平面向量基本定理教學設計

1、平面向基本定理教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量基本定理。內(nèi)容解析：向量不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁， 還是解決許多實際問題的重 要工具。從問題中抽象出向量模型，再通過向量的代數(shù)運算獲得問題的解決方案 或結(jié)果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運算、平 面向量基本定理、平面向量的坐標表示是平面向量的主要內(nèi)容。）平面向量基本定理是向量進行坐標表示，進而將向量的運算（向量的加、減法，向量的數(shù)乘、 向量的數(shù)量積等）轉(zhuǎn)化為坐標的數(shù)量運算的重要基礎， 同時，它還是用基本要素 （基底、元）表達和研究事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對象的集合）的典型 范例，對于人們掌握認識事物的方法，

2、提高研究事物的水平，有著難以替代的重 要作用。二、目標和目標解析.理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地 將平面上的向量用基底表示出來。.通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定 理。.通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體 會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念。.平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數(shù)組的集合之間 的對應關系（這種對應關系建立了非數(shù)對象與數(shù)（或數(shù)組）之間的一種映射），通過這種對應關系，我們可以將向量的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算， 由此達到簡化向量 的運算，這是數(shù)學的一種基本方法。.體會

3、用基本要素（元）表示事物，或?qū)⑹挛锓纸獬苫疽兀ㄔ纱?達到將對事物的研究轉(zhuǎn)化為對基本要素 （元）的研究，通過對基本要素的內(nèi)在聯(lián) 系的研究達到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。三、教學問題診斷分析.如何處理共線向量定理與平面向量定理之間的同異點及聯(lián)系是教學平面 向量基本定理時的關鍵問題，也是理解不同維數(shù)的“向量空間”， 體會高維空間 向低維空間轉(zhuǎn)化的重要機會與途徑。 因此，教學時應該從共線向量定理的意義與 作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統(tǒng)一表示的方法。.利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個不平行的確定向量（即基底）表示出來是教學中應該關注的另一個關鍵問題。教

4、學時，讓學 生聽教師講解是一種處理方法，如果能結(jié)合力的分解，啟發(fā)學生聯(lián)想到用平行四 邊形的加法法則進行向量分解，可能會有更大的收獲。當然，在進行這個關鍵問 題的教學時，可能會涉及平行投影等知識與方法，可根據(jù)不同的學生對象進行取 舍。四、學生學習行為分析.學生對向量加、減法及數(shù)乘等運算的意義與作用認識不夠，容易將向量 的運算與數(shù)的運算混淆。.對于向量的加法、數(shù)乘等運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運 算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為 形式上的變換。.如果不加啟發(fā)與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些 角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵， 也

5、難以認識這個定理在今后用向量方 法解決問題中的重要作用。五、教學支持條件分析.學生的認知基礎：對平面向量與數(shù)量的“同異點及聯(lián)系”有一個基本認 識，會用有向線段表示向量，掌握了向量的加法運算與數(shù)乘運算。2.教學設備：能反映向量加法與數(shù)乘運算的計算機軟件或圖形計算器，盡 可能準備實物投影設備。六、教學過程設計問題1:任意找一首用簡譜譜寫的歌曲，你能找到用阿拉伯數(shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？意圖：關注依附于平面向量基本定理上的重要數(shù)學思想， 讓學生明白任何一 首曲子都可以用17這七個阿拉伯數(shù)字作為音符來譜寫，為用基底表示向量作鋪 墊，并由此感受用“元”表達事物的思想。 提出這個與數(shù)學知識聯(lián)系不緊密

6、的問 題讓學生思考的另一個目的，是將將要學習的知識與思想寓于學生感興趣的問題 中，從而激發(fā)他們的學習欲望與熱情。師生活動：教師給出一些用簡譜譜寫的歌曲， 提出問題讓學生思考，歸納總 結(jié)出如下結(jié)論：任何一首用簡譜譜寫的曲子都找不出用阿拉伯數(shù)字“ 8”表示的 音符，但都可以用17這七個阿拉伯數(shù)字作為音符譜寫出來。問題2:兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形之間有什么關系？你是 如何得出這個關系的？你能從這個問題中得到一個怎樣的結(jié)論？意圖：由此，使學生形成三角形的三條邊是三角形這個數(shù)學對象的三個類似 于向量的“基底”的元認知，明確有關三角形（忽略了位置）的問題均可以轉(zhuǎn)化 為關于三角形的三條邊

7、的問題。希望能將問題 1中“事物元分解”的觀點遷移到 數(shù)學對象的認識中來，并由此引出向量的分解與基底表示的探討。師生活動：讓學生思考討論，教師幫助學生總結(jié)出結(jié)論：“如果只考慮形狀 大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構(gòu)成三角形的要素 （元），而三角形是三元對象”。任何數(shù)學對象都有確定它的基本要素（元），可 以通過探究如何用這些要素表示數(shù)學對象，達到理解并把握這些數(shù)學對象的目 的。問題3:取一個與數(shù)軸方向相同的向量記為 a,那么與數(shù)軸平行的所有向量與向量 a 有什么關系？意圖：回顧共線向量定理，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量 的方法，明確平行向量形成“一維空間”，

8、形成對“一元數(shù)學對象”的認識， 并 為探究平面向量基本定理作鋪墊。師生活動：引導學生回顧共線向量定理，教師重新解析共線向量定理的意義 與作用。問題4:取一個與數(shù)軸不平行的向量記為 b,那么向量b可以表示怎樣的向量？意圖：明確任意一個方向上的全體向量均構(gòu)成“一維向量空間”，為探究選取兩個不同方向的向量作平面向量的基底作準備。師生活動：學生思考問題4與問題3的同異點與聯(lián)系，教師解析這個問題的意 義與作用。問題5:對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個 力？意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。師生

9、活動：學生說，教師引導并表述結(jié)論。問題6:取一個與向量a和b都不平行的向量c,那么向量c可以用向量a和b表示 出來嗎？意圖：得出平面向量基本定理的內(nèi)容。師生活動：教師引導，學生獨立探究，教師在學生的探究所獲得的結(jié)論的基 礎上，總結(jié)出平面向量基本定理。問題7:利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？UtLUC URJW UH-jRMbe=bcBF=-BD如圖在丫,門中，-，且*與B口相交于F ,求證：-由 二個向量的終點共線，故有uur un uum r i rBF = xBA+Q - x)后= m+ -(1- x)do 1rl工口十 - laAb 所以，？，從而/ 1 =/! = .所以，4

10、。意圖：這個問題是一個相當簡單的問題，用相似三角形之間的比例關系就可 以解決。這里的目的，是以這個熟悉而且簡單的問題， 讓學生感受平面向量基本 定理的重要作用，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。師生活動：教師啟發(fā)引導學生思考，給出解決這一問題的嚴謹過程， 給學生 一個利用向量解決問題的示范。教師引導學生總結(jié)上述解決問題的方法的步驟，一方面使學生明確這一方法 與平面幾何方法的差異：由于數(shù)量及其運算的引進，使得我們的算法更容易表達 和操作了；另一方面為今后學習算法留下案例，引導學生從算法的角度思考并解 決問題。此處要再配一些題目，訓練學生以學會用基底表示非基底向量。問題8:如果一個問題

11、中沒有向量（結(jié)合問題 7中的平面幾何問題考慮），但可以考 慮用向量來解決它，你會按怎樣的步驟來實現(xiàn)？意圖：加深對平面向量基本定理的理解，將向量方法總結(jié)為一個算法。師生活動：學生先思考，讓學生發(fā)表意見，教師總結(jié)出向量方法的算法步驟。問題9:你能結(jié)合問題1、問題2與平面向量基本定理，談談你的認識嗎？意圖：進行本節(jié)課的小結(jié)。師生活動：學生先談，教師給出總結(jié)：世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出 這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研 究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個示范， 它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們

12、關注更多的是基底是什么，如何將 有關向量用基底表示出來。當向量用基底表示后，一個向量與其它向量的區(qū)別 就在于基底前的系數(shù)的區(qū)別，這使問題中的各種關系在轉(zhuǎn)化為向量間的關系后，又進一步地轉(zhuǎn)化為有序數(shù)組之間的關系，從而可以利用數(shù)量的運算來研究問題, 使問題的解決更容易，更徹底。七、評價設計：1.如圖所示，D、E、F分別是胡EC的邊BC、CA、AB的中點，G是A45cLUU-UbUIUMLUULJL4M-UbU的重心，請將GA、GB、G。用瓦1、BC表示出來，并探究G月、GB、GC之間有什么關系？2,請用向量的方法，探究三角形內(nèi)部的其它一些特殊點的性質(zhì)平面向量基本定理說課稿這是我的對平面向量基本定理這

13、一節(jié)的說課稿，請各位老師指點各位老師大家好，今天，我說課的內(nèi)容是：人教 B版必修4第二章第二節(jié)平面向量的基 本定理第一課時，我將從教材分析、學生分析、教學方法和手段、教學過程以及教學評價 五個方面進行分析一、說教材1.關于教材內(nèi)容的分析(1)平面向量基本是共線向量基本定理的一個推廣，將來還可以推廣到空間向量，得到空間向量基本定理，這三個定理可以看成是在一定范圍內(nèi)向量分解的唯一性定理。所以它是進一步研究向量問題的基礎；是解決向量或利用向量解決問題的基本手段。(2)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本關系和基本結(jié)構(gòu)，是進行向量運算的基本工具，它、也為平面向量坐標表示的學習打下基礎。(3)平面向量基

14、本定理蘊涵了一種十分重要的數(shù)學思想一一轉(zhuǎn)化思想，因此，有著十分廣 闊的應用空間。根據(jù)教學內(nèi)容的特點，依據(jù)新課程標準的具體要求，我從以下三個方面來確定本節(jié)課的教學 目標。1、了解平面向量基本定理及其意義，會做出由一組基地所表示的向量會把任意向量表示為一組基地的線性組合。掌握線段中點的向量表達式2、通過對平面向量基本定理的歸納，抽象、概況，體驗定理的產(chǎn)生和形成過程，提高學生 抽象的能力和概括的能力3、通過對定理的應用增強向量的應用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工 具。掌握了平面向量基本定理， 可以使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來， 這樣許多幾何問題就轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量

15、運算，這也是中學數(shù)學課中學習向量的目的之一，所以我認為對平面向量基本定理的應用是本節(jié)課的重點。另外對向量基本定理的理解這一點對于初學者來說有一定難度，所以是本節(jié)的難點。突破難點的關鍵是在充分理解向量的平行四 邊形法則的和向量共線的充要條件下多方位多角度的設計有關訓練題從而加深對定理的理解。二、說教學方法與教學手段結(jié)合新課標“以學生為本”的課堂教學原則和實際情況，確定新課教學模式為：質(zhì)疑一合作一探究式。此模式的流程為激發(fā)興趣-發(fā)現(xiàn)問題，提出問題-自主探究，解決問題-自主練習， 采用多媒體輔助教學，增強數(shù)學的直觀性，實物投影的使用激發(fā)學生的求知欲。三、說學情分析與學法指導學情分析：前幾節(jié)課已經(jīng)學習

16、了向量的基本概念和基本運算，如共線向量、向量的加法、減法和數(shù)乘運算及向量共線的充要條件等；另外學生對向量的物理背景有了初步的了解。如： 力的合成與分解、位移、速度的合成與分解等，都為學習這節(jié)課作了充分準備。學法指導：教師平等的參與學生的自主探究活動，通過啟發(fā)、引導、激勵來體現(xiàn)教師的主導作用，根據(jù)學生的認知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個學習活動的梯度和層次，引導學生全員、 全過程參與，保證學生的認知水平和情感體驗分層次向前推進。四、關于教學過程設計的分析為了更好的突出教學重點， 突破教學難點，完成教學目標，本節(jié)課的教學過程的實施我認為 可以分為三個階段也就是六個環(huán)節(jié)來進行：第一階段，定理的導入與推導。

17、第二階段，定理的應用與例題解析。第三階段，學生自我練習六個環(huán)節(jié)（1）創(chuàng)設情景，提出問題（2）自主探究，解決問題（3）自主練習，應用問題（4）課堂小 結(jié)（5）作業(yè)布置：（6）板書（1）創(chuàng)設情景，復習回顧提出問題關于問題情境的創(chuàng)設我想可以這樣來設計這一環(huán)節(jié)中設置了三個問題1、向量加法的運算法則2、平行向量基本定理，教學過程中，以提問的方式完成對舊知識的復習鞏固，其中平行向量基本定理強調(diào)系數(shù)惟一確定，說明用一個向量就可以表示平面內(nèi)任何一個與其平行的向量.為下一步新課的講解作鋪墊。3、然后在平面內(nèi)任意畫出一個與其不平行的向量，引導學生思考問能不能只用前一個向量來表示？寫成a=xb的形式呢？回答是否定的

18、，.接下來設問：那該如何表示.聯(lián)系物理當中速度 的分解的模型，思考平面內(nèi)的任意一個向量是否可以由兩個不共線的向量來線性表示呢？提 出問題同時點題.那么我就可以開展探究活動，然過度到第二節(jié)。設計意圖：(1)承上啟下復習舊知。復習向量共線的充要條件、向量加法的平行四邊形法則。(2)定理導入。創(chuàng)設“最近發(fā)展區(qū)”，調(diào)動學生已有的知識和認知經(jīng)驗。由平行四邊形法則 在力的分解中的應用導入向量的分解，從而進入定理的推導。(2)自主探究，解決問題這一環(huán)節(jié)，是教學的重點，學生在富有啟發(fā)性的問題下，自主作圖，自主探究，不僅得出了定理，而且思維也得到了發(fā)展。 主要采用合作學習的形式利用設置的問題一步一步的啟發(fā)學 生

19、思考，有層次、有啟發(fā)性的五個問題可以進一步使學生的思維走向深入。.學生拿出網(wǎng)格，討論該如何用 el, e2表示向量AB.CD.EF.GH.利用投影儀讓學生觀察，在平面內(nèi)任意畫出一個向量還能否用這兩個向量來表示？表示成什么形式？.仍利用投影儀在平面內(nèi)任意畫出兩個不共線向量，問能否表示平面內(nèi)的所有向量 ？.讓學生歸納討論結(jié)果.5.利用幾何畫板演示，學生會從中觀察到系數(shù)變化，這說明系數(shù)與向量之間應該是什么關系呢 從而將討論結(jié)果進一步完善.設計目的：通過學生動手實踐、 觀察、比較、抽象、概況得出定理，能增強學生的直觀感知， 讓學生體會數(shù)學定理的產(chǎn)生以及形成的過程。讓學生體會由特殊到一般的思維方法，發(fā)展

20、學生的理性思維能力另外關于平面向量基本定理，在教學中我想還要再引導學生關注定理中的關鍵字：1、我們把不共線向量 el, e2表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。2、定理中el, e2是兩個不共線向量3、基地給定的前提下，分解式確定，即實數(shù)對a1,a2是唯一確定的4、平面內(nèi)任一兩個不共線的向量都可以作為一組基地。即基底部唯一這一環(huán)節(jié)的設計意圖：對定理的解析有利于對定理的正確把握，基地的不唯一性可讓學生通過作圖來體會，就是說這已基本的定理對平面內(nèi)所有向量的研究都可以轉(zhuǎn)化為對基底的研究，它的本質(zhì)就是化多變量問題為雙變量問題，它體現(xiàn)的數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化的思想。那么學習了平面向量基本定理接下來，應該指導學生

21、學以致用。(3)自主練習，科學應用這一環(huán)節(jié)主要是為了使學生更好的鞏固定理，我們隊例題進行剖析首先我通過以學生熟知的足球運動為問題情境來進行訓練，可以建立數(shù)學與生活的聯(lián)系，激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率。思考我們是否可以借助平面向量基本定理對足球運動時 的速度進行分解呢？學生探討之后說明可按水平方向和豎直方向進行分解。進而過渡例題1,本節(jié)課的例1是對平面向量基本定理的簡單應用，同時還用到向量的減法，另外可以用 三角形法則作圖便于學生的理解在這里我設了兩個問題來引導學生思考1、向量 MA, MB與哪些向量有關？2、能否用向量a,b來表示向量AC,DB?用什么法則運算的？另外為了促使學生深入理解平

22、面向量基本定理的內(nèi)涵，同時認識到同一個平面基底不惟一.我將教材中的第一個例題變形為：在圖中任選兩個向量作為基底來表示其它向量。(設計意圖：通過分步提問，引導學生體會解題思路的形成過程，培養(yǎng)學生獨立分析解決問題的能力，通過師生的共同探究讓學生進一步體會到向量的基底不唯一，以及任何向量都可以用兩個不共線的基底表示的思想) 課堂練習：A, 1、2設計意圖：讓學生及時鞏固所學方法，為平面向量基本定理應用的基本模式：給定基底如何表示其他向量。教材中的例2處理如下：第一問作為例題，在師生的共同分析下得出證明，教師示范、板書證明 過程.第二問在第一問證明完畢后給出，改為：當P點滿足以上向量等式時，證明 A、B、P三點共線。此問由學生獨立完成。 兩問證明完畢后，提出直線的向量參數(shù)方程式和線段中點 向量表達式。(設計意圖：用極低表示 OP,是例1的延伸，方法比較容易，因此讓學生自己完成，而說 明點p在L上，是證明A、B、P三點共線是本體的難點，教師要示范，強化應用技巧。)課堂練習A 5設計目的：鞏固所學知識，方法(4)課堂小結(jié)：教師引導學生思考，通過本節(jié)課的學習，你收獲了什么？為什么還要向量基本定理呢？以幫助學生認識到坐標運算中思路明確、過程簡潔的優(yōu)勢，同時有利于提高學生對新知識的認識層面。設計意圖：使學生養(yǎng)成歸納總結(jié)的習慣，不斷提高自己的反思和建構(gòu)能力(5)作業(yè)布置：為