河南省商丘市孫砦鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河南省商丘市孫砦鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)、，直線PA與直線PB的斜率之積為﹣2，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．=1 B．=1（x≠0）C．=1 D．=1（y≠0）參考答案：B【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA與直線PB的斜率之積為﹣2，建立等式求得x和y的關(guān)系式，得到點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由條件得=﹣2．即=1（x≠0）．所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為=1（x≠0）．故選B．2.語句甲：動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a為常數(shù)）；語句乙：P點(diǎn)的軌跡是橢圓，則語句甲是語句乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合橢圓的定義，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若P點(diǎn)的軌跡是橢圓，則根據(jù)橢圓的定義可知動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a為常數(shù)）成立．若動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a為常數(shù)），當(dāng)2a≤|AB|，此時(shí)的軌跡不是橢圓．∴語句甲是語句乙的必要不充分條件．故選：B．3.下列不等式成立的是（）A．

B． C． ()

D．

()參考答案：D略4.如圖所示，是一個(gè)正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】正方體的表面展開圖還原成正方體，能求出異面直線AB和CD的夾角的余弦值．【解答】解：正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖，則異面直線AB和CD所成角為∠EFG，設(shè)正方體棱長為2，在△EFG中，EF=DC=，EG=，F(xiàn)G=2，∴cos∠EFG===．∴異面直線AB和CD的夾角的余弦值為．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查異面直線的夾角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體的結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．5.甲、乙兩人進(jìn)行三打二勝的臺球賽，已知每局甲取勝的概率為0．6，乙取勝的概率為0．4，那么最終乙勝甲的概率為（

）

(A)0.36

(B)0.352

(C)

0.432

(D)

0.648參考答案：B略6.平行六面體的棱長均為2，∠ABB’=120°,∠B’BC=60°,∠ABC=90°,=(

)A．

B.

C.

D.

參考答案：B略7.已知函數(shù),（其中為m常數(shù)）,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則數(shù)m的取值范圍是（

）A.(－∞,－3)∪(1,+∞) B.(－∞,－3]∪[1,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)參考答案：D【分析】先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不同的變號零點(diǎn)，從而可得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的變號零點(diǎn)，所以，解之得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)極值點(diǎn)的應(yīng)用，函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于導(dǎo)數(shù)變號零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.若，則是方程表示雙曲線的（

）A.

充分不必要條件

B.

必要不充分條件

C.

充要條件

D.

既不充分也不必要條件參考答案：A9.已知滿足不等式組，則的最大值為（

）A.-2

B.0

C.2

D.4參考答案：C不等式組的可行域?yàn)槿切纹渲辛?則的最大值，即為在軸截距相反數(shù)的最大值，其直線過點(diǎn)時(shí)值最大，其值為.的最大值為故本題正確答案是

10.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，若，則的值等于（

）A． B． C．2 D．4參考答案：C設(shè)，是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，點(diǎn)是垂足．由拋物線定義可得，因?yàn)椋?，那么，即直線的斜率是，所以，解得．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是

．參考答案：{}

略12.函數(shù)的遞增區(qū)間是

；參考答案：略13.已知一個(gè)正倒立的圓錐容器中裝有一定的水，現(xiàn)放入一個(gè)小球后，水面恰好淹過小球（水面與小球相切），且圓錐的軸截面是等邊三角形，則容器中水的體積與小球的體積之比為．參考答案：5：4【考點(diǎn)】球的體積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】由題意求出球的體積，求出圓錐的體積，設(shè)出水的高度，求出水的圓錐的體積，利用V水+V球=V容器，求出圓錐內(nèi)水平面高．即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖．在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面記為AB，將球從圓錐內(nèi)取出后，這時(shí)水面記為EF．三角形PAB為軸截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圓O是正三角形PAB的內(nèi)切圓．由題意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，VPC==3πr3又設(shè)HP=h，則EH=h∴V水==∵V水+V球=VPC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的體積與小球的體積之比為：=5：4．故答案為5：4．14.參考答案：15.已知不等式的解集為（2，3），則不等式的解集為_________.參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=13﹣8x+x2，且f′（a）=4，則實(shí)數(shù)a的值．參考答案：3【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得f′（x），又由f′（a）=4，可得2a﹣8=4，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=13﹣8x+x2，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x﹣8，若f′（a）=4，則有2a﹣8=4，解可得a=3；故答案為：3．17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應(yīng)的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時(shí)，z最大，進(jìn)而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當(dāng)直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時(shí)，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應(yīng)的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考察了簡單的線性規(guī)劃問題，考察數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，⊥平面，，，分別是,的中點(diǎn). (Ⅰ)證明：∥平面； (Ⅱ)求證：.參考答案：(Ⅰ)證明：，分別是,的中點(diǎn)

……………2分平面,平面

∥平面

……………4分(Ⅱ)證明：,是的中點(diǎn)

……………6分⊥平面 且平面

……………8分平面平面

……………10分19.已知函數(shù)f（x）（x∈R），f′（x）存在，記g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求證：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）設(shè)n），且λ1+λ2+…+λn=1，xi∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求證：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正項(xiàng)的等比數(shù)列，求證：f（a）=a．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）構(gòu)造輔助函數(shù)?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得?（x）的極大值，?（x）≤?（x0）=0，即可得f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）；（2）由（1）可知，兩邊分別同乘以λ1，λ2，λ3，…λn，采用累加法，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）]，由λ1+λ2+…+λn=1，設(shè)x0=λ1x1+λ2x2+…+λnxn，則λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）=0，即可證明λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）；（3）分別求得f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，可得：=f[λx1+（1﹣λ）x2]，由n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)成立，即a=aq2?a=1，可得f（a）=a．【解答】解：（1）證明：設(shè)?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），則?'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）為減函數(shù)，則x=x0為?（x）的極大值點(diǎn)．∵?（x）≤?（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（當(dāng)且僅當(dāng)在x=x0取到）（2）證明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），兩邊同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λnf（xn）≤λnf（x0）+λnf'（x0）（xn﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）]，因?yàn)棣?+λ2+…+λn=1，設(shè)x0=λ1x1+λ2x2+…+λnxn，則λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（xn﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn））等號當(dāng)且僅當(dāng)在x1=x2=…=xn時(shí)成立，（3）證明：記公比為q，q＞0，則f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），則λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)成立，即a=aq2?q=1，∴f（a）=a．20.某中學(xué)高三(1)班有男同學(xué)45名，女同學(xué)15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的課外興趣小組．

(1)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)；

(2)經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)興趣小組決定選出甲、乙兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，甲同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74，乙同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74，請問哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由．參考答案：略21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的取值范圍.參考答案：(1)見解析；(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理將表示成關(guān)于a的函數(shù)，利用單調(diào)性即可得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，無最大值.（2），.由題知，，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，即，是方程兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以，解得.因?yàn)槭顷P(guān)于的減函數(shù)，所以.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，極值和單調(diào)性問題，考查分析能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.22.某校從參加高二年級期中考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段