2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型一 多解題 (含答案)

2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型一多解題類型一圖形形狀不確定作圖微技能例1(1)如圖①，已知∠C＝30°，AC＝4，點(diǎn)B是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，畫出△ABC，使得AB＝2eq\r(2)；【思維引導(dǎo)】過點(diǎn)A作CD的垂線，由已知可求垂線的長度為2，∠A為銳角或鈍角，即分點(diǎn)B在垂線左側(cè)和垂線右側(cè)兩種情況畫圖．(2)如圖②，已知∠C＝30°，AC＝4，點(diǎn)B是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，畫出△ABC，使得△ABC是直角三角形；【思維引導(dǎo)】分∠BAC＝90°和∠ABC＝90°兩種情況畫圖．(3)如圖③，已知∠C＝30°，AC＝4，點(diǎn)B是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，畫出△ABC，使得△ABC是等腰三角形；【思維引導(dǎo)】分∠C為頂角和∠C為底角兩種情況，當(dāng)∠C為底角時(shí)又分AC＝AB和AB＝BC兩種情況畫圖．(4)如圖④，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，畫出以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【思維引導(dǎo)】分AB為邊和AB為對角線兩種情況，當(dāng)AB為邊時(shí)，又分點(diǎn)D在BC左側(cè)和點(diǎn)D在BC右側(cè)兩種情況．針對訓(xùn)練1.(2023云南黑白卷)已知四邊形ABCD是矩形，且長為6，寬為4，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊上，∠ABE＝45°，則AE的長為________.第2題圖2.沿三角形的兩條中位線分別剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖所示的平行四邊形，經(jīng)測量這個(gè)平行四邊形的相鄰的兩邊長分別為10、6，一條對角線的長為8，則原三角形紙片的周長是________．3.在△ABC中，AC＝BC＝4eq\r(2)，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別為AB，BC上的點(diǎn)，且AD＝3BD，若△BDE是直角三角形，則CE的長為________．類型二點(diǎn)位置不確定作圖微技能例2(1)如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是直線AD上的點(diǎn)，且滿足AE＝eq\f(1,2)AB，連接CE，畫出滿足條件的線段CE；例2題圖①【思維引導(dǎo)】分點(diǎn)E在線段AD上和點(diǎn)E在射線DA上兩種情況畫圖．(2)如圖②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是△ABC直角邊上的中點(diǎn)，畫出點(diǎn)D的位置；例2題圖②【思維引導(dǎo)】分點(diǎn)D在AC邊上和點(diǎn)D在BC邊上兩種情況畫圖．(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB>eq\f(1,2)AD，點(diǎn)E是矩形對稱軸上的點(diǎn)，且AB＝AE，畫出滿足條件的△AED；例2題圖③【思維引導(dǎo)】分點(diǎn)E在AD的垂直平分線和AB的垂直平分線兩種情況，當(dāng)E在AD的垂直平分線上時(shí)，又分E在AD上方和E在AD下方兩種情況．(4)如圖④，已知圓O和弦AB，C、D是圓O上的點(diǎn)，且CD⊥AB，請畫出圓周角∠ACB.例2題圖④【思維引導(dǎo)】分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB和點(diǎn)C在劣弧AB上兩種情況畫圖．針對訓(xùn)練1.(2023云南逆襲卷)在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，E為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BC＝2CE，則△ADE的面積為________．2.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)D是直角邊上的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為E，則AE的長為________________________________________________________________________．3.已知⊙O的直徑為4，AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，點(diǎn)P在⊙O上，若點(diǎn)P到直線AB的距離為1，則∠PAB的度數(shù)為________．4.在邊長為6的菱形ABCD中，∠B＝60°，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是對角線上的點(diǎn)，且AE＝2OE，則BE的長為________．類型三對應(yīng)關(guān)系不確定作圖微技能例3(1)如圖，已知△ABC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC和以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，找出點(diǎn)E的位置，并畫出圖形；例3題圖【思維引導(dǎo)】分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED兩種情況討論．(2)在矩形ABCD中，∠B的平分線將AD分成長度為1和2的兩部分，請畫出圖形，并標(biāo)出矩形的長和寬．【思維引導(dǎo)】若∠B的平分線交AD于點(diǎn)E，分AE＝1，DE＝2和AE＝2，DE＝1兩種情況．針對訓(xùn)練1.(2023云南逆襲卷)將一副直角三角板如圖放置，把△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)過程中，若△COD的直角邊與AB垂直，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為________．第1題圖2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，以O(shè)A為邊作正方形OABC，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過邊AB的三等分點(diǎn)，則k的值為________．3.已知△ABC為等邊三角形，且AB＝4，∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線BD上的點(diǎn)，且以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形和△ABD相似，則BE的長為________．類型四運(yùn)動(dòng)方向不確定作圖微技能例4(1)如圖①，已知△ABC，∠B＝60°，將邊BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)30°得到BD，連接AD，請畫出滿足條件的線段AD；例4題圖①【思維引導(dǎo)】分邊BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°兩種情況．(2)如圖②，已知平面直角坐標(biāo)系xOy和線段OA，將線段OA沿著y軸方向平移OA個(gè)單位長度，請畫出平移后的線段CD.【思維引導(dǎo)】分將線段OA向上平移和向下平移兩種情況．例4題圖②針對訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x－3，將二次函數(shù)的圖象沿著x軸平移使其經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，則二次函數(shù)圖象平移的長度為________．2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD為矩形，點(diǎn)B(3eq\r(3)，0)，點(diǎn)D(0，3)，將矩形OBCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________．參考答案類型一圖形形狀不確定作圖微技能例1解：(1)畫出圖形如解圖①②；圖①圖②例1題解圖(2)畫出圖形如解圖③④；圖③圖④例1題解圖(3)畫出圖形如解圖⑤⑥⑦；圖⑤圖⑥圖⑦例1題解圖(4)畫出圖形如解圖⑧⑨⑩.圖⑧圖⑨圖⑩例1題解圖針對訓(xùn)練1.4或2eq\r(5)【解析】分兩種情況，①當(dāng)AB為矩形ABCD的寬時(shí)，如解圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝AB＝4；②當(dāng)AB為矩形ABCD的長時(shí)，如解圖②，連接AE，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE＝45°，∠CEB＝45°，∴CE＝BC＝4，∴DE＝CD－CE＝6－4＝2，在Rt△ADE中，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).圖①圖②第1題解圖2.48或32＋8eq\r(13)【解析】如解圖①，周長為2×(10＋8＋6)＝48；如解圖②，∵BD＝6，BC＝8，CD＝10，∴BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴AC＝12，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(13)，∴周長為2×(10＋4eq\r(13)＋6)＝32＋8eq\r(13).綜上所述，原三角形紙片的周長是48或32＋8eq\r(13).圖①圖②第2題解圖3.2eq\r(2)或3eq\r(2)【解析】∵AC＝BC＝4eq\r(2)，∠C＝90°，∴∠ABC＝45°，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝8.∵AD＝3BD，∴BD＝eq\f(1,4)AB＝2.①當(dāng)DE⊥AB時(shí)，如解圖①，BE＝eq\f(BD,cos45°)＝2eq\r(2)，∴CE＝BC－BE＝2eq\r(2)；②當(dāng)DE⊥BC時(shí)，如解圖②，BE＝BD·cos45°＝eq\r(2)，∴CE＝BC－BE＝3eq\r(2).綜上所述，CE的長為2eq\r(2)或3eq\r(2).圖①圖②第3題解圖類型二點(diǎn)位置不確定作圖微技能例2解：(1)畫出圖形如解圖①②；圖①圖②例2題解圖(2)畫出圖形如解圖③④；圖③圖④例2題解圖(3)畫出圖形如解圖⑤⑥⑦⑧；圖⑤圖⑥圖⑦圖⑧例2題解圖(4)畫出圖形如解圖⑨eq\o(○,\s\up1(10)).圖⑨圖eq\o(○,\s\up1(10))例2題解圖針對訓(xùn)練1.2或6【解析】①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，由BC＝2CE，可得CE＝BE＝2，∵D為AB的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)AC＝2，∴S△ADE＝eq\f(1,2)DE·CE＝2；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，由BC＝2CE，可得CE＝2，∴BE＝6，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可得DF＝2，∴S△ADE＝S△ABE－S△BDE＝6.綜上所述，△ADE的面積為2或6.圖①圖②第1題解圖2.eq\f(\r(5),5)或eq\f(6\r(5),5)【解析】根據(jù)題意得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).點(diǎn)D的位置有兩種情況：①如解圖①，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，在Rt△ABC和Rt△AED中，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC)，∴AE＝AB·eq\f(AD,AC)＝2×eq\f(1,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(CD,CA)，∴CE＝CB·eq\f(CD,CA)＝4×eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，∴AE＝AC－CE＝2eq\r(5)－eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(6\r(5),5).綜上所述，AE的長為eq\f(\r(5),5)或eq\f(6\r(5),5).圖①圖②第2題解圖3.30°或15°或105°【解析】如解圖，過點(diǎn)O作OP1⊥AB交⊙O于點(diǎn)P1，交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作直線P2P3∥AB交⊙O于點(diǎn)P2，P3.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠AOH＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，∠AHO＝90°，∴∠OAH＝30°，∴OH＝eq\f(1,2)OA＝1，∴HP1＝1，∴直線AB與直線P2P3之間的距離為1，∴P1，P2，P3是滿足條件的點(diǎn)．∠P1AB＝eq\f(1,2)∠BOP1＝30°，∠P3AB＝eq\f(1,2)∠BOP3＝15°.∵P2P3為直徑，∴∠P2AP3＝90°，∴∠P2AB＝∠P3AB＋∠P2AP3＝105°.綜上所述，∠PAB的度數(shù)為30°或15°或105°.第3題解圖4.2eq\r(3)或4eq\r(3)或2eq\r(7)或6【解析】由菱形的性質(zhì)可知，AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∴AO＝CO＝eq\f(1,2)AB＝3，BO＝DO＝AB·cos30°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).∵點(diǎn)E在對角線上，∴點(diǎn)E的位置有四種情況：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在BO上時(shí)，∵eq\f(OE,AE)＝sin∠OAE＝eq\f(1,2)，∴∠OAE＝30°，∴OE＝AO·tan30°＝3×eq\f(\r(3),3)＝eq\r(3)，∴BE＝BO－OE＝3eq\r(3)－eq\r(3)＝2eq\r(3)；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)E在DO上時(shí)，由①可得OE＝eq\r(3)，∴BE＝BO＋OE＝3eq\r(3)＋eq\r(3)＝4eq\r(3)；③如解圖③，當(dāng)點(diǎn)E在AO上時(shí)，∵AE＝2OE，∴AO＝AE＋OE＝3OE，∴OE＝eq\f(1,3)AO＝1.在Rt△BOE中，BE＝eq\r(BO2＋OE2)＝eq\r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq\r(7)；④如解圖④，當(dāng)點(diǎn)E在OC上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴BE＝BC＝6.綜上所述，BE的長為2eq\r(3)或4eq\r(3)或2eq\r(7)或6.圖①圖②圖③圖④第4題解圖類型三對應(yīng)關(guān)系不確定作圖微技能例3解：(1)畫出圖形如解圖①②；圖①圖②例3題解圖(2)畫出圖形如解圖③④.圖③圖④例3題解圖針對訓(xùn)練1.45°或135°【解析】分兩種情況討論：如解圖①，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，即∠BEO＝90°，∴∠BOE＝180°－90°－45°＝45°，∴α＝∠AOB－∠BOE＝90°－45°＝45°；如解圖②，當(dāng)OD⊥AB時(shí)，∠BOE＝45°，∴∠BOC＝∠DOC－∠BOE＝45°，∴α＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋45°＝135°.綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為45°或135°.圖①圖②第1題解圖2.6或3或－3或－6【解析】根據(jù)題意得，點(diǎn)D的位置共有四種情況：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)D位于第一象限，BD＝eq\f(1,3)AB時(shí)，根據(jù)題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，2)，將點(diǎn)D(3，2)代入y＝eq\f(k,x)中得k＝6；②當(dāng)點(diǎn)D位于第一象限，AD＝eq\f(1,3)AB時(shí)，根據(jù)題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，1)，將點(diǎn)D(3，1)代入y＝eq\f(k,x)中得k＝3；③如解圖③，當(dāng)點(diǎn)D位于第四象限，AD＝eq\f(1,3)AB時(shí)，根據(jù)題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，－1)，將點(diǎn)D(3，－1)代入y＝eq\f(k,x)中得k＝－3；④如解圖④，當(dāng)點(diǎn)D位于第四象限，BD＝eq\f(1,3)AB時(shí)，根據(jù)題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，－2)，將點(diǎn)D(3，－2)代入y＝eq\f(k,x)中得k＝－6.綜上所述，k的值為6或3或－3或－6.圖①圖②圖③圖④第2題解圖3.eq\f(4\r(3),3)或eq\f(8\r(3),3)或4eq\r(3)【解析】∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴AD＝DC＝eq\f(1,2)AC＝2，BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∴BD＝AB·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).∵以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形和△ABD相似，∴點(diǎn)E的位置共有三種情況：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，△ABD∽△ECD，∴∠ECD＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，∴BE＝BD－DE＝2eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BD的延長線上時(shí)，△ABD∽△ECD，∴∠ECD＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，∴BE＝BD＋DE＝2eq\r(3)＋eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(8\r(3),3)；③如解圖③，當(dāng)點(diǎn)E在BD的延長線上時(shí)，△ABD∽△CED，∠CED＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan60°＝2×eq