窗函數(shù)濾波器

1、7.7 設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法窗函數(shù)法的基本思想是用一具有有限長度樣值響應、并具有線性相位的系統(tǒng) 函數(shù)逼近理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。以低通濾波器為例，設(shè)系統(tǒng)函數(shù)在奈奎斯特 區(qū)間為1 Hd (O) =%1cgC(7.7-1 )-二：二：二二%，. % :二：二二頻率響應如圖7.7-1所示。對Hd(a)取IDTFT,有hdn工Cjn2二 TCdJsin(1. 1c n)二 一二：二 n ：二二(7.7-2 )二 nHd(Q) 1-二0 L匕 二圖7.7-1理想低通濾波器的頻率響應式(7.7-2 )給出的單位樣值響應說明理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，實際 中無法實現(xiàn)。如果把 田唧對稱地截斷為有限長

2、度，設(shè)長度為 N, N為奇數(shù)，截 取后的樣值響應為n,當N足夠大時，用n在某種程度上可近似表示hdn, 品n為| n | M| n| M(7.7-3 )sin(CC n) %n= nn0m N -1M 二-其中 2 。式（7.7-3 ）仍然為偶對稱函數(shù)，而且是非因果的，如果將 其右移M點，則有sinCc(n-M) hn =%nM=( n(nM)00 n N -1n ： 0, n _ N(7.7-4 )樣值響應的截斷與移位如圖7.7-2所示t?nh hnh .1 n(a)(b)圖7.7-2截斷并移位的樣值響應以上通過對理想濾波器的無限長樣值響應截斷為有限長并移位得到了物理 可實現(xiàn)濾波器的樣值響應

3、hn，那么h川的幅頻響應是否為理想幅頻響應的逼 近，其相位響應是否與頻率成線性關(guān)系，下面對其進行分析。根據(jù)DTF位換公式，仇唧、仇n和hn的頻率響應分別為HdC 廣hdne jnn 二.二(7.7-5 )MH?d(Q)=2 hdne+Qn -JM(7.7-6 )N 4H(j)八 hnej nn =0(7.7-7 )式（7.7-6 ）相當于對Hd（C）做級數(shù)截斷，當M足夠大時，心（。）逼近于Hd（C）。由式（7.7-4 ）和傅里葉變換的移位性質(zhì)可得(7.7-8 )根據(jù)傅里葉變換的對稱性，用M的變換 品（口）也H(J)=田d(j)e jM由于均川為實偶對稱函數(shù), 為實偶對稱函數(shù)，因此，有(7.7-

4、9 )argH(Q) =-jQM-jQM +nH(j) 0自d(。二0(7.7-10 )-jJM arg H (Q)=+2十十幾2H?d(j)0H?d(j)：二0(7.7-10 )可見，h【n的幅頻響應逼近于理想濾波器的幅頻響應，而相頻響應為C的分 段線性函數(shù)，在（C）改變符號的頻率處跳變180二通過以上分析看出，樣值響應hn為偶對稱實序列、且N為奇數(shù)的這種FIR濾波器不僅在幅度上可以滿足濾波要求，而且能夠取得分段線性相位特性。當Rn為奇對稱的實序列時，根據(jù)傅里葉變換的對稱性，R（c）的實部為零，這時(7.7-9 )|H(.1)|HH?d(1)|則hn的相位也為頻率的分段線性函數(shù)。當hn的長度

5、N為偶數(shù)時，若h【nl仍滿足對稱關(guān)系h n =hN -1 -n或h n = -hN -1 -n(7.7-11a )(7.7-11b )也可證明hn的相位為頻率的分段線性函數(shù)。sinHn -10)4二(n -10)0 _n _20n 0, n .21h nsin-(n-25)4n(n -25)00 n 50n ：二 0, n -51設(shè)取Cc -4, N為21和51時，由式（7.7-4 ） , hn分別為把“川代入式（7.7-7）,用計算機求得的幅頻響應如圖7.7-3所示。由圖可見：在二建。處幅度總為0.5； N越大，過渡帶越窄，幅頻響應越接近于理想響應；通帶與阻帶波紋在接近過渡帶處較大，在。兩側(cè)

6、總有比較大的肩峰出現(xiàn)， 這是因級數(shù)的截斷造成的，這種現(xiàn)象稱為傅里葉級數(shù)的吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象c理論分析表明，兩肩峰的幅度近似為 8.9%,與N的取值無關(guān)，因此，濾波器的阻帶衰減為& log 0.089期21dB。圖7.7-3 N為21和51時幅頻響應上述FIR濾波器的樣值響應還可表示為sin,1c(n - M )hn =hdn M wn cwn二(n - M )(7.7-12 )其中Mn為長度為N的矩形窗函數(shù)，即10 n N -1wn=c八 s0 n NJ(7.7-13 )由圖7.7-3 ,矩形窗的逼近性能不是很好，為了加大阻帶衰減也即減小肩峰 的影響，可以考慮采用其他形狀的窗函數(shù)，常用的

7、有1. 三角窗（Bartlett 窗）0 _n -Mwn = NT2 -2M n N -1. N -1(7.7-14 )2. 漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）1wn=2 1. cos 紅N -10 n N -1(7.7-15 ).哈明（Hamming窗（改進開余弦窗）wn=0.54 -0.46cos0 n N -1(7.7-16 ).布萊克曼（Blackman）窗r2r: n 4二 n0 n N -1(7.7-17 )0.08cos 一N -1N -1用以上幾種窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的指標如表 7.7-1所示。設(shè)計時一般根 據(jù)阻帶衰減指標選取符合要求的窗函數(shù)，再根據(jù)過渡帶寬度確定樣值響應長度N

8、o當仿真結(jié)果不符合要求時，調(diào)整 N重新設(shè)計。I表7.7-1常用窗函數(shù)性能比較窗函數(shù)過渡帶寬度（rad）阻帶衰減（dB）矩形窗1.8H/N21三角窗6.1n/N25漢寧窗6.2n/ N44哈明窗6.6H/ N53布萊克曼離11n/N74例7.7-1用窗函數(shù)法設(shè)計一線性相位低通數(shù)字濾波器。設(shè)技術(shù)指標為阻帶衰減As 50 dB理想通帶頻率=。45二rad過渡帶寬度A-tr =0.13二 rad解根據(jù)阻帶衰減指標選用哈明窗，本!據(jù)過渡帶寬度指標則可求出N為6.6 二MT6.6 二0.13 二51由式（7.7-12 ）和式（7.7-16 ）有h n =S”C（n ）1 0.54 -0.46 cos二（n

9、-M） _2 二 n ;|N 一1sin0.45二（n -25）二（n 25）0.54 -0.46 cosI50力wn和hn的波形如圖7.7-4所示濾波器的幅頻響應如圖 7.7-5所示。計算表明，通帶內(nèi)的肩峰非常小，約為0.2 % ,阻帶衰減為53dB。.hn0.4 TV 0.20102,4050 n圖7.7-4 忖川和耳川的波形圖7.7-5幅頻響應以上幾種窗函數(shù)法設(shè)計較為簡單，但對濾波器的技術(shù)指標不能有效的控制。例如，無論NW多大，矩形窗的肩峰約為 8.9%,無法對其調(diào)整。一種更為靈活的窗函數(shù)設(shè)計方法是選用凱塞（Kaiser ）窗，它定義為wn=I0L)0 n N -1(7.7-18 )其中

10、P是形狀參數(shù)，根據(jù)阻帶衰減確定。 函數(shù)，其幕級數(shù)展開式為是第一類零階貝塞爾（Bessel）Q0Io(x) =1 八m 17x/2)mm!(7.7-19 )在給定通帶頻率Cp、阻帶頻率Cs、阻帶衰減dB值A(chǔ)情況下，低通濾波器的 設(shè)計步驟如下：（1）計算理想通帶頻率Cc和過渡帶寬度 9tr,其中1(7.7-20 )% =2(p s)(7.7-21 )(2)計算形狀參數(shù)P和濾波器長度NO.1102(A -8.7)P 二10.5842(A 21)0.4 +0.07886(A -21)0A _50dB21dB :二 A ：；：50dBA 21dB(7.7-22 )A -7.95 +114.36 AQtr0.922 - +1AQtrA 21dB