2021-2022學(xué)年山西省名校聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021-2022學(xué)年山西省名校聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A．B．C．3D．－3【答案】C【分析】由等差數(shù)列的通項公式計算．【詳解】因為故選：C．，，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列通項公式可得．，2．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A．B．C．﹣1D．1【答案】A【分析】利用兩直線垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點睛】本題考查兩直線垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．已知一質(zhì)點的運動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質(zhì)點在第1秒末的瞬時速度為.故選：C4．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標,關(guān)鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則,解得即,,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.5．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（D．）A．B．C．【答案】D【分析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于上恒成立，然后易得在上恒成立，即在，最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，在定義域上單調(diào)遞增等價于上恒成立，即在上恒成立，即在在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.6．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A．B．或或C．D．【答案】D【分析】設(shè)圓心坐標，由點到直線的距離公式可得或，進而求得答案．【詳解】設(shè)圓心坐標，因為圓與直線相切，所以由點到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題．7．已知拋物線的焦點為，拋物線的斜率為的焦點為，點在上，且，則直線A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線后，再根據(jù)斜率公式求解.，的標準方程，求得拋物線的焦點坐標【詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離；解題過程中注意焦點的位置.8．已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個基底的向量是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共面基本定理只需無解即可滿足構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢構(gòu)成基底；驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，因為對于所以對于，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；，設(shè)，則，解得，，，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構(gòu)成基底；，設(shè)，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D9．已知奇函數(shù)A．，則的解集為（）B．C．D．【答案】A【分析】先由求出的值，進而可得的解析式，對求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.的定義域為，因為是奇函數(shù)，【詳解】所以，可得：，所以，，經(jīng)檢驗所以是奇函數(shù)，符合題意，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)所以即時等號成立，在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，，故選：A.10．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列A．B．C．D．的前項和為，若，則（）【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項特點可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項公式可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.11．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出上的單調(diào)性可求得，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.12．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A．直線B．函數(shù)與曲線相切只有極大值，無極小值C．若與互為相反數(shù)，則D．若與互為倒數(shù)，則【答案】C的極值與的極值互為相反數(shù)的極值與的極值互為倒數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點處的導(dǎo)數(shù)為該點處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).，，令，得，所以【詳解】，因為，，所以曲線使在點處的切線方程為，故A錯；當(dāng)當(dāng)時，存在，且當(dāng)時，；時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；設(shè)為的極值點，則，且，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故C正確，D錯誤.二、填空題13．已知空間向量【答案】7，，若，則______．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知即，因為，所以，，解得．故答案為：7．14．__________．【答案】【分析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則．故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15．設(shè)為曲線__________．上一點，，，若，則【答案】4【分析】化簡曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點，且分別為該雙曲線的左、右焦點，則，.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時要先化簡曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)16．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由題意可得時，與的圖象有三個不同的交點，經(jīng)判斷時不符合題意，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，可得時與的圖象有兩個交點，等價于與的圖象有兩個不同的交點，對求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令若函數(shù)函數(shù)可得，有三個零點，則可得方程有三個根，即與的圖象有三個不同的交點，作出的圖象如圖：當(dāng)時，是以為頂點開口向下的拋物線，的圖象沒有交點，不符合題意；的圖象只有一個交點，不符合題意；此時當(dāng)與時，時，時與當(dāng)時，與與的圖象有一個交點，所以的圖象有兩個交點，即方程可得有兩個不等的實根，即方程的圖象有兩個不同的交點，有兩個不等的實根，與令，則，由由即可得可得，即，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出其圖象如圖：當(dāng)當(dāng)時，，時，可得與的圖象有兩個不同的交點，有三個零點，即時，函數(shù)所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：，【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題17．已知等差數(shù)列中，首項，公差，且數(shù)列的前項和為．(1)求(2)設(shè)和；，求數(shù)列的前項和．；【答案】(1)，(2).【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與求和公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可求解.(1)根據(jù)題意，易知；.(2)根據(jù)題意，易知列，，因為，所以數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)故．18．已知函數(shù)的兩個極值點之差的絕對值為.（1）求的值；（2）若過原點的直線與曲線在點處相切，求點的坐標.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達定理可得：，，由題意知，進而可得的值；再檢驗所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進而可得的值，即可得點的坐標.【詳解】由設(shè)可得：，的兩根分別為，，則，由題意可知：所以，即，解得：，當(dāng)由時，，可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以符合題意，為極大值點，為極小值點，滿足兩個極值點之差的絕對值為，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：，即，整理可得：，解得：或，因為則即為坐標原點，不符合題意，所以，，所以.19．如圖，多面體形.中，平面平面，，四邊形為平行四邊（1）證明：（2）若；，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面，進而可得結(jié)論；平面得到，再結(jié)合，可得平面（2）取軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的中點，的中點，連接，，以點為坐標原點，分別以的一個法向量以及平面，的一個法向量，求，為這兩個法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為平面平面，交線為，，又，所以平面，，，又，則平面平面，所以，（2）取；的中點，的中點，連接，，則平面，平面；以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量，由得令即，則，；，平面的一個法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學(xué)生計算能力以及空間想象能力，是中檔題.20．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.(1)求(2)設(shè)的通項公式；，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，;(2).【分析】（1）利用求出數(shù)列的通項，再求出等比數(shù)列的公比即得解；（2）求出，再利用錯位相減法求解.(1)解：，.當(dāng)時，，適合..設(shè)等比數(shù)列公比為，，，即，或（舍去），.(2)解：，，，上述兩式相減，得，所以所以.21．已知橢圓的左，右焦點分別為，三個頂點（左?右頂點和上頂點）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的一個內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別過點和，如圖，若這個平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個頂點的縱坐標的乘積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由橢圓離心率的性質(zhì)及一元二次方程的根可得積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.，再由橢圓參數(shù)關(guān)系、已知三角形面（2）設(shè)直線，進而可得的對稱性求，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合韋達定理求求參數(shù)t，可得，再根據(jù)，結(jié)合橢圓，即可求結(jié)果.(1)由的根為，，所以橢圓的離心率依題意，，解得，即橢圓的方程為；(2)設(shè)直線，聯(lián)立，消去得由韋達定理得：所以，，，所以，所以橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積.所以，解得或（舍去），所以，根據(jù)橢圓的對稱性知：，故平行四邊形22．設(shè)函數(shù)的四個頂點的縱坐標的乘積為.，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)若(2)若，求的最小值；，證明：恒成立.【答案】(1)(2)證明見解析【分