湖南省衡陽縣江山學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題理試題_第1頁
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湖南省衡陽縣江山學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B. C. D.或3.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績(jī)?cè)冢瑑?nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.16004.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.5.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓6.a(chǎn)為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.17.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.8.已知向量,,當(dāng)時(shí),()A. B. C. D.9.已知,,,,則()A. B. C. D.10.設(shè)P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q11.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c12.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的角所對(duì)的邊分別為,且,,若,則的值為__________.14.已知,,且,則的最小值是______.15.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當(dāng)時(shí),,則的值為___________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.18.(12分)團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.19.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.21.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng),求的最大值.22.(10分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長(zhǎng)/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).(1)試估計(jì)的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí),燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì),在一場(chǎng)燈光展中,處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商;②若,則,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?,所?故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析:因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),所以且,因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn):純虛數(shù)3、B【解析】

由圖可列方程算得a,然后求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.6、B【解析】

,選B.7、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.8、A【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.9、D【解析】

令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.10、C【解析】

解:因?yàn)镻={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C11、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?,故,因?yàn)?,所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因?yàn)?,解得或(舍?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.14、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1);(2)從而的分布列為012;(3).【解析】

(1)運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布,再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,他同時(shí)加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率為.19、【解析】

先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于常考題型.20、(1)見解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;

2建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量知識(shí)求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點(diǎn),,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因?yàn)椋瑒t在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得,取平面的一個(gè)法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:?jiǎn)栴}(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點(diǎn)作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.21、(1),;(2)米.【解析】

(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因?yàn)?化簡(jiǎn)得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長(zhǎng)度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的最值即可.屬于難題.22、(1)(2)①,,②72【解析】

(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)

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