窗函數(shù)濾波器

1、7.7 設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法窗函數(shù)法的基本思想是用一具有有限長度樣值響應(yīng)、并具有線性相位的系統(tǒng) 函數(shù)逼近理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。以低通濾波器為例，設(shè)系統(tǒng)函數(shù)在奈奎斯特 區(qū)間為1 Hd (O) =%1cgC(7.7-1 )-二：二：二二%，. % :二：二二頻率響應(yīng)如圖7.7-1所示。對Hd(a)取IDTFT,有hdn工Cjn2二 TCdJsin(1. 1c n)二 一二：二 n ：二二(7.7-2 )二 nHd(Q) 1-二0 L匕 二圖7.7-1理想低通濾波器的頻率響應(yīng)式(7.7-2 )給出的單位樣值響應(yīng)說明理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，實(shí)際 中無法實(shí)現(xiàn)。如果把 田唧對稱地截?cái)酁橛邢揲L

2、度，設(shè)長度為 N, N為奇數(shù)，截 取后的樣值響應(yīng)為n,當(dāng)N足夠大時(shí)，用n在某種程度上可近似表示hdn, 品n為| n | M| n| M(7.7-3 )sin(CC n) %n= nn0m N -1M 二-其中 2 。式（7.7-3 ）仍然為偶對稱函數(shù)，而且是非因果的，如果將 其右移M點(diǎn)，則有sinCc(n-M) hn =%nM=( n(nM)00 n N -1n ： 0, n _ N(7.7-4 )樣值響應(yīng)的截?cái)嗯c移位如圖7.7-2所示t?nh hnh .1 n(a)(b)圖7.7-2截?cái)嗖⒁莆坏臉又淀憫?yīng)以上通過對理想濾波器的無限長樣值響應(yīng)截?cái)酁橛邢揲L并移位得到了物理 可實(shí)現(xiàn)濾波器的樣值響應(yīng)

3、hn，那么h川的幅頻響應(yīng)是否為理想幅頻響應(yīng)的逼 近，其相位響應(yīng)是否與頻率成線性關(guān)系，下面對其進(jìn)行分析。根據(jù)DTF位換公式，仇唧、仇n和hn的頻率響應(yīng)分別為HdC 廣hdne jnn 二.二(7.7-5 )MH?d(Q)=2 hdne+Qn -JM(7.7-6 )N 4H(j)八 hnej nn =0(7.7-7 )式（7.7-6 ）相當(dāng)于對Hd（C）做級數(shù)截?cái)?，?dāng)M足夠大時(shí)，心（。）逼近于Hd（C）。由式（7.7-4 ）和傅里葉變換的移位性質(zhì)可得(7.7-8 )根據(jù)傅里葉變換的對稱性，用M的變換 品（口）也H(J)=田d(j)e jM由于均川為實(shí)偶對稱函數(shù), 為實(shí)偶對稱函數(shù)，因此，有(7.7-

4、9 )argH(Q) =-jQM-jQM +nH(j) 0自d(。二0(7.7-10 )-jJM arg H (Q)=+2十十幾2H?d(j)0H?d(j)：二0(7.7-10 )可見，h【n的幅頻響應(yīng)逼近于理想濾波器的幅頻響應(yīng)，而相頻響應(yīng)為C的分 段線性函數(shù)，在（C）改變符號的頻率處跳變180二通過以上分析看出，樣值響應(yīng)hn為偶對稱實(shí)序列、且N為奇數(shù)的這種FIR濾波器不僅在幅度上可以滿足濾波要求，而且能夠取得分段線性相位特性。當(dāng)Rn為奇對稱的實(shí)序列時(shí)，根據(jù)傅里葉變換的對稱性，R（c）的實(shí)部為零，這時(shí)(7.7-9 )|H(.1)|HH?d(1)|則hn的相位也為頻率的分段線性函數(shù)。當(dāng)hn的長度

5、N為偶數(shù)時(shí)，若h【nl仍滿足對稱關(guān)系h n =hN -1 -n或h n = -hN -1 -n(7.7-11a )(7.7-11b )也可證明hn的相位為頻率的分段線性函數(shù)。sinHn -10)4二(n -10)0 _n _20n 0, n .21h nsin-(n-25)4n(n -25)00 n 50n ：二 0, n -51設(shè)取Cc -4, N為21和51時(shí)，由式（7.7-4 ） , hn分別為把“川代入式（7.7-7）,用計(jì)算機(jī)求得的幅頻響應(yīng)如圖7.7-3所示。由圖可見：在二建。處幅度總為0.5； N越大，過渡帶越窄，幅頻響應(yīng)越接近于理想響應(yīng)；通帶與阻帶波紋在接近過渡帶處較大，在。兩側(cè)

6、總有比較大的肩峰出現(xiàn)， 這是因級數(shù)的截?cái)嘣斐傻?，這種現(xiàn)象稱為傅里葉級數(shù)的吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象c理論分析表明，兩肩峰的幅度近似為 8.9%,與N的取值無關(guān)，因此，濾波器的阻帶衰減為& log 0.089期21dB。圖7.7-3 N為21和51時(shí)幅頻響應(yīng)上述FIR濾波器的樣值響應(yīng)還可表示為sin,1c(n - M )hn =hdn M wn cwn二(n - M )(7.7-12 )其中Mn為長度為N的矩形窗函數(shù)，即10 n N -1wn=c八 s0 n NJ(7.7-13 )由圖7.7-3 ,矩形窗的逼近性能不是很好，為了加大阻帶衰減也即減小肩峰 的影響，可以考慮采用其他形狀的窗函數(shù)，常用的

7、有1. 三角窗（Bartlett 窗）0 _n -Mwn = NT2 -2M n N -1. N -1(7.7-14 )2. 漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）1wn=2 1. cos 紅N -10 n N -1(7.7-15 ).哈明（Hamming窗（改進(jìn)開余弦窗）wn=0.54 -0.46cos0 n N -1(7.7-16 ).布萊克曼（Blackman）窗r2r: n 4二 n0 n N -1(7.7-17 )0.08cos 一N -1N -1用以上幾種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器的指標(biāo)如表 7.7-1所示。設(shè)計(jì)時(shí)一般根 據(jù)阻帶衰減指標(biāo)選取符合要求的窗函數(shù)，再根據(jù)過渡帶寬度確定樣值響應(yīng)長度N

8、o當(dāng)仿真結(jié)果不符合要求時(shí)，調(diào)整 N重新設(shè)計(jì)。I表7.7-1常用窗函數(shù)性能比較窗函數(shù)過渡帶寬度（rad）阻帶衰減（dB）矩形窗1.8H/N21三角窗6.1n/N25漢寧窗6.2n/ N44哈明窗6.6H/ N53布萊克曼離11n/N74例7.7-1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一線性相位低通數(shù)字濾波器。設(shè)技術(shù)指標(biāo)為阻帶衰減As 50 dB理想通帶頻率=。45二rad過渡帶寬度A-tr =0.13二 rad解根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)選用哈明窗，本!據(jù)過渡帶寬度指標(biāo)則可求出N為6.6 二MT6.6 二0.13 二51由式（7.7-12 ）和式（7.7-16 ）有h n =S”C（n ）1 0.54 -0.46 cos二（n

9、-M） _2 二 n ;|N 一1sin0.45二（n -25）二（n 25）0.54 -0.46 cosI50力wn和hn的波形如圖7.7-4所示濾波器的幅頻響應(yīng)如圖 7.7-5所示。計(jì)算表明，通帶內(nèi)的肩峰非常小，約為0.2 % ,阻帶衰減為53dB。.hn0.4 TV 0.20102,4050 n圖7.7-4 忖川和耳川的波形圖7.7-5幅頻響應(yīng)以上幾種窗函數(shù)法設(shè)計(jì)較為簡單，但對濾波器的技術(shù)指標(biāo)不能有效的控制。例如，無論NW多大，矩形窗的肩峰約為 8.9%,無法對其調(diào)整。一種更為靈活的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法是選用凱塞（Kaiser ）窗，它定義為wn=I0L)0 n N -1(7.7-18 )其中

10、P是形狀參數(shù)，根據(jù)阻帶衰減確定。 函數(shù)，其幕級數(shù)展開式為是第一類零階貝塞爾（Bessel）Q0Io(x) =1 八m 17x/2)mm!(7.7-19 )在給定通帶頻率Cp、阻帶頻率Cs、阻帶衰減dB值A(chǔ)情況下，低通濾波器的 設(shè)計(jì)步驟如下：（1）計(jì)算理想通帶頻率Cc和過渡帶寬度 9tr,其中1(7.7-20 )% =2(p s)(7.7-21 )(2)計(jì)算形狀參數(shù)P和濾波器長度NO.1102(A -8.7)P 二10.5842(A 21)0.4 +0.07886(A -21)0A _50dB21dB :二 A ：；：50dBA 21dB(7.7-22 )A -7.95 +114.36 AQtr0.922 - +1AQtrA 21dB