意，總體均值 =12， =3，根據(jù)中心極限定理可知：樣本均值（100名顧客的平均等待時(shí)間）的抽樣分布為： ,即： ,一、樣本均值的抽樣分布,【例5-3】人口普查發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)成年男子的身高服從正態(tài)分布N(175, 62)，采取重復(fù)抽樣的方式從該地區(qū)抽取64名成年男子構(gòu)成樣本，求樣本均值的平均數(shù)和方差。,一、樣本均值的抽樣分布,解：依題意，總體服從正態(tài)分布，且 =175， =62。根據(jù)正態(tài)分布的再生定理， 樣本均值 ，即樣本均值的平 均數(shù) ，樣本均值的方差 。,樣本比例 的抽樣分布，就是采取重復(fù)抽樣的方式，選取

15、容量為 的所有樣本，由樣本比例 的所有可能的取值形成的概率分布。它是推斷總體比例 的理論基礎(chǔ)。,二、樣本比例p的抽樣分布,可以看到，樣本比例是一種特殊的樣本均值。從而，根據(jù)樣本均值的抽樣分布理論可得樣本比例的抽樣分布。 一般地，若能同時(shí)滿足 和 ，就可以認(rèn)為樣本容量很大。,樣本比例 的抽樣分布為：在滿足條 件的情況下，即當(dāng)樣本容量很大時(shí) ,（5.9）,二、樣本比例p的抽樣分布,在不重復(fù)抽樣情形下，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布為： ,（5.10）,二、樣本比例p的抽樣分布,說(shuō)明：在不重復(fù)抽樣情形下，對(duì)于無(wú) 限總體也可以按重復(fù)抽樣來(lái)處理，即方差 不用修正；對(duì)于有限總體，要用修正系數(shù) 修正，

16、另外，若此時(shí) 很大而抽樣比 時(shí)，修正系數(shù)趨于1，方差可以按重復(fù)抽樣 情形時(shí)（即不用修正）的公式計(jì)算。,樣本方差 的抽樣分布，就是采取重復(fù)抽樣的方式，選取容量為 的所有樣本，由樣本方差 的所有可能的取值形成的概率分布。它是推斷總體方差 的理論基礎(chǔ)。,三、樣本方差S2的抽樣分布,設(shè)總體服從均值為 ，方差 的正態(tài)分布， ， ， 為來(lái)自該總體的樣本，則樣本方差 的抽樣分布為： ,（5.11）,稱 服從自由度為 的 分布（卡方 分布）。,三、樣本方差S2的抽樣分布,卡方分布：設(shè) , 為來(lái)自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0,1）的樣本，則 服從自由度為 的 分布，記為 ，讀作卡方分布。,三、樣本方差S2的抽樣分布,圖

17、5-3 卡方分布的概率密度函數(shù)圖,三、樣本方差S2的抽樣分布,卡方分布的數(shù)字特征為：若 ，則總體平均數(shù) ，方差 。,由卡方分布的數(shù)字特征，可得：,（5.12）,在不重復(fù)抽樣情形下，方差為 。,三、樣本方差S2的抽樣分布,（一） t分布,t分布也稱為學(xué)生氏分布，是戈塞特于1908年在一篇以“Student”(學(xué)生)為筆名的論文中首次提出的。 設(shè) 且 與 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的t分布，記作 t 。,四、t分布和F分布,圖5-4 分布的概率密度函數(shù)圖,四、t分布和F分布,分布概率密度函數(shù)曲線是以縱軸為對(duì)稱軸的單峰對(duì)稱圖形，其與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線類似， 分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。自由度 越大， 分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng) 時(shí)， 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完