微分中值定理及其應(yīng)用課件

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理Rolle (1652 1719 )French證費(fèi)馬引理導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)據(jù)極限的局部保號(hào)性，得從而注意幾何解釋羅爾證： 例1由羅爾定理知，事實(shí)上，解:-131注：羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論可能不成立.例如,又例如,x=0不可導(dǎo)xy-22-112又如應(yīng)用:羅爾定理常用來(lái)討論方程根的情況，尤其與某函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的方程.例2證：由零點(diǎn)定理知，即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,結(jié)論:可微函數(shù)在任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有其導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)存在唯一二、Lagr

2、ange中值定理拉格朗日幾何解釋:分析:弦AB方程為證弦AB方程為構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式精確表達(dá)了函數(shù)在一區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.注:拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理注意：1）ba 上述公式也成立；2）若f（b）=f（a ）時(shí)，即為羅爾定理；比較：增量近似公式推論1推論2: 例3證： 例4證：由上式得方法：構(gòu)造函數(shù)、選區(qū)間、應(yīng)用定理、放大縮小說(shuō)明：拉格朗日中值定理：柯西中值定理問(wèn)題：拉格朗日中值定理的結(jié)論會(huì)怎樣？三、柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西(Cauchy )中值定理幾何解釋:注:？說(shuō)

3、明:1、柯西定理中的是同一過(guò)程中的量.2、當(dāng)考察兩個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，可考慮用柯西定理.例5證：結(jié)論可變形為:Lagrange(1736 1813) 法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開(kāi)來(lái)，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。他是18世紀(jì)對(duì)微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化做出嘗試的主要代表人物之一，他承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，并主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù)，由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。另外，他在代數(shù)學(xué)、微分方程、數(shù)論、方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)等領(lǐng)域都做出了重要貢獻(xiàn)，堪稱法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)大師。近百余年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。返回Cauchy(1789 1857) 法國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微分學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程方面。關(guān)于微積分最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、無(wú)窮小計(jì)算教程(1823)以及微分計(jì)算教程(1829)，它們以微積分的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的一系列基本概念給出了明確的定義。在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級(jí)數(shù)的收斂性，研究了級(jí)數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式