復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換Complex Analysis and Integral Transform教材： 復(fù)變函數(shù)與積分變換主要參考書: 復(fù)變函數(shù)， 西安交大（第四版） .一、復(fù)變函數(shù) 我們以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)復(fù)變函數(shù)，研究其在復(fù)數(shù)域上的微積分，并以解析函數(shù)為中心內(nèi)容。學(xué)習(xí)方法：要善于同實(shí)變函數(shù)進(jìn)行比較、區(qū)別，特別要注意復(fù)變函數(shù)特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。 1. 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 2. 復(fù)數(shù)的表示方法Ch1 復(fù)數(shù)和復(fù)平面1 復(fù) 數(shù) 1. 在十六世紀(jì)中葉，時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為 。在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什么好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被Cardan

2、o引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式, 背景介紹2. 直到十七與十八世紀(jì)，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。，揭示了Gauss (德國1777-1855)與Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù) 為一對有序數(shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實(shí)性的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。3. (法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及 （1）復(fù)數(shù) 形如 ，其中x和y是實(shí)數(shù)，i是

3、虛單位( ), 稱為復(fù)數(shù)。其中x和y分別稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，分別記作： 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。 如果Imz=0，則z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)； 如果Imz不等于零，那么稱z為一個(gè)虛數(shù)； 如果Imz不等于零，而Rez=0，則稱z為一個(gè)純虛數(shù)。1. 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算(2)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域 (對加、減、乘、除運(yùn)算封閉），記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張。相當(dāng)于代數(shù)中的多項(xiàng)運(yùn)算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積、商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2

4、)+i(x2y1+x1y2)定義 若z=x+iy , 稱z=x-iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（3）共軛復(fù)數(shù) （1）點(diǎn)的表示 （2）向量表示法 （3）三角表示法 （4）指數(shù)表示法2 復(fù)數(shù)的表示方法（1） 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示： 數(shù)z與點(diǎn)z同義.（2） 向量表示法oxy(z)P(x,y)xy 稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實(shí)軸 為始邊, 以 為終邊的角的弧度數(shù) 稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z0時(shí)) z=0時(shí)，輻角不確定。 輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，把其中滿足 的0稱為輻角Argz的主值，記作0=argz。 計(jì)算argz(z0) 的公式

5、 當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。 當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加 。 當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減 。 oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知(3). 三角表示法(4). 指數(shù)表示法注意. 復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng) 不同問題的需要. (1) 復(fù)數(shù)三角表示的乘積與商 （2）復(fù)數(shù)的乘冪 （3）復(fù)數(shù)的方根3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘， 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明 設(shè) z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2)

6、= r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘積與商的幾何意義因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義 將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。 定理1可推廣到n 個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的輻角之差。證明 Argz=Argz2-Argz1 即：由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg

7、 z2（ z10）設(shè)z=re i，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。乘冪定義 n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z 的乘積，稱為z 的n次冪， 記作z n，即z n=zzz（共n個(gè)）。特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosn+isin n，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛(De Moivre)公式。問題 給定復(fù)數(shù)z=re i ，求所有的滿足n=z 的 復(fù)數(shù)。方根（開方）乘方的逆運(yùn)算 當(dāng)z0時(shí)，有n個(gè)不同的值與 相對應(yīng)，每一個(gè)這樣的值都稱為z 的n次方根， 當(dāng)k=0，1，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根， 而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)

8、出現(xiàn)。幾何上， 的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心， 為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。xyo練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值（1） （2） （3） （4） 解（2）（3）(4) 2. 簡單曲線（或Jordan曲線) 3. 單連通域與多連通域2 復(fù)平面點(diǎn)集1. 平面點(diǎn)集鄰域復(fù)平面上以 z 0為中心，任意 0為半徑的圓 | z -z 0|(或 0 | z z 0| 0, 對任意 z D, 均有|z|R，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,(1) 圓環(huán)域:(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶形域:2. 簡單曲線（或Jordan曲線)令z(t

9、)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：z=z(t)， atb有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于t1(a，b), t2 a, b,當(dāng)t1t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點(diǎn)。 定義 稱沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡單曲線或 Jordan曲線;若簡單曲線C 滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線3. 單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相

10、交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 D ，如果D內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在D內(nèi)，就稱 D為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如 |z|0）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域例 求過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線表示式。解二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義NSPyzZx 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù). 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng), 記作 . 因而球面上的