24.1.2 垂直于弦的直徑-公開課-優(yōu)質(zhì)課(人教版教學(xué)設(shè)計(jì)精品)

1、 24.1圓的有關(guān)性質(zhì)（第2課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容垂直于弦的直徑2內(nèi)容解析垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為和圓有關(guān)的其它計(jì)算、證明、作圖提供了重要的方法和依據(jù)，此外垂徑定理也為研究弦、弧、圓心角定理提供了研究方法圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的性質(zhì)是圓的對(duì)稱性（軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性），它是探索其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，垂徑定理正是圓的軸對(duì)稱性的具體體現(xiàn)垂徑定理的條件是：過(guò)圓心；垂直于弦，結(jié)論是：平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦所對(duì)的劣弧.事實(shí)上，以其中任意兩個(gè)為條件都可以得出其余結(jié)論.由于垂徑定理是圓的軸對(duì)稱性的具體體現(xiàn)，所以在研究垂徑定理時(shí)，采用

2、圖形變化的方法，通過(guò)圓的軸對(duì)稱性引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明，讓學(xué)生體會(huì)到從圖形變化中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的作用，也為從圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性中發(fā)現(xiàn)弦、弧、圓心角的關(guān)系起到一定的鋪墊作用基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：垂徑定理的探索及初步應(yīng)用二、目標(biāo)及其解析1目標(biāo)（1）理解垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論，會(huì)初步用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算（2）經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過(guò)程，體會(huì)圓的軸對(duì)稱性2目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能理解垂徑定理的條件有兩個(gè)：一條直線（或線段）過(guò)圓心；這條直線（或線段）垂直于弦，結(jié)論有三個(gè):平分這條弦；平分這條弦所對(duì)的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的劣弧.學(xué)生能利用垂徑定理，并通過(guò)勾

3、股定理完成和半徑、弦等有關(guān)的簡(jiǎn)單計(jì)算和證明，感受作“垂直于弦的直徑”的輔助線的作用達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生知道圓是軸對(duì)稱圖形，并能指出圓的對(duì)稱軸；學(xué)生能從圓的軸對(duì)稱性的角度進(jìn)行觀察和發(fā)現(xiàn)，并能利用疊合法證明垂徑定理三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱等圖形變化，但運(yùn)用圖形變化的觀念去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)還不強(qiáng)，因此對(duì)于垂徑定理的發(fā)現(xiàn)和證明時(shí)，學(xué)生可能不容易想到用軸對(duì)稱的角度去思考.此外，垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論比較復(fù)雜，題設(shè)的變式比較多樣,一些學(xué)生不能把握題設(shè)的本質(zhì)，從而造成對(duì)定理的理解不深入.基于以上分析，本課的教學(xué)難點(diǎn)是：垂徑定理的探索及題設(shè)與結(jié)論的理解.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)引言上

4、節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，本節(jié)課開始我們來(lái)探索圓的一些性質(zhì).了解圓的軸對(duì)稱性問(wèn)題1用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得出什么結(jié)論？師生活動(dòng)：教師要求學(xué)生課前剪好圓面，課上組織學(xué)生操作、思考、歸納，學(xué)生親手折疊，根據(jù)觀察的現(xiàn)象體會(huì)到圓的軸對(duì)稱性，并歸納出：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)圓的軸對(duì)稱性.探索垂徑定理問(wèn)題2觀察圖1，AB是。O的一條弦，作直徑CD,使CD丄AB,垂足為E.思考：圖1是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生觀察、思

5、考、討論、交流.對(duì)于AE=EB,有些學(xué)生可能會(huì)想到用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明，但對(duì)于如何說(shuō)明弧相等，學(xué)生如果想不到疊合法，就很難證明.教師可提問(wèn)：教師追問(wèn)1：什么叫等弧？根據(jù)定義如何判斷兩條弧是否相等？教師追問(wèn)2：為什么把圖1沿直徑CD折疊后，AC，AD會(huì)分別與BC，BD重合？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)到從圖形的對(duì)稱性出發(fā)，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與解決問(wèn)題的重要方法，追問(wèn)2的目的是將合情推理與邏輯推理的相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.問(wèn)題3由問(wèn)題2中的發(fā)現(xiàn)，你能歸納出怎樣的結(jié)論呢？請(qǐng)用文字語(yǔ)言進(jìn)行概括.師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)問(wèn)題2中的發(fā)現(xiàn)，歸納出垂徑定理.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力和提出問(wèn)

6、題的能力.教師追問(wèn)1：定理的條件和結(jié)論分別是什么？圖2中的各種情形符合垂徑定理的條件嗎？為什么？圖2(1)圖2(2)圖2(3)教師追問(wèn)2：你能結(jié)合圖2(1)，把垂徑定理用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)分析圖2發(fā)現(xiàn)，垂直于弦的線不一定必須是直徑，可以是半徑、弦心距及過(guò)圓心的直線，而它們的共同特征是都過(guò)圓心.學(xué)生結(jié)合圖2(1)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示垂徑定理：OC過(guò)圓心，0C丄AB，AD=BD，AC=BC.教師追問(wèn)3：如果將條件中的“垂直弦”與結(jié)論中的“平分弦”互換，所得命題成立嗎？師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生先寫出命題，然后思考命題是否正確設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)追問(wèn)1與追問(wèn)2使學(xué)生理解垂徑定理?xiàng)l件的本質(zhì)，從而真正理

7、解定理.通過(guò)追問(wèn)3,體會(huì)垂徑定理及其推論之間的關(guān)系，滲透提出問(wèn)題的一種思維方式.應(yīng)用垂徑定理練習(xí)1如圖3,在00中，AB是弦，0E丄于C,若AB=8，0C=3，求00的半徑.練習(xí)2如圖4,在00中，AB是直徑，CD是弦，AB丄CD于E,若AB=26，0E=12,求CD的長(zhǎng).師生活動(dòng)：學(xué)生練習(xí)，教師組織學(xué)生進(jìn)行展示、反饋與矯正.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述練習(xí)，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，總結(jié)運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算的一般方法，感受垂徑定理的作用，并逐步積累體會(huì)在圓中解決問(wèn)題時(shí)，一些常用的輔助線.例如圖5,1300多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋，它的橋拱是圓弧形，他的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))是37.4m

8、，拱高(也叫弓形高)為7.2m，求橋拱的半徑(精確到0.1師生活動(dòng)：師生共同將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并畫出幾何圖形.教師組織學(xué)生進(jìn)行思考、討論、展示交流.教師可適時(shí)進(jìn)行啟發(fā):問(wèn)題中的條件符合哪個(gè)定理的條件？運(yùn)用垂徑定理求半徑一般在什么圖形中？這個(gè)圖形的各邊已知嗎？有怎樣的關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)趙州橋問(wèn)題，一方面增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，另一方面使學(xué)生認(rèn)識(shí)到弦長(zhǎng)a,弦心距d半徑r以及拱形高h(yuǎn)之間的關(guān)系，利用垂徑定理及勾股定理可以由其中任意兩個(gè)求其他兩個(gè).小結(jié)教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答下列問(wèn)題:(1)垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么？利用垂徑定理可以求得哪些量？怎樣求得？本節(jié)課是怎樣發(fā)現(xiàn)與證明垂徑定理的？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的核心知識(shí)以及應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的方法.布置作業(yè)教科書習(xí)題24.1第8，9，12題.五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)在圓中已知