第二章數列(共17頁)

1、高一數學必修五導學案 編寫：李興雷 校審：王曉路PAGE PAGE 20第二章 數列(shli) 2.1 數列(shli) （1）【學習(xux)目標】 1、了解數列的概念； 2、理解通項公式是給出數列的方法之一； 3、能根據通項公式寫出它的前幾項，能根據前幾項寫出它的一個通項公式?！局攸c難點】 數列的通項公式?！咀灾鲗W習】 一、問題情境閱讀書P29上的6個問題，觀察它們有什么共同特點？（提示：從數和順序的角度觀察）二、數學構建 1、數列定義：_； 數列的項：_； 2、一般形式_；簡記為_； 首項為_；第2項為_；第n項為_。 三、問題探究 問題1、通項與數列序號是否有關系？（以問題1為例說明

2、） 這個關系式叫做數列的_ 與相同嗎？ 問題2、若與關系為 序號：1 2 3 4 5 6 7 項：問題3、對于以上數列是否符合函數的定義？ 如果符合，可記作=_，其定義域是_。問題4、根據定義域的特點，可將數列如何分類?問題5、(1)已知數列的第n項為，寫出這個數列的首項、第2項和第3項. (2)已知數列的通項公式，寫出這個數列的前5項，并作出它的圖象 思考：此題中數列的圖象與的圖象有何區(qū)別？ (3)寫出數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數： 2,4,6,8; 1,4,9,16; 【鞏固練習】 1、根據數列的通項公式，寫出它的前5項. 2、根據數列的通項公式，寫出它的第6項和第10項

3、. 3、37是否為數列中的項？如果是，第幾項？ 4、寫出數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數： （1），； （2）2，4，6，8；（3），； （4） 【回顧小結】1、數列的定義；2、數列的通項公式；3、能根據通項公式寫出項，能根據前項寫出通項公式。【作業(yè)】 2.1 數列(shli)（2）【學習(xux)目標】 1、了解遞推公式是給出數列(shli)的一種方法，能根據給出的遞推公式寫出前項； 2、進一步培養(yǎng)觀察能力和歸納能力；3、能用函數的方法解決數列問題?！局攸c難點】 歸納數列的通項公式?！咀灾鲗W習】 1、數列定義 （1）描述性定義：_； （2）函數觀點下的定義：_。 2、數列的表示

4、方法 方法1：_； 方法2：_。 3、數列的分類 【問題探究】 例1、寫出下列數列的一個通項公式： 例2、已知， （1）寫出數列的前5項； （2）由前5項推到數列的通項公式.問：例2中的條件叫數列的遞推公式，它與通項公式比較，哪個更好的表示出了數列？為什么？例3、已知無窮數列 （1）畫出數列的圖象；（2）求數列最小的項； （3）求最小的項數使得 【鞏固練習】 1、已知數列滿足,若,則的值為_. 2、已知數列的通項公式,則與的大小為_. 3、已知數列的通項公式，求數列的最大項. 4、圖中的三角形稱為謝賓斯基三角形。在下圖4個三角形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個

5、通項公式【回顧(hug)小結】數列(shli)的遞推公式；2.寫通項公式的方法(fngf)；3利用函數思想解決數列問題。2.2.1 等差數列（1）【學習目標】 1、理解等差數列的概念； 2、會用定義判斷等差數列，證明等差數列?！局攸c難點】 判斷、證明等差數列。【自主學習】 一、問題情境閱讀書P33上的3個數列，思考：它們有什么共同特點？ 二、數學構建 1、等差數列定義：_；_叫公差，用_表示。 2、定義可用式子表示為：_。 3、（1）當時，數列的各項如何變化？ （2）當時，數列的各項如何變化？ （3）當時，數列的各項如何變化？【典型例題】 例1、判斷下列數列是否為等差數列： 例2、求出下列等差

6、數列中的未知項： 例3、（1）在等差數列中，是否有？ （2）在數列中，如果對于任意的正整數，都有，那么數列一定是等差數列嗎？【知識拓展】已知數列的通項公式，其中是常數，那么，這個數列是否一定為等差數列？若是，首項與公差分別是多少？【小結】：【鞏固練習】1、已知下列數列是等差數列，試在括號內填上適當的數：(1) ( ),5,10; (2) 1,( );(3) 31,( ),( ),10.2、已知是公差為的等差數列.(1)也成等差數列嗎？如果是，公差是多少？(2)也成等差數列嗎？如果是，公差是多少？3、已知等差數列的首項為，公差為.(1)將數列中的每一項都乘以常數，所得的新數列仍是等差數列嗎？如果

7、是，公差是多少？(2)由數列中的所有奇數項按原來的順序組成的新數列是等差數列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？【回顧小結】1、等差數列的定義；2、判定、證明等差數列的方法。 2.2.1 等差數列(dn ch sh li)（2）【學習(xux)目標】 1、探索并掌握等差數列(dn ch sh li)的通項公式； 2、理解通項公式與一次函數的關系； 3、培養(yǎng)觀察、分析、歸納、推理能力。【重點難點】 通項公式及其應用?！咀灾鲗W習】 一、問題情境1、等差數列的定義，用式子表示為：_。2、設為首項為，公差為，如何用表示？ _.如何得到以上結論的？ 二、問題探究 問題1、由等差數列的定義： 于是可歸納

8、得到：_。 問題2、由等差數列定義： 將以上個式疊加可得：_。 當時，成立嗎？問題3、當時，可以看成關于的_函數.問題4、若，則是等差數列嗎?為什么？問題5、(1)第一屆現代奧運會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次.奧運會如因故不能舉行,屆數照算. 試寫出由舉行奧運會的年份構成的數列的通項公式； 2008年北京奧運會是第幾屆？2050年舉行奧運會嗎？ (2)在等差數列中，已知，求.問題6、,是等差數列嗎？如何證明？ 問題7、已知等差數列的通項公式為，求首項和公差.【鞏固練習】 1、(1)求等差數列的第20項; (2)等差數列的第幾項是-401？ (3)-20是不是等差數列的項？如果

9、是，是第幾項？如果不是，請說明理由. 2、一個等差數列的第40項等于第20項與第30項的和，且公差是-10，試求首項和第10項. 3、數列中，則=_。4、數列是等差數列，(1)若d=2，則數列中哪些項是正數？ (2)若數列中第8項開始為正數，求d的取值范圍【回顧(hug)小結】等差數列通項公式(gngsh)及推導方法；根據哪些條件(tiojin)可判斷等差數列；等差數列圖象特征是什么？通項公式的應用。 2.2.1 等差數列（3）【學習目標】 1、理解等差中項的概念； 2、理解并能用等差數列性質解決問題； 3、能解決與等差數列有關的實際問題?！局攸c難點】 等差中項性質及其應用?！咀灾鲗W習】 一、

10、問題情境求實數A，使-1，A，2這三個數成等差數列.在數列2，4，6，8，10，12，14，16，中 嗎? 嗎？ 二、數學構建 1、如果這三個數成等差數列，則叫做的_,=_, 當確定時，有_個。 2、已知數列是等差數列， 如果，那么應有_； 特別地，時，應有_. 注意：_.【典型例題】 例1、如果 這三個數成等差數列，那么。我們把叫做 的等差中項。試求下列各組數的等差中項： （1） （2） 例2、已知數列是等差數列，則。變式1、為等差數列，則變式2、為等差數列，,.若. 求. 例3、在-1和8之間插入兩個數，使這四個數成等差數列，則的值各是多少？例4、三個數成等差數列，它們的和是15，它們的平

11、方和等于83，求這三個數.【鞏固練習】 1、判定下列說法是否正確，正確的打“”，不正確的打. (1)三個數滿足，則數列，數列均為等差數列. ( ) (2)一個等差數列的任意連續(xù)三項，中間一項總是前后兩項的等差中項. ( ) (3)若數列滿足，則數列是等差數列. ( ) (4)等差數列中，若，則. ( ) 2、已知數列滿足,且,則=_. 3、若關于(guny)x的方程和的四個根組成(z chn)首項為的等差數列(dn ch sh li)，求a+b【回顧小結】 等差中項；2.等差數列性質及其應用；3,等差數列的應用. 2.2.3 等差數列的前項和（1）【學習目標】 1、通過實例探索，掌握等差數列前

12、項和公式及其推導 ; 2、能靈活應用公式.【重點難點】 等差數列求和公式及其應用。【自主學習】 一、問題情境情境1、求和.情境2、閱讀課本第39頁，求鋼管總數.二、問題探索 問題1、如何較簡便地解決以上兩個問題？ 問題2、設是等差數列，其前項和記為，你能由以上特殊例子類比推導出嗎？ 問題3、若根據等差數列通項公式.將每一項分解成兩個部分，是否可以同樣得到以上結論？三、數學構建 1、等差數列的前項和公式： =_=_. 2、說明： (1)兩個公式中的基本量有_; (2)記憶方法_; (3)將整理成關于的二次式，則=_時，是關于的二次函數，其常數項是_.四、知識應用 例1、在等差數列中， (1)已知

13、 (2)已知例2、在等差數列中，已知求例3、在等差數列中，已知，求它的前10項的和.例4、在等差數列中， (1)已知求此數列前17項的和; (2)已知求此數列前21項的和； (3)已知該數列前11項的和,求第6項. 【鞏固練習】 1、在等差數列中， (1)已知 (2)已知 (3)已知 (4)已知 2、在等差數列(dn ch sh li)中, (1)求前20項的和; (2)已知前項的和為,求的值. 3、等差數列(dn ch sh li)中，求【回顧(hug)小結】 1、掌握等差數列前項和公式及其推導方法; 2、能根據條件求及基本量.2.2.3 等差數列的前項和（2）【學習目標】 1、理解等差數列

14、的性質并會應用; 2、掌握公式.【重點難點】 1、性質及應用； 2、公式及應用.【自主學習】 一、問題探索問題1、(1)在等差數列中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和. 【小結】：方法：_, (2)如果等差數列的前項和為，那么是否成等差數列？你能得到更一般的結論嗎？ 【小結】：一般結論是：_. (3)用問題（2）中的結論如何解決問題（1）中的問題？哪種方法更簡潔？ 問題2、（1）設為等差數列，為數列的前項和，則數列是否為等差數列?如果是，請證明；如果不是，說明理由.(2)設為等差數列,為數列的前項和，已知.設為數列的前項和,求.問題3、

15、(1)已知數列的前項和，求證：是等差數列. (2)已知數列的前項和,求，是否為等差數列？【小結】：1、已知，求時可用公式=_. 2、當滿足條件_時,是等差數列. 【鞏固練習】 1、在等差數列中，則=_. 2、已知數列是等差數列，若，則=_. 3、已知數列的前項和,求它的通項公式. 4、已知數列為等差數列,，求.思考：(1)已知等差數列的項數為奇數，且奇數項的和為，偶數項的和為，求此數列的中間項及項數。(2)設等差數列(dn ch sh li)共有2n+1項，所有奇數(j sh)項之和為132，所有偶數項之和為120，求 。小結(xioji)：【課堂小結】： 1、等差數列的性質及應用2、有等差數

16、列生成的數列的特征;3、已知，求.2.2.3等差數列的前項和（3）【學習目標】 能運用等差數列的知識解決實際問題.【重點難點】 能運用等差數列的知識解決實際問題.【自主學習】 一、問題探索問題1、某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，這個劇場共有多少個座位？【小結】：1、解決應用題的一般步驟：_. 2、數列應用題分理數據的方法：_. 問題2、某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40mm,滿盤時直徑120mm,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米（精確到1m）? 問題3、教育儲蓄是一種零存整取定期儲蓄存款，它享受整存整取利率，利息免稅

17、.教育儲蓄的對象為在校小學四年級（含四年級）以上的學生.假設零存整取3年期教育儲蓄的月利率為0.21%.（1）欲在3年后一次支取本息合計2萬元，每月大約存入多少元？（2）零存整取3年期教育儲蓄每月至少存入多少元？此時3年后本息合計約為多少（精確到1元）？【鞏固練習】 1、求集合的元素的個數，并求這些元素的和. 2、已知一個凸多邊形各個內角的度數組成公差為的等差數列，且最小角為，問它是幾邊形.3、某鋼材庫新到200根相同的圓鋼，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓鋼盡可能的少，那么將剩余多少根圓鋼？【課堂(ktng)小結】 解決(jiju)數列應用題常采用列表的方法分理數據，然后建立數列模型，

18、用數列有關知識去解決問題.【作業(yè)(zuy)】 2.3.1 等比數列 （1）【學習目標】 1、通過實例理解等比數列的概念；2、會判斷一個數列是否為等比數列.【重點難點】 等比數列的概念與判斷.【自主學習】問題情境: 觀察數列： 問:它們是否為等比數列？有什么特點？【數學構建】 1.一般地，如果一個數列_， 那么這個數列就叫_，_叫公比，用_表示。 2.定義可用式子表示為：_【典型例題】 例1判斷下列數列是否為等比數列： 【小結】：1、等比數列中，項與公比是否可以為0？_ 2、當公比時，數列特征: _ 當公比時，數列特征: _; 當公比時，數列特征:_ _ 當公比時，數列特征: _.例2已知下列數

19、列是等比數列，試在括號內填上適當的數： (1)2,（ ）,8； (2)-4,（ ），（ ），； (3)（ ）； (4)3，（ ），27； (5)1，（ ），4，（ ），16.例3(1)在等比數列中，是否有? (2)如果數列中，對于任意的正整數，都有，那么， 一定是等比數列嗎？ 例4(1)數列是 等差數列，則數列是否為等比數列？為什么？ (2)設數列(shli)是等比數列(dn b sh li)，問數列(shli)是否為等比數列？說明理由.【鞏固練習】1.已知下列數列是等比數列，試在括號內填上適當的數： (1) ( ),3,27; (2) 3,( )，5; (3) 1,( ),( ),.2.下列

20、數列哪些是等差數列，哪些是等比數列？ （1） (2) (3).3.已知是公比為的等比數列，新數列也是等比數列嗎？如果是，公比是多少？ 4.已知無窮等比數列的首項為，公比為. (1)依次取出數列中的所有奇數項，組成一個新數列，這個數列還是等比數列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？ (2)數列（其中常數）是等比數列嗎？如果是，它的首項和公差是多少？ 2.3.1 等比數列（2）【學習目標】 1、探索并掌握等比數列的通項公式； 2、會用公式解決問題； 3、能用性質解決問題.【重點難點】 通項公式及性質的應用.【自主學習】 一、問題情境1、等比數列定義用式子表示為_.2、設等比數列首項為，公比為，如何用

21、，表示？ _3、怎樣得到上述結論？二、問題探究 問題1、由等比數列的定義： 于是可歸納得到：_。 問題2、由等比數列定義： 將以上個式疊乘可得：_。 當時，成立嗎？問題3、等比數列的通項公式是關于的指數函數嗎？什么條件下才是指數函數？ 問題4、在等比數列中， (1)已知求; (2)已知求.【典型例題】例1是等比數列，為公比，嗎？如何證明？用以上結論是否可以解決問題4中的問題？例2在243和3中間(zhngjin)插入3個數，使這5個數成等比數列.例3已知等比數列(dn b sh li)的通項公式(gngsh)為，求首項和公比.【鞏固練習】1求等比數列的公比、第5項和第項： .2在等比數列中，(

22、1)已知,求; (2)已知,求(3)已知,求; 【課堂小結】 2.3.1 等比數列（3）【學習目標】 1、理解等比中項的概念；掌握等比數列的性質； 2、能靈活應用定義、性質解決問題.【重點難點】 性質及其應用。問題情境求實數G，使1，G，2這三個數成等比數列.在數列1，2，4，8，16，32，64，128中 嗎? 嗎？ 【數學構建】 1、如果這三個數成等比數列，則叫做的_,=_, 當滿足條件_時，才有等比中項,且有_個. 2、已知數列是等比數列， 如果，那么應有_； 特別地，時，應有_. 注意：_.【典型例題】例1(1)求45和80的等比中項; (2)已知兩個數和的等比中項是，求.例2已知為等

23、比數列, (1)若，求; (2)若，求;(3)若，求;(4)若，且，求; (5)若，且，求的值.（1993年高考）例3已知三個數成等比數列(dn b sh li)，若三個數的積為125，三個數的和為31，求此三個數.例4首項不為(b wi)0的等差數列中，是某一等比數列(dn b sh li)的連續(xù)三項，求等比數列的公比. 【鞏固練習】1、為是等比數列，求下列各值：(1)已知，求. (2)已知，求公比. 2、在等比數列中，若，求的值. 3、是正等比數列，,則=_. 4、依次排列的四個數，其和為13，第四個數是第二個數的3倍，前3個數成等比數列，后三個數成等差數列，求這四個數. 2.3.3 等比

24、數列的前項和（1）【學習目標】 1、理解等比數列前項和公式及其推導; 2、掌握并會應用公式.【重點難點】 公式推導及其應用.【自主學習】 一、問題情境國際象棋起源于古代印度。當時，國王要獎賞發(fā)明者，問他有何要求，發(fā)明者說:請在第一個格子上放一粒小麥，在第二個格子上放兩粒小麥，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子的2倍，直到第64個格子。國王覺得這并不是很難辦到的事，就欣然同意了他的要求。你認為國王能滿足發(fā)明者的要求嗎？ 二、問題探索 問題1、每個格子里的麥粒都是前一個格子的2倍，共64個格子，每個格子里的麥粒數 是多少？ 問題2、發(fā)明者要求的總的麥粒數是多少？ 問題3、所得式子每項之間有

25、何特點與聯系？如何應用這種聯系求和？ 問題4、一般地，設等比數列，其公比為，如何求出它的前項和 呢?即求=.【數學構建】 1、已知數列為等比數列，則其前項和 =_=_. 2、說明： (1)兩個公式中的基本量有_; (2)使用公式時應注意_;【典型例題】 例1在等比數列中， (1)已知 (2)已知例2在等比數列(dn b sh li)中，求例3求數列(shli)前項的和.【鞏固(gngg)練習】 1、根據下列條件，求等比數列的前項的和： (1) (2) (3) 2、在等比數列中，已知 2.3.3 等比數列的前項和（2）【學習目標】 1、理解并掌握等比數列的性質及應用;2、會用錯位相減法求一類數列

26、的前項和; 3、會處理有關數列的綜合問題.【重點難點】 1、性質及應用；2、求和方法.【自主學習】問題探索問題1、已知等比數列1，2，4，8，16，32，64，128，256，.求,并判斷它們仍為等比數列. 問題2、以上結論是否可以推廣到一般情形？即已知是等比數列，前項和，則（各項均不為0）仍是等比數列嗎？【典型例題】例1已知是等比數列，則_.變式：已知是等比數列，則_.例2已知是等比數列，前項和為，若=48，求.例3求和：. 【小結(xioji)】：方法(fngf)：_.拓展(tu zhn)訓練：1求和：.2已知為等比數列，項數為偶數，奇數項和為，偶數項和為，求公比及項數.【小結】：方法：_

27、.【鞏固練習】1、若等比數列的前三項的和等于首項的3倍，則該等比數列的公比=_.2、若是等比數列，則=_.3、等比數列中，求.4、等比數列前4項的和為1，前8項的和為17，則這個數列的公比=_.【課堂小結】：2.3.3 等比數列的前項和（3）【學習目標】 能運用等比數列知識解決實際問題.【重點難點】能運用等比數列知識解決實際問題.【典型例題】例1水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題，全國9100萬畝的坡耕地需要退耕還林，其中西部地區(qū)占70%，國家確定2000年西部地區(qū)退耕土的面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%，那么從2000年起到2005年底，西部地區(qū)退耕還林的面積共有多少

28、萬畝（精確到萬畝）？ 【小結】：1、解決應用題的一般步驟：_. 2、數列應用題分理數據的方法：_.例2在問題1中，思考：從2000年起到哪一年底，西部地區(qū)基本解決退耕還林問題?例3某人2004年初向銀行申請個人住房公積金貸款20萬元購買住房，月利率3.375，按復利計算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月初開始還貸，如果10年還清，那么每月應還貸多少元？ 例4某林場(ln chn)去年底森林木材儲存量為330萬。若樹木以每年25%的增長率生長，計劃從今年起，每年底要砍伐(knf)的木材量為萬，為了(wi le)實現經過20年木材儲存量翻兩番的目標，每年砍伐的木材量的最大值是多少？（精確到0.01萬）【鞏固練習】 1、我國1980年底人口以十億計算： （1）若我國人口年增長率為1.2%，則到2005年底我國約有多少人口？ （2）若使我國到2010年底人口不超過14億，則人口的年