高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件3-2-1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.了解雙曲線的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握雙曲線的幾何圖形與標(biāo)準(zhǔn)方程.(直觀想象)3.會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]如圖①所示,取一條拉鏈,拉開(kāi)它的一部分,在拉開(kāi)的兩邊上各選擇一點(diǎn),分別固定在點(diǎn)F1,F2上,把筆尖放在點(diǎn)M處,隨著拉鏈逐漸拉開(kāi)或者閉攏,筆尖所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)就畫(huà)出一條曲線,這就是雙曲線的一支.把兩個(gè)固定點(diǎn)的位置交換,如圖②所示,類(lèi)似可以畫(huà)出雙曲線的另一支.這兩條曲線合起來(lái)叫做雙曲線.雙曲線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離有何特點(diǎn)?[知識(shí)點(diǎn)撥]一、雙曲線的定義1.定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.2.集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.名師點(diǎn)析

若將定義中差的絕對(duì)值中的絕對(duì)值符號(hào)去掉,則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于|MF1|與|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,則|MF1|-|MF2|>0,點(diǎn)M的軌跡是靠近定點(diǎn)F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,則|MF2|-|MF1|>0,點(diǎn)M的軌跡是靠近定點(diǎn)F1的那一支.微思考把雙曲線定義中的“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或使定義中的常數(shù)為0,結(jié)果如何?提示

①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn));②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.③若常數(shù)為零,其余條件不變,則點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.微練習(xí)1已知平面上定點(diǎn)F1,F2及動(dòng)點(diǎn)M,命題甲:||MF1|-|MF2||=2a(a為常數(shù)),命題乙:點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線,則甲是乙的(

)A.充分條件

B.必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B微練習(xí)2平面內(nèi)到點(diǎn)F1(6,0)的距離減去到點(diǎn)F2(-6,0)的距離之差等于12的點(diǎn)的集合是(

)A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.兩條射線 D.一條射線解析

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P,則|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡為以F2為端點(diǎn)的一條射線.答案

D

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

微思考如何從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置?提示

焦點(diǎn)F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上.微練習(xí)(1)若雙曲線方程為,則其焦點(diǎn)在

軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

.

(2)已知a=5,c=10,焦點(diǎn)在y軸上,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一雙曲線定義的應(yīng)用例1若F1,F2是雙曲線

的兩個(gè)焦點(diǎn).(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離;(2)若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.思路分析(1)直接利用定義求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解

(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,反思感悟

求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形△PF1F2面積的方法(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之間滿足的關(guān)系式;③通過(guò)配方,利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=×|PF1|·|PF2|sin

∠F1PF2求得面積.(2)利用公式S=×|F1F2|×|yP|求得面積.(3)若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角∠F1PF2=θ,則面積S=.這一結(jié)論適用于選擇或填空題.變式訓(xùn)練1已知雙曲線

的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,若雙曲線上一點(diǎn)P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面積.解

在雙曲線的方程中,a=3,b=4,則c=5.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).由雙曲線的定義可知,|m-n|=2a=6,兩邊平方,得m2+n2-2mn=36.又∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.∴mn=32,探究二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

思路分析(1)結(jié)合a的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解.(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)相同,所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上,且c2=16+4=20,利用待定系數(shù)法求解,或設(shè)出統(tǒng)一方程求解.(3)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定,可設(shè)出一般方程求解.反思感悟

待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定型:確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,①若不知道焦點(diǎn)的位置,則進(jìn)行討論,或設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0);②與雙曲線(3)計(jì)算:利用題中條件列出方程組,求出相關(guān)值.(4)結(jié)論:寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8;(2)焦點(diǎn)在x軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2)和點(diǎn)Q(2,2).解

(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.∵焦點(diǎn)在x軸上,探究三雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(1)若該方程表示雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.思路分析根據(jù)雙曲線方程的特征建立不等式(組)求解.反思感悟

方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(3)已知方程所代表的曲線,求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求,建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.變式訓(xùn)練3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,則該方程表示(

)A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤α<π)表示雙曲線,則α的取值范圍是

.

素養(yǎng)形成與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題的求解方法一、定義法利用雙曲線的定義可以判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線(或雙曲線的一支).典例1(2020湖北宜昌高二檢測(cè))已知兩圓C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,動(dòng)圓M與圓C1外切,與圓C2內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

.

思路分析利用與兩圓內(nèi)切、外切的充要條件,建立動(dòng)點(diǎn)M的幾何等量關(guān)系式,結(jié)合雙曲線的定義求解.歸納總結(jié)利用雙曲線的定義探求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)要能從條件中尋找動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何等量關(guān)系式是否符合雙曲線的定義.在運(yùn)用雙曲線定義時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清所求軌跡是整個(gè)雙曲線,還是雙曲線的一支.若是一支,是哪一支,需用變量的范圍確定.典例2若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)A(-1,0),A1(1,0)的距離之差的絕對(duì)值為定值a(a≥0),討論點(diǎn)P的軌跡方程.思路分析本題的關(guān)鍵在于a.因?yàn)閨AA1|=2,以0和2為分界點(diǎn),應(yīng)討論以下四種情況:a=0,0<a<2,a=2,a>2.【規(guī)范答題】

歸納總結(jié)利用雙曲線的定義確定點(diǎn)的軌跡方程時(shí),既要注意定義中的條件|F1F2|>2a(當(dāng)條件中不能確定|F1F2|與2a的大小關(guān)系時(shí),需要分類(lèi)討論),又要關(guān)注等量關(guān)系式中的絕對(duì)值.二、相關(guān)點(diǎn)法建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)與中間變量(x0,y0)之間的關(guān)系,消去x0,y0后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.典例3點(diǎn)P是雙曲線

-y2=1上一動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段OP的中點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.思路分析設(shè)點(diǎn)M(x,y),P(x0,y0),運(yùn)用代入法求解.歸納總結(jié)本題運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,注意在含有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)坐標(biāo)的設(shè)法,求軌跡方程的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(x,y),另一點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(x0,y0),用x,y來(lái)表示x0,y0,代入已知方程求解.

當(dāng)堂檢測(cè)1.已知F1(-5,0),F2(5,0)為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a=3和a=5時(shí),P點(diǎn)的軌跡分別為(

)A.雙曲線和一條直線B.雙曲線的一支和一條直線C.雙曲線和一條射線D.雙曲線的一支和一條射線解析

因?yàn)閨F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以當(dāng)a=3時(shí),2a=6<|F1F2|,為雙曲線的一支;當(dāng)a=5時(shí),2a=10=|F1F2|,