長沙理工大學(xué)數(shù)值方法考試試卷(本科)

1、 3/3長沙理工大學(xué)數(shù)值方法考試試卷(本科) 長沙理工大學(xué)考試試卷 試卷編號 04 擬題教研室（或教師）簽名 周富照 教研室主任簽名 課程名稱（含檔次） 數(shù)值方法（B ） 課程 0701050 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 層次（本、專） 本科 考試方式（開、閉卷） 閉卷 一、填空題（20分） 1. 設(shè)矩陣? ?-=12712A ，則=A ， =1A 。 2. 設(shè)),1,0()(n k x l k =是以互異的n x x x ,10 為節(jié)點的Lagrange 插值基函數(shù)， 則 _)(0=n k k x l 。 3. 設(shè)001 4.2=A x ，80302.0-=A y 是由真值T x 與T y 經(jīng)舍

2、入得來的近似值， 則A A y x +絕對誤差限為 。 4. 設(shè)向量T x )9,4,3,0,1(-=，則=x ，=1x 。 二、構(gòu)造求解下列方程組的Jacobi 迭代格式（不計算），并說明其是否收斂。（15分 ? ? ?=? ? ?-769832251126321x x x 。 三、說明方程 0524=-x x 在 2,1 上有唯一實根，并寫出求此根的Newton 迭代格式，說明其收斂性。（15分） 四、確定下列求積公式中的待定參數(shù)101,A A A -，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所 構(gòu)造的求積公式具有的代數(shù)精度（15分） )1()0()1()(1011 1f A f A f A dx x

3、f +-?。 五、試用Doolittle 分解法求解下列方程組（15分） ? ?=? ? ?-1481130125143641321x x x 。 六、試寫出用Euler 法求解初值問題 （10分） ? ?=-=1)0(5.00,y t y t y 的計算公式，取步長h=0.1，并寫出求解結(jié)果。 七、已知函數(shù))(x f y =的觀測數(shù)據(jù)為（10分） _ 第 1 頁（共 1 頁） 長沙理工大學(xué)試卷標(biāo)準(zhǔn)答案 課程名稱： 數(shù)值方法（B ） 試卷編號： 04 一、填空題（20分） 1. 設(shè)矩陣? ?-=12712A ，則19=A ， 131=A 。 2. 設(shè)),1,0()(n k x l k =是以互

4、異的n x x x ,10 為節(jié)點的Lagrange 插值基函數(shù)， 則 _1_)(0=n k k x l 。 4. 設(shè)0014.2=A x ，80302.0-=A y 是由真值T x 與T y 經(jīng)舍入得來的近似值， 則A A y x +絕對誤差限為000055 .0。 4. 設(shè)向量T x )9,4,3,0,1(-=，則9=x ，171=x 。 二、Jacobi 迭代格式為 ,2,1,0,2.15.1)(283)(14187)1(3)(352)(1 51)1(2)(361 )(231)1(1=?+-=-+=-=+k x x x x x x x x x k k k k k k k k k 9分 )

5、0(3 )0(2)0(1,x x x 為初始值； 10分 因為系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以迭代收斂。 15分 三、記=)(x f 0524=-x x ，因7)2(,6)1(=-=f f ，且024)(3-=x x f ， 所以0)(=x f 在1，2上存在唯一實根。 4分 Newton 迭代式為 ,2,1,0,2 423341=-+=+k x x x k k k 9分 0 x 為接近于根的初值。 10分 因為是單根，所以至少是二階收斂的。 15分 六、Euler 計算公式為 21)1(ih y h y i i +-=+，1,1,0-=n i 其中4=n ，1.0=h ，10=y 。 6分

6、計算結(jié)果為： 9.01=y ，82.02=y ，758.03=y ，7122.04=y ，68098.05=y 10分 四、解 （1）令當(dāng)2,1)(x x x f =時，求積公式左右兩邊相等得 方程組 （5分） 3111=?-A A ，3 40=A （9分） 第 1 頁（共 2 頁） （2）當(dāng)3)(x x f =時，求積公式左右兩邊相等，等于0；（12分） 當(dāng)4)(x x f =時，求積公式左右兩邊不相等，所以代數(shù)精度為3次。（15分） 五、（1） ? ?-=130125143641A ，? ? ?=1481b 2分 令LU A =，算得 ? ?-=121131L ，? ? ?-=572641U 9分 （2）解b Ly =得T y )5,5,1(=； 12分 （3）解y Ux =得T x )1,1,1(-=。 15分 七、)23(2 1)(20+-= =x x x l ，