第七講-定積分的近似計算

第七講-定積分的近似計算第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

問題背景和實驗目的定積分的近似計算

定積分計算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當被積函數的原函數不知道時，如何計算？這時就需要利用近似計算。特別是在許多實際應用中，被積函數甚至沒有解析表達式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹Matlab計算定積分的相關函數。第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

矩形法梯形法拋物線法

數值積分的常見算法主要內容

Matlab求積分函數數值積分函數：trapz、quad、dblquad、triplequad符號積分函數：int第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

矩形法

定積分的定義：定積分的近似計算第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形法d

充分小

定積分的近似：

通常我們取左點法右點法中點法

點可以任意選取，常見的取法有：

左端點，右端點和中點。第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月步長節(jié)點

右點法：

中點法：

左點法：左點法、右點法和中點法第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對誤差。

左點法：

右點法：

中點法：(i=0,1,2,...,100)第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

理論值：左點法相對誤差：誤差分析矩形法舉例右點法相對誤差：中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法

?第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月定積分幾何意義第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個曲邊梯形的面積：梯形法第10頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別

?第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解：==>例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對誤差：第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？

計算每個節(jié)點上的函數值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點的拋物線來近似原函數f(x)。第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

設過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+

x

+

=p1(x)

拋物線法第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

同理可得：

相加即得：拋物線法第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月==>例：用拋物線法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)

相對誤差：拋物線法第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

矩形法梯形法拋物線法

數值積分的常見算法Matlab函數

Matlab求積分函數數值積分函數：trapz、quad、dblquad符號積分函數：int第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

矩形法總結

Matlab數值積分函數：trapz、quad、dblquad

梯形法

拋物線法第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點（節(jié)點）組成的向量，

y為被積函數在節(jié)點上的函數值組成的向量。

Matlab近似計算定積分的相關函數Matlab計算定積分函數介紹第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月前面的做法例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數運行的時間越長此處的函數

f是數值形式，應該使用數組運算，即

點運算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)函數表達式一定要用單引號括起來！涉及的運算一定要用數組運算！例：用quad

計算定積分：quad舉例第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物線法計算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內聯函數；函數句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間dblquad第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關于第一自變量的運算是數組運算，

即把x

看成是向量，y

看成是標量。也可以全部采用數組運算例2：計算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1：計算二重積分dblquad舉例第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例：計算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運行結果和上面的一樣嗎？dblquad舉例第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月int(f,a,b)

計算

f

關于默認自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計算

f

關于默認自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計算函數f

關于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計算函數

f

關于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號積分：

intint符號積分第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語句的輸出結果int舉例第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用int

函數計算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月double(a)將a

轉化為雙精度型，若a

是字符，則取對應的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關函數第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)

梯形法：

拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)

符號積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1：用Matlab

函數近似計算積分數值實驗第31頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

拋物線法：>>

dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1)

符號積分法：>>

f=int('x+y^2','y',-1,1);>>

int(f,0,2)數值實驗例2：用Matlab

函數近似計算二重積分第32頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物線法計算三重積分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)

tol

為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內聯函數；函數句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間

[e,f]是第二積分變量的積分區(qū)間triplequad第33頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

f(x,y,z)

中關于前兩個自變量的運算是數組運算，

即把x，y看成是向量，z看成是標量。也可以全部采用數組運算例2：計算三重積分>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)>>

symsxyz>>int(int(int('4*x*y+3*x^2+z^2',x,-1,1),y,0,2),z,0,1)triplequad舉例第34頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月>>

triplequad(@(x,y,z)4*x.*y+3*x.^2+z^2,-1,1,0,2,0,1)指定x、y,

z

分別是第一、二、三積分變量>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)被積函數f(x,y,z)

的另一種定義方法：匿名函數triplequad舉例例2：計算三重積分第35頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月梯形數值積分命令trapz()clearx=0:pi/100:pi;y=sin(x);