余弦定理在生活中的應(yīng)用

關(guān)于余弦定理在生活中的應(yīng)用第1頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三1、向量的數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證明：余弦定理的著推導(dǎo)過程第2頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的著推導(dǎo)過程思考題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：第3頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的推導(dǎo)過程定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。推導(dǎo)公式：第4頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三ABCabc余弦定理的證明證明：以CB所在的直線為X軸，過C點垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點的坐標(biāo)分別為：坐標(biāo)法第5頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過C點垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點的坐標(biāo)分別為：坐標(biāo)法第6頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明ABCabcD當(dāng)角C為銳角時證明：過A作ADCB交CB于D在Rt中在中三角法第7頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明當(dāng)角C為鈍角時證明：過A作ADCB交BC的延長線于D在Rt中在中bAacCBD第8頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例.已知b=8,c=3,A=600求a.

∵a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos600=49定理的應(yīng)用解：a=7第9頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理在實際生活中的應(yīng)用

正、余弦定理在測量、航海、物理、幾何、天體運行等方面的應(yīng)用十分廣泛，解這類應(yīng)用題需要我們吃透題意，對專業(yè)名詞、術(shù)語要能正確理解，能將實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題.求解此類問題的大概步驟為：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；第10頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三（2）根據(jù)題意畫出圖形；（3）將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，演算過程要簡練，計算要準(zhǔn)確，最后作答.第11頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三1.測量中余弦定理的應(yīng)用

例1某觀測站在目標(biāo)南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達，此時測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據(jù)已知作出示意圖，分析已知及所求，解，求角.

再解，求出，再求出，從而求出（即為所求）.第12頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：由圖知，

在中，由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在D處距還有15千米.評注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理.東北第13頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三2.航海中余弦定理的應(yīng)用例2在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船.此時走私船正以海里/小時的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時間相等，可畫出示意圖，需求的方位角及由到所需的航行時間.第14頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：設(shè)緝私船追上走私船所需時間為小時，則有，在中，∵，，，根據(jù)余弦定理可得.根據(jù)正弦定理可得.

∴，易知方向與正北方向垂直，從而.在中，根據(jù)正弦定理可得：，∴，∴，則有，小時分鐘.所以緝私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船.評注：認(rèn)真分析問題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應(yīng)用的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.第15頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三3.航測中余弦定理的應(yīng)用例3飛機的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過秒后又看到山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到m）.分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在和中解出山頂?shù)胶骄€的距離，然后再根據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?第16頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：設(shè)飛行員的兩次觀測點依次為A和B，山頂為，山頂?shù)街本€的距離為.如圖，在中，由已知，得，，.又（km）,根據(jù)正弦定理，可得，進而求得，∴（m）,可得山頂?shù)暮０胃叨葹椋╩）.評注：解題中要認(rèn)真分析與問題有關(guān)的三角形，正確運用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問題的答案.第17頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三4.炮兵觀測中余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面點和處，已知米，，，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點處時，測得，（如圖），求炮兵陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留根號）.分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點、、、可構(gòu)成四個三角形.要求的長，由于，只需知道和的長，這樣可選擇在和中應(yīng)用定理求解.第18頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三綜上，通過對以上例題的分析，要能正確解答實際問題需：（1）準(zhǔn)確理解有關(guān)問題的陳述材料和應(yīng)用的背景；（2）能夠綜合地，靈活地應(yīng)用所學(xué)知識去分析和解決帶有實際意義的與生產(chǎn)、生活、科學(xué)實驗相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題.第20頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減