專題04函數(shù)的最值問題(解析版)

1、2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項微專題核心考點突破專題04函數(shù)的最值問題考點命題分析函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂，是高中數(shù)學(xué)的主干知識，貫穿高中數(shù)學(xué)始終.函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質(zhì)，與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密，在數(shù)學(xué)建模、最優(yōu)化等問題中也有廣泛的應(yīng)用.它蘊含了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想，是歷年高考的必考內(nèi)容.分析歷年各地高考試卷中涉及的函數(shù)最值問題，主要有以下特點：(1)總體難度中等偏上.(2)最值問題的呈現(xiàn)形式通常有三種.其一，直接給出函數(shù)求其最值，這類題常以客觀題形式出現(xiàn)；其二，在解答題中作為子問題出現(xiàn)，難度中等；其三，隱性呈現(xiàn)，如不等式恒 成立、有解等問題，幾何或應(yīng)用題中的最優(yōu)

2、化問題，需要對問題進(jìn)行二次轉(zhuǎn)化，化歸為最值問題，這類題 難度較大.(3)近幾年試卷中出現(xiàn)多變量函數(shù)的最值問題，這類題形式簡單但難以找到解題突破口，雖然可以 通過轉(zhuǎn)化化歸為常見問題，但轉(zhuǎn)化難度較大，對考查學(xué)生的思維能力確有其獨到之處.由于函數(shù)最值問題難度較大，思維要求較高，常導(dǎo)致部分學(xué)生對某些問題無從下手”或 含而不對，對而不全”解決這一難題，需從三方面入手： (1)加強對最值概念的理解，注意其兩個要素缺一不可(一是不等式對定義域中任意值恒成立，二是確保等號取到)，通過多角度對常見函數(shù)最值問題的研究，再次回顧探求最值問題的常用策略和基本思想，拓寬解題 思路，增強選擇意識和求簡能力，熟悉探求最值的

3、基本技能，培養(yǎng)直觀想象能力；(2)通過對較復(fù)雜的函數(shù)、多變量函數(shù)的最值問題的探求，強化轉(zhuǎn)化化歸意識，增強學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問 題和解決問題的能力；(3)通過最值概念與其他知識的綜合運用，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)分析等綜合能力本專題擬用兩個課時完成，第一課時讓學(xué)生在教師的幫助之下自主建構(gòu)知能體系，并通過相關(guān)訓(xùn)練熟悉基 本方法，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.第二課時著重研究多變量函數(shù)最值問題和最值的簡單應(yīng)用問題，提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力 .1自主建構(gòu)，聯(lián)珠結(jié)網(wǎng)學(xué)之道在于悟”經(jīng)過前面的復(fù)習(xí)，學(xué)生已掌握了不少函數(shù)最值的求法，但稍顯零碎、分散，沒有進(jìn)行歸納 總結(jié).放手讓學(xué)生自主盤點研究過哪

4、些函數(shù)的最值？分別有哪些方法？嘗試提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)思想 .由此總結(jié)得出探求一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、簡單一次分式函數(shù)、二次分式函數(shù)等常見代數(shù)函數(shù)最值的基本 方法和思想，進(jìn)一步總結(jié)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)以及簡單的無理函數(shù)、含絕對值函數(shù)等超越函數(shù)最值的探求方法，突出向代數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化的意識，提煉數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生自我總結(jié)，歷經(jīng)自主建構(gòu)知能體系的過程，有助于提升學(xué)生對最值問題的認(rèn)識，培養(yǎng)回顧反 思的意識和概括總結(jié)的能力 .2立足基礎(chǔ)，溫故知新學(xué)數(shù)學(xué)重在做數(shù)學(xué)”在自主建構(gòu)出較為完善的知識體系的基礎(chǔ)上，用以下幾個與函數(shù)最值相關(guān)的問題，熟 識最值問題的常用

5、處理策略，提升思路的選擇與甄別能力，加強學(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng).例1 1函數(shù)f (冷=X + ：皿E L2D的最小值為 .思路探求：解法1,由廣蓑)三i一受三W(xC 1, 2),當(dāng)aN時，fO)<a, f(x)在區(qū)間1, 2上遞減，此時最小值為 /0)=2 +。當(dāng)awi時，飛動叁口，f(x)在區(qū)間1, 2上遞增，此時最小值為 f(1)=1 + a;當(dāng)1<a<4時，由f(x)在區(qū)間(1,詬：內(nèi)遞減，在區(qū)間(而2)內(nèi)遞增，此時最小值為fG0=2癡.(2 + 號,口.)4禺或在端3. ct+Ltt咸1解法2:作為客觀題，直接利用 模型”即可獲得函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)a<0時，f

6、(x)為 雙刀”型函數(shù)，在區(qū)間(0, +8) 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f(x)為雙勾”型函數(shù)，在區(qū)間皿*內(nèi)遞減，在區(qū)間卜區(qū)+的)內(nèi)遞增；當(dāng)a=0時， f(x)=x在區(qū)間(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞增，由此同樣可以得到結(jié)論.方法點睛：通過研究函數(shù)的單調(diào)性探求最值是求函數(shù)最值的基本策略之一.掌握常見的函數(shù)模型對明確求解目標(biāo)、提高解題速度大有益處.除常見的多項式函數(shù)、哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)外，研究并積累一些常見的函數(shù)模型圖像及其性質(zhì)(如4 ；福丁門引=知道國=9等)，增強數(shù)學(xué)模型意識，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.例1 2設(shè)函數(shù)= d-皿+ QL3>的最小值為1,求實數(shù)a取值的集合.思路探求：

7、解法1,由該二次函數(shù)的對稱軸為直線* =故可以就:與區(qū)間1, 3的關(guān)系分三種情形進(jìn)行討論，并求得(14 3 ce, a 6由g(a)=1可得a取值集合為4.6 3冢2解法2:從最小值的定義出發(fā)，由 f（x）最小彳1為1,即當(dāng)xC1, 3時，x2ax+5>l恒成立，且存在xoC 1 , 3 使“=成立，亦等價于當(dāng)x1, 3時，av +士恒成立，且存在口周使“=成立.由最小值定義可知，a即 為函數(shù)域外=第+ ：值F 1,司）的最小值 易求 雙勾”函數(shù)h（x）在區(qū)間1, 3上的最小值為4,故而a取值集合 為4.方法點睛：解法1想法自然，是一種正向思維方式，充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.解法2兩

8、次使用最值定義，將含參函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題，較之解法1,過程更為簡捷，這在已知含參函數(shù)最值求參數(shù)這類問題中常被使用，但在使用最值定義時應(yīng)注意兩個要素（不等式恒成立”和 使等號成立”，）缺一不可.例1 3函數(shù)y=2x也- 1的最小值為思路探求：解法1,為了處理二次根式，將原式化為2x-y = 而=！，兩邊平方可得叱-（蚓+ i）r + （鏟+ !）=。（吟.由該方程有實根（原函數(shù)定義域為非空數(shù)集），其根的判別式 >Q由此可得F急,而當(dāng)F= 時=T >1 故當(dāng)工=三時，函數(shù)取彳#最小值 解法2:令d整一 1 二 >作>0）,則£ 二產(chǎn)一1,從而

9、產(chǎn)=2產(chǎn)0）,不難求得其最小值為解法3:利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性， 再求最小值方法點睛：將無理式轉(zhuǎn)化為有理式是處理無理式的基本策略.轉(zhuǎn)化的方法通常有換元（代數(shù)換元或三角換元 卜分母（或分子）有理化、乘方（平方）等.但轉(zhuǎn)化時尤其要注意變形等 價性要求.解法1是通過平方的手段將原式轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)方程思想在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用.但需注意方程（*）其實與原函數(shù)式并不等價， > T”應(yīng)是原式成立的必要條件，但通過驗證等號恰能取得，故而能確保結(jié)論的正確性.解法3是研究可導(dǎo)函數(shù)最值的基本策略，如求函數(shù) 學(xué)=2里+ #% 1的最小值,研究其單 調(diào)性優(yōu)于換元轉(zhuǎn)化的方法，但要注意定義域優(yōu)先原則”的應(yīng)用.3

10、合理轉(zhuǎn)化，化生為熟多變量函數(shù)最值問題的基本處理策略，是通過合理消元或代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)等學(xué)生較為熟悉的問題，整體思想”函數(shù)與方程思想”等數(shù)學(xué)思想的正確運用是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵所在例21已知實數(shù)x, y滿足3x+xy=3（K E（0：）,則T=£ +之的最小值是 .思路探求：看似兩個變量的問題，而由已知條件可以消去一個變量，化為一元函數(shù)解法1：選才i x為變量，則易得r =± + -(o<jc <-),可借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性再求最值，或從方程角度將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x的一元二次方程，由方程有實根，則判別式不小于零得最小值為8(因為T是定義在開區(qū)間(,內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，故其最值

11、只能在極值點取得，但需檢驗取最值時工=；恰在(0口內(nèi)).解法2：選才i y為變量，由靄=工,口可得y>3,則=蓑十苴子一i-,再借助基本不等式或函數(shù)知識更容易求得當(dāng)y = 4rx =；時取得最小值8.方法點睛：函數(shù)思想”的運用是解題的關(guān)鍵.通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)模型是解題的基本出發(fā)點，但兩種消元 的方法導(dǎo)致求解過程的繁簡程度大相徑庭，后者簡單了許多，這樣的分析、比較有益于培養(yǎng)學(xué)生多角度嘗 試的意識，提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力.例22已知a>b>c>0,求T = 2cF +2+七一】。耐+ Z5r的最小值.ib q(iib)思路探求：解 法 1, 將 T 視 為 關(guān) 于

12、 c 的 函 數(shù) f(c), 則T = 2 = Z第一通配+ 2爐+ W +康卜/© 口 + aB + S Bi> 5由此1各-兀問TEi轉(zhuǎn)化力兀問TEi,再將其視著關(guān)于b的函數(shù)1tf固=+ 7云儂< a),利用函數(shù)或不等式知識可求g(b)費(野，進(jìn)一步將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再由基本不等式或函數(shù)知識可求其最小值為4,當(dāng)3仃"二3£=當(dāng)時取得最小值.解法2:由=(50鼻產(chǎn)十歲+W4 T+三+/_Qb arfis-i.rnb a«i-fe)記=x,區(qū)(4 - b) => O.y > 0),則？*專+-dL高=再行”,同樣可求得其最

13、小值為4.£1由1Q(Af方法點睛：轉(zhuǎn)化為一元問題仍然是解題的基本出發(fā)點.由于不能通過等量關(guān)系代入消元，故函數(shù)思想”的運用或 放縮”成為這類問題的常用轉(zhuǎn)化策略.運用函數(shù)思想時，注意 主元”的選擇，多次放縮后，注意驗證各個等號的相容性.4綜合運用，以簡馭繁函數(shù)的最值在處理不等式有關(guān)問題(如恒成立、有解等卜函數(shù)其他性質(zhì)的研究(如單調(diào)性、零點存在性)以及實際應(yīng)用問題中有其重要的作用，合理準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化是正確運用的關(guān)鍵例3 1已知f(x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且十吁(1)=GJT.若在區(qū)間7,1上存在xo,使得硬(*力+且Q=。成立，則實數(shù)a的最大值和最小值之和為 .思

14、路探求：條件即表示關(guān)于x的方程af(x)+g(2x)=0在區(qū)間上有解，又易求f(x)=1L -開工?= 2t + 2ao ,由此可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 3 上?在區(qū)間;,1上有解.從而a的取值集合即為函數(shù) 4HC-M)的值域，a的最值即為函數(shù)h(x)的最值.令X一-小隹U) 則運用導(dǎo)數(shù)求得h(x)=u(t尸-二工等 ,所以a的最大值與最小值之和為方法點睛：等價轉(zhuǎn)化”思想在該題的求解過程中得以充分體現(xiàn).關(guān)于a的方程a=f(x)有解，可等價轉(zhuǎn)化為a的取值集合為函數(shù) f(x)的值域.類似地，若f(x)存在最小值，則關(guān)于 x的不等式a4(x)恒成立，可等價轉(zhuǎn)化為 aWf(x)min；分離變量可將含參函數(shù)的最值

15、問題轉(zhuǎn)化為不含參函數(shù)的最值問題，簡化求解過程；在探求函數(shù) h (x)值域時，整體換元轉(zhuǎn)化問題較之運用導(dǎo)數(shù)直接研究其單調(diào)性等方法更為簡捷例32設(shè)函數(shù)f(刈=y若對于定義域內(nèi)的任意 xi,總存在x2使得尸0汽電,則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 .思路探求：由對定義域內(nèi)的任意 力總存在x2使得/仁力代物),可得f(x)無最小值.而f(x)=二一肅限 令=亡 H則 f(x)=g(t)=2at2+t” 嚨最小值.分類討論可得當(dāng)a=0和a0時，g(t)(tw0近最小值，故a的取值范圍是&-R).方法點睛：對最值概念的深刻理解是實現(xiàn)條件轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵所在.在研究函數(shù)f(x)最值存在性時，還可以令x-a=

16、t,將函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=i，但研究過程要復(fù)雜許多.例3- 3設(shè)長方體各棱長之和為 36cm,表面積為48cm2,求該長方體體積的最大值和最小值思路探求 溶易將問題轉(zhuǎn)化為已知正實數(shù)a, b, c滿足a+b+c=9, ab+bc+ca=24,求T=abc的最大值和最小值”由已知條件可得 a+b=9 - c, ab=24 c(a+b)=c2 9c+24,從而T=abc=c39c2+24c.由此將T轉(zhuǎn)化為一元函 數(shù)，求出c的取值范圍(定義域)即可探求其最值解法1:從方程角度，將a, b視作關(guān)于x的方程x2(9 c)x+(c29c+24)=0的兩個正實根，不難得到iqw*也可以通過消元化成

17、關(guān)于a(b)的一元二次方程再求解.解法2:從不等式角度，由曲構(gòu)造關(guān)于c的不等式，解得14W5令f(c)=c39c2+24c(1省w 5)借助導(dǎo) 數(shù)可得其在區(qū)間1, 2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2, 4上單調(diào)遞減，在區(qū)間4, 5上單調(diào)遞增，從而f(c)max=naMV(2%5) = 20, /(叫皿值=(暨) = 115,即 T 的最大值為 20,最小值為 16.方法點睛：將多變量函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)模型是解題的基本方向.探求c的取值范圍時，引導(dǎo)學(xué)生從條件等式的形式，聯(lián)想方程相關(guān)知識 (根與系數(shù)的關(guān)系)或基本不等式，由此構(gòu)造關(guān)于 c的不等關(guān)系得到其范圍，這 樣有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想、直觀想象等綜合能力最

18、新模擬題強化21 .函數(shù)y x 2x 3在閉區(qū)間0, m上有最大值3,最小值為2, m的取值范圍是A. (,2B. 0,2C. 1,2D. 1,)【答案】C【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，當(dāng)x 1時，y最小，最小值是2,當(dāng)x 2時，y 3,函數(shù)f(x) x2 2x 3在閉區(qū)間0, m上上有最大值3,最小值2,則實數(shù)m的取值范圍是1 , 2.故選：C .|； E I I .-5 -4 -? *2 -11 2 3 4 5 x4-七-34-5.2.函數(shù)y x4 4x 3在區(qū)間2,3上的最小值為（）A. 72B. 36C. 12D. 0【答案】 D【解析】解： y4x3 4 ，令 y 0 ，

19、即 4x3 4 0解得 x 1當(dāng) x 1 時，y0當(dāng) x 1 時，y01 y極小值y |X 1 0 ,而端點的函數(shù)值y |x 2 27 ， y |x 3 72 ，得 ymin 0 故選 D.aX,X 23.已知a (0,1)U(1,),且函數(shù)f(x) 9 在R上有最小值，則a的取值范圍為( X2,X 2A 0,1 ?B 0,11,2 ? C 1,2D 2,【答案】 A【解析】當(dāng) x 2 時， f (x)x24 ；當(dāng) x 2 時， f (x) ax ，若 a (0,1) 時， f (x) ax a2 ，且 a2 4 ，xax f (x)a2 ,xx,x2在R上有最小值2當(dāng) a (1,) 時， f

20、 (x)ax0, a2此時，顯然函數(shù)f(x)xa,x 22，在R上沒有有最小值，最小值無限趨近于零;x2,x 2綜上： a 的取值范圍為 0,1故選： A4 函數(shù) y ax 在 0,1 上的最大值與最小值之和為3,則函數(shù)y 3ax 1在 0,1 上的最大值與最小值的差是(A. 6【答案】DB. 1C. 3D.3, a0 a1 1 a 3, 解得 a 2.【解析】:函數(shù)yax在0,1上的最大值與最小值之和為函數(shù)y 3ax 13 2x 1 ,易知y 3 2x1在0,1上單調(diào)遞增，所以在0,1上的最大值是3 20 3,最小值是3 21 3 ；23 3.最大值與最小值的差是 3 3 1.故選：D5.函

21、數(shù)f Xx2a在區(qū)間 1,1上的最大值是a,那么實數(shù)a的取值范圍是(A . 0,B, 1,1C. LD, 1,22【答案】C 【解析】 Ar / I /_A V, *1 心 T若 a 0 ,則 f (x) x2 a , f(x)在1,1的最大值為1 a,1即有1a a ,可得a 不成立；2則a 0 ,由x2 a a ,可得x 0或 J2a ,由圖像結(jié)合在區(qū)間1,1上的最大值是a可得J25 T ,解得a, 故選：C.6.已知函數(shù)f x sinx sin x，現(xiàn)給出如下結(jié)論：f x是奇函數(shù)；f x是周期函數(shù)；f x在區(qū)間0,A. 1【答案】B【解析】B. 2C. 3D. 4. x R, f x s

22、in x sin xsin x sin x f x ,上有三個零點； f x的最大值為2.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（f x是奇函數(shù)，正確;y sin x 的周期1 2k , k Z , y sinx的周期T2 2n, n Z,T11H 2k ,k Z I T21T2 2n,n Z所以f x不是周期函數(shù)，錯誤;sin x sin x令 f x sinx sin x 0,得 sin xx 2k , k Z ,或 x x 2kk Z,解得x工，k Z或x 2k 1,11一 八2,、4又x 0, x 或x 或，正確;1 11當(dāng) sinx 1 時，x 2k k Z , 21當(dāng) sin x 1 時，x 2k

23、, k Z , 21. x|x 2k ,k Z I x|x 2k -,k Z2 2即 y sin x 與 y sinx不可能同時取得最大值1,故錯誤.故選：B7.設(shè)實數(shù)x, y,滿足x2 xy y2 xA.有最大值 B.有最小值 31134y-,則代數(shù)式13xy2y4 (13C.有最大值1D.有最大值2021【解析】由已知得:2x xy4、y-,代數(shù)式 13xy2y132xy y2，y xy原代數(shù)式t2rr，Q x2xy兩邊同時除以t2t 3,t24,124;當(dāng)m1312,最大值為1213故選:8.如果函數(shù)f x對任意的實數(shù)，使得不等式、恒成立，那么就稱函數(shù)f x為有界泛函.給出下面三個函數(shù)：

24、sf xx-2x x 1 .其中屬于有界泛函的是（A.對于對于0時，有1不屬有界泛函；9.已知函數(shù)A. 20時,0時,有|x|x無最大值,1x2 x 1不屬于有界泛函；對于B. 3t在區(qū)間2,5的最大值為C. 2或 32,121324一屬有界泛函1貝U t的值為（D.一1一，B.最大值1 ,無最小值2D.最大值1,無最小值12一(t- 1) 2+1, t 0 ,2,一.4,- r 4由函數(shù)f x t,令fx 0,得x 1,x 1t '.4當(dāng)一 1 2,即t 4時，f x去絕對值后的函數(shù)在區(qū)間2,5上為單調(diào)遞增函數(shù),t函數(shù)f x的最大值f 5 t 2,解得t 3 （舍）或t 1 （舍），

25、|5 1-4當(dāng)一 1 5,即t 1 , f x去絕對值后的函數(shù)在區(qū)間2,5上為單調(diào)遞減函數(shù)，t4函數(shù)f x的最大值f 2 t 2,解得t 6 （舍）或t 2 （舍），2 1-4當(dāng) 2 1 5,即 1 t 4 , tf x在區(qū)間2,5上的最大值為f 2-一- t 2或f 5-一- t 2,2 15 1解得t 3或t 2.綜上：t的值為t 3或t 2.故選：C.10.已知函數(shù)f（x） x 寸 1 2x,則函數(shù)f（x）有（）1 一一，一A .最小值一，無取大值2C.最小值1,無最大值【答案】D【解析】函數(shù)f （x）的定義域為（-8,12設(shè) t 1 2x，則 t 0 ,1 t1 c 1 -f (x)

26、= g (t)t- t2+t - g (t)匐(1) 即 g (t) <1，函數(shù)f (x)的最大值1,無最小值.故選D.211 ,已知二次函數(shù) f x xbxR,cM,N分別是函數(shù)fx在區(qū)間 1,1上的最大值和最小值,N的最小值A(chǔ). 2B.C.綜上所述,12.已知0,即1,即A. 2025由題可知Q f (x)故選：B2時,2時,2時,0時,1最小值為1,故選B.一2019x 10,設(shè)函數(shù)f (x)x2019xB. 20222b2bf(x)x 120193x201920191x 40382016 2016 2109x2019 壽 2019x13.已知函數(shù)f (x) x2019x一在x 1

27、4;4;c.20162019x 11;b271,a,a)的最大值為 M,最小值為N，那么M N =(2020D. 20194038 2016a,a為增函數(shù),0, a 0)在 xf( x) 20192016 2019x2019x 12022,M +N f+f a 20223時取得最小值，則a【答案】9【解析】一，一，、 a函數(shù) f (x) x (x 0, a 0)x根據(jù)打勾函數(shù)的圖像可知，當(dāng)x a時取得最小值. x因為當(dāng)x 3時取得最小值，即a x2 9故答案為：914.已知函數(shù)f(x) x2 4x a,x 0,3,若f(x)有最小值 2,則f(x)的最大值為 【答案】2【解析】二次函數(shù)y f

28、x在x 0,2單調(diào)遞增，當(dāng)x 2,3單調(diào)遞減故在x=0時取得最小值，即 a=2，一一， -2 一 一，-15.已知定義在 R上的函數(shù)f x x 2ax 3在 ,1上是減函數(shù)，當(dāng)x a 1,1時，f x的最大值與最小值之差為 g a ,則g a的最小值為.【答案】1【解析】2 f x在 ,1上是減函數(shù)，a 1 ,即 a 1.3 f x在a 1,1上的最大值為f(a 1) 3a2 4a 4,最小值為f (1) 4 2a,2,、c 2cc11g(a)3a2a3a-一，3 3. g a在(，1上單調(diào)遞減，. g a的最小值為g( 1) 1.故答案為：1.2 .一 一 . 一一 3 八.八516.已知函

29、數(shù)y b ax( a , b是常數(shù)，且a 0, a 1)在區(qū)間 二,0上有ymax 3 , ym 一，222則常數(shù)a的值等于,2【答案】2或3【解析】令u x2 2x，則y b au ,又二次函數(shù)u2x在, 1上單調(diào)遞減,1,0上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0 a 1時,au為減函數(shù)，所以y bx2a-32x在 一，1上單調(diào)2遞增，在 1,0上單調(diào)遞減，故當(dāng)x 1時,2ax 2x取最大值，則b3,最小值為3min b 1,b a 4.5b 1,聯(lián)立 b 1 -,b21時,b au為增函數(shù),所以y2x在2,1上單調(diào)遞減，在1,0上單調(diào)遞增，故當(dāng)x1時,2x取最小值，則max b 1,b

30、 a3“b 1 ,聯(lián)立 b 1 3,b2,所以17.若函數(shù)f3x 1,log3(x 1),x1在（，a上的最大值為2,則實數(shù)a的取值范圍為11,101 ； 10g3(x1) 2 10g3 9,解得 x 10由圖可知，要使得函數(shù) f x在(，a上的最大值為2,則1 a 1018.已知函數(shù)f x的周期為2,當(dāng)x1,1時，函數(shù)f xx a, 1 x 0,1 x若f x有最小值且無-,0 x 1.2最大值，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】1,32【解析】當(dāng) 1 x 0, f(x) x a為增函數(shù)，則 1a f(x) a,1 x1當(dāng) 0 x 1, f(x) 1 為減函數(shù)，- f(x) 1,Q f x有最小值

31、且無最大值,132 ,解得1a,2，3故答案為：1,32一一 一 219.已知函數(shù)f (x) x 2x 2在閉區(qū)間0, m上有最大值2,最小值1,則m的取值范圍為【答案】1,2【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示,當(dāng)x 1時，y最小，最小值是1,當(dāng)x 2時，y 2,函數(shù)f(x) x2 2x 2在閉區(qū)間0, m上上有最大值2,最小值1,則實數(shù)m的取值范圍是1 , 2.故答案為：1,22_(x a) x 0 20. f x ()， ，若f 0是y f x的最小值，則a的取值范圍是.2x a,x 0【答案】0,1【解析】當(dāng)a 0時，顯然f 0不是f x的最小值，.一 .一 一 2當(dāng) a 0時，f

32、 0 a ,由題意得：a2 a,解不等式：0 a 1 ,a的取值范圍是 0,1,故答案為：0,1 . 2 x 1 x 0321.已知函數(shù)f x x 1 ,x 0,若f x在區(qū)間a,a 上既有最大值又有最小值，則實數(shù) 2x, x 02取值范圍是.1【答案】(-,0)2【解析】f (x)的圖象如圖所示f (x)在a,a 3上既有最大值又有最小值,1斛得 一v a< 0, 2故a的取值范圍為1,02故答案為:2，022.已知f(x)=ax22ax+2+b(a>0)在2,3上有最大值5和最小值2,則ab =【答案】0【解析】 函數(shù)f(x) ax2 2ax 2 b的對稱軸是x 1 ,Qa 0

33、函數(shù)f(x)在2,3上是增函數(shù)，根據(jù)題意得4a 4a2b2a1,解得 ，ab 09a 6a2b5b0故答案為：0.一._223.不等式(x 1)(x 4x 3) 0有多種解法，其中有一種萬法如下：在同一直角坐標(biāo)系2中作出yi x 1和y2 x 4x 3的圖像，然后進(jìn)行求解，請類比求解以下問題：設(shè)2a,b Z,若對任意 x 0,都有(ax 2)(x2b) 0,則 a b 【答案】1【解析】 類比圖象法解不等式，在同一坐標(biāo)系中，畫出 y ax 2和y2 x2 2b的圖象，若對任意 x 0 ,都有2(ax 2)( x 2b) 0,則兩個函數(shù)圖象應(yīng)如下圖所不:a 0則b 02.-2baa 1由a,b

34、Z得：，故答案為a b 1.b 224 .已知a R ,函數(shù)f (x)2 3 a a在區(qū)間1,5)上的最大值是4，則a的取值范圍是 .【答案】,2【解析】由題意知，x1，2x31,4,故 2x 3 a 1a, 4a, a 1 時，f (x) |2x3a a2|x31,4,故符合題意；1 a5 時，1a0, 4a 0 且 a1 4a,2 2 3 a 0,4 a,故 f(x)2x 3 a a a,4,故符合題意； | a 4 時，1 a 0,4 a 0,且 a 1 4 a,2|x 3 a 0,1 a,故 f(x) 2x 3 a a a,1,故不符合題意；a 4時，f (x) 2x 3 a a 2a

35、 2|x 3 2 a 4,2a 1,故不符合題意.綜上所述：a的取值范圍是25.已知二次函數(shù) f(x)ax2 (2b 1)x a 2在區(qū)間3,5上至少有一個零點，則a2 b2的最小值為100【解析】Q f(x) ax2 (2b 1)x a 2 0(x2 1)a 2xb (x 2) 0,x 3,521 2所以a b|x 2|2 x 2 2222)()(x2 1)2 4x2 x 1x 2 t1令 t x 2 t 1,3 m & 2)2 i t 4t5因為y t 4 ，在1,J5上單調(diào)遞減，在(J5,3上單調(diào)遞增,所以 y t 4 5 1 4 5 10 a2 b2 ()2 t10100 1故

36、答案為：100226.設(shè)函數(shù) f (x) x 1 ln x(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；1(2)求函數(shù)g(x) f(x) x在區(qū)間一，2上的取小值。2【答案】(1)見解析；(2) 1【解析】1-，2(1)定義域為0, f x 2x ,由f x 0得x注，x2f x的單調(diào)遞減區(qū)間為c 20，T,單調(diào)遞增區(qū)間為2，+21 2x 1 x 1一(2)g' x 2x - 1 ，由 g x 0 得 x 1 ,xx,1 , g x在2,1上單倜遞減，在(1, 2)上單倜遞增, g x的最小值為g 11.2127.設(shè)函數(shù)f(x) x ax -，其中a為實數(shù)x ax a(1)若f(x)的定義域為R,求a

37、的取值范圍；(2)當(dāng)a 1時，求f (x)的最小值【答案】(1) 0 a 4； (2)1【解析】(1) f(x)的定義域為R,ax a 0恒成立,4a0, 0(2)1時,f(x)1""2 x上單調(diào)遞減，在1,上單調(diào)遞增,1,1的最小值為f (x)的最小值為1.28.已知函數(shù)10g2(1)若函數(shù)在區(qū)間2,3內(nèi)有一個零點，求 m的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間1,t上的最大值與最小值之差為2,且f t0,求m的取值范圍【答案】(1)(1,2)； (2)(1)由 log2(x m) 0,1,由 2 x 3得：2 m 1 3,所以m的范圍是(1,2).(2) Q f(x)在1,t(t

38、1)遞增,f(t) f(1) 2,10g2(t m) log 2(1t m 10g2 10g2 4,1 m由 f (t) 0,得 t m 1 t m 14 3m m 1,.一 3解得：m -.429.定義在R上的函數(shù)f X滿足對于任意實數(shù) Xy都有f x y ff y ,且當(dāng)x 0時,f(1) = -2(1)判斷X的奇偶性并證明;(2)判斷X的單調(diào)性，并求當(dāng)3,3 時,f X的最大值及最小值;(3)解關(guān)于,一12X的不等式一f bx22【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析;唯一，見解析(1)x y 0,則 f2f再令(2)為奇函數(shù);(2)任取X1X2 ,則X2X1X1f x2f X1X1f x2由

39、于f (1) = -2,則 f一 f b2xf b b22 .f X在R上是減函數(shù).最大值為即有f 00,則f0.由已知得f X2X2f X1 x2在R上是減函數(shù).2f 14, f 36,最小值為-6；(3)答案不0,X2X10,6, f6 .由f x在R上是減函數(shù)，得到當(dāng)3,3時，f x的最大值為(3)_ , 12不等式一f bx2212 r.-f b x f b ,即為 f 2bx22f x fb2x2f b .bx2f 2xf b2x2f 2b ,即有 f bx 2xf b2x 2b由于在R上是減函數(shù)，則bx2 2x b2x 2b ,即為 bx2b2 2 x 2b 0即有bx2 x b

40、0,當(dāng)b 0時，得解集為 x|x 0 ；,，,2-當(dāng)b 0時，即有x b x -0,b_ ,2.20 b 應(yīng)時,b,此時解集為 x|b x - bb一, 2. 2.當(dāng)b 應(yīng)時，一 b,此時解集為 x|- x b bb，.2-當(dāng)b0時，即有x bx 0,b 一，2 .,2,當(dāng)后b 0時，6 b，此時解集為x|x b或x b-2 2-.當(dāng)b 后時，一 b,此時解集為 x| x 一或x b bb30.已知函數(shù)f(x)3x 3ax 2 ,曲線 yf(x)在x 1處的切線方程為3x y m 0.(I)求實數(shù)a , m的值;(n)求f(x)在區(qū)間1,2上的最值.【答案】(I)最大值為2 ,最小值為2 4

41、J2.( n)最大值為(I) f (x) 3x2 3a,;曲線f (x)x3 3ax 2在x 1處的切線方程為3x y m 0,f 3 3a f(1) 3 3a3 解得a 2, m 0.3 m(n)由(i)知,f (x) x3 6x 2,則 f(x) 3x2 6,令f (x) 0,解得x 面,f (x)在1,J2)上單調(diào)遞減，在(J2,2上單調(diào)遞增,又 f (1) 1 6 23, f(2) 23 6 2 22 , f 衣7236V2 2 2 472 ,f(x)在區(qū)間1,2上的最大值為2 ,最小值為2 4短.31.已知函數(shù)f x3 ax3 bx2，在 x1時有極大值3.(1)求a、b的值;(2)

42、求函數(shù)f1,3上的最值.(1) ab 3;(2)最大值15,最小值f 381.(1) Q3ax9ax2由題意得3a3b 3(2)由(1)知9a6b 06x39x2,18x218x18x x 1 .令f x 0,得x 0或x 1,列表如下:x11,000,111,33f x00f x15極小值0Z極大值381因此，函數(shù)y f x在區(qū)間 1,3上的最大值f 115,最小值f 381.32 .已知函數(shù) f x J1 x2 t , t R .(1)判斷y f x的單調(diào)性，并證明之；(2)若存在實數(shù)a , b a b ,使得函數(shù)f x在區(qū)間a,b上的值域為 a2,b2 ,求實數(shù)t的取值范圍.5【答案】(

43、1)見解析(2)14【解析】(1)由1 x2 0,得1 x 1,所以f x的定義域為1,1 ,f x在區(qū)間 1,0上為增函數(shù)，在區(qū)間 0,1上為減函數(shù),證明如下:設(shè) u 1 X2，則 f x 瓜 t , t R,因u 1 X2在區(qū)間1,0為增函數(shù)，在區(qū)間0,1為減函數(shù)，又y JU為增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的同增異減得f x在區(qū)間 1,0上為增函數(shù)，在區(qū)間0,1上為減函數(shù),（2）由（1）知X為偶函數(shù)，且在區(qū)間1,0上為增函數(shù),若存在在區(qū)間a,b上的值域為a2,b2 ,即2ab2，則方程,1 x2x2，即 x'1 0在區(qū)間1,0上有兩個不同的根,5,必有4因f x為偶函數(shù),則在區(qū)間0,1上存在實數(shù)a ,使得函數(shù)f x在區(qū)間a,b上的值域為2 2a ,b若存在b 1,使得函數(shù)f x在區(qū)間a,b上的值域為則有fb2 , fa a2或 f ba2,若f a a2或f b則 ha t a2或 a/1 b7t a2.即方程x2 x t 11 a 0 b 1,因 x2 x t 115 x 1 t其對稱軸為x241-,故不存在實數(shù)a , b滿足題思,綜上所述：實數(shù)t的取值范圍為 1,54x133 .已知函數(shù)f x （ a, b是非零實常數(shù)）滿足 f 1 一且方程f xx有且僅有一個實數(shù)解ax b2（1）求a,b的值11.，（2）當(dāng)x -,-時，不等式x 1