材料力學(xué)8(24)第八章4-5節(jié)1

1、1 1、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)變形 受力特點(diǎn)及變形特點(diǎn)；受力特點(diǎn)及變形特點(diǎn)； 截面法計(jì)算扭矩（扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定），畫截面法計(jì)算扭矩（扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定），畫 扭矩圖。扭矩圖。 前課回顧前課回顧2、 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：計(jì)算公式：RT220PGIlT ITp 3、剪切胡克定律剪切胡克定律4、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力（公式的推導(dǎo)與應(yīng)用）應(yīng)力（公式的推導(dǎo)與應(yīng)用）55、 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角前課回顧前課回顧G低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45

2、 的的螺旋線斷開。螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。四、斜截面上的應(yīng)力四、斜截面上的應(yīng)力xMTA單元體單元體: 微小的正六面體微小的正六面體在圓桿的表面在圓桿的表面 A點(diǎn)取出一個(gè)點(diǎn)取出一個(gè)單元體單元體 , 單元體單元體 左左, 右右 側(cè)面屬于桿的橫側(cè)面屬于桿的橫截面截面, 頂面和底面屬于桿的徑向截面頂面和底面屬于桿的徑向截面 , 前前, 后面屬于桿的切向平面后面屬于桿的切向平面xMTAdabcdabc 研究于前后面垂直的任意斜截面研究于前后面垂直的任意斜截面 de 上的應(yīng)力上的應(yīng)力dabc dabce dce 假設(shè)假設(shè) de 的面積為的面積為 dAdc 的

3、面積為的面積為 dAcos ce 的面積為的面積為 dAsin dabc nxedcetnx 0cos)sin(sin)cos(dAdAdA0sin)sin(cos)cos(dAdAdA 0t 0n)cos( dA)sin( dA dA dA edCtnebetnx 2sin2cos斜截面上應(yīng)力的計(jì)算公式斜截面上應(yīng)力的計(jì)算公式dCe dabc nxentx2sin2cos0450 450max 450minabcdxnfe在在 = - 450 和和 = + 450 的兩斜截面上正應(yīng)力分別為的兩斜截面上正應(yīng)力分別為 中的中的最大值和最小值，它們的絕對(duì)值都等于最大值和最小值，它們的絕對(duì)值都等于 ，

4、但一個(gè)為拉應(yīng)力，但一個(gè)為拉應(yīng)力，一個(gè)為壓應(yīng)力。且在這兩截面上切應(yīng)力等于零。一個(gè)為壓應(yīng)力。且在這兩截面上切應(yīng)力等于零。以上結(jié)論是以上結(jié)論是純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)，并不限于等直圓桿的特點(diǎn)，并不限于等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)這一特殊情況。扭轉(zhuǎn)時(shí)這一特殊情況。 45結(jié)論：結(jié)論： 如果材料的如果材料的抗剪切能力差抗剪切能力差，構(gòu)件就，構(gòu)件就沿橫截面發(fā)生破壞沿橫截面發(fā)生破壞（塑性材料）；（塑性材料）； 如果材料的如果材料的抗拉壓能力差抗拉壓能力差，構(gòu)件就，構(gòu)件就沿沿45450 0斜截面發(fā)生破壞斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。（脆性材料）。84 強(qiáng)度條件和剛度條件強(qiáng)度條件和剛度條件一、強(qiáng)度條件一、強(qiáng)度條件對(duì)于等

5、截面桿，切應(yīng)力最大的點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）在扭矩最大的橫截對(duì)于等截面桿，切應(yīng)力最大的點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）在扭矩最大的橫截面的邊緣處。面的邊緣處。強(qiáng)度條件為危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力，即桿中最大的工作應(yīng)力不超過(guò)強(qiáng)度條件為危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力，即桿中最大的工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力。材料的許用應(yīng)力。max對(duì)于等截面桿強(qiáng)度條件為對(duì)于等截面桿強(qiáng)度條件為maxWTPmaxWTP強(qiáng)度條件可以解決三方面的問(wèn)題強(qiáng)度條件可以解決三方面的問(wèn)題強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核選擇截面選擇截面計(jì)算許可荷載計(jì)算許可荷載二、剛度條件二、剛度條件剛度要求扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)變化率剛度要求扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)變化率 （ = d /dx )的最大值的最大值 max 不不超過(guò)某一規(guī)定的許用值超

6、過(guò)某一規(guī)定的許用值 。剛度條件為剛度條件為)/(1800maxmaxmGITP例題例題：一實(shí)心圓截面?zhèn)鲃?dòng)軸，其直徑：一實(shí)心圓截面?zhèn)鲃?dòng)軸，其直徑 d = 40 mm ，所傳遞的功率，所傳遞的功率為為30KW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為 n = 1400r/min，該軸由，該軸由 45 號(hào)鋼制成，許用切號(hào)鋼制成，許用切應(yīng)力應(yīng)力 = 40 MPa，切變模量切變模量 G = 8 104MPa，單位長(zhǎng)度軸的許單位長(zhǎng)度軸的許用扭轉(zhuǎn)角用扭轉(zhuǎn)角 = 2（0 /m）。試校核軸的強(qiáng)度）。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。和剛度。解：先計(jì)算扭轉(zhuǎn)力偶矩解：先計(jì)算扭轉(zhuǎn)力偶矩./min9.55204. kWkN mrN mPMnmNMT.204

7、3 .16163maxMPadTWTPmNMT.204 004maxp1801800.58m 2/dGI32TTmG此軸對(duì)強(qiáng)度條件和剛度條件均滿足。此軸對(duì)強(qiáng)度條件和剛度條件均滿足。例題例題：一傳動(dòng)軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速：一傳動(dòng)軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速 n = 300r/min ，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪 A 輸入輸入的功率為的功率為P1 = 500 kW 。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，三個(gè)從動(dòng)輪三個(gè)從動(dòng)輪 B， C， D 輸出的功率分別為輸出的功率分別為 P2 = P3 = 150 kW， P4 = 200 kW。該軸是用。該軸是用 45 號(hào)鋼制成的空心圓截面桿，其內(nèi)外號(hào)鋼制成的空心圓截面

8、桿，其內(nèi)外徑之比徑之比 = ，材料的許用切應(yīng)力，材料的許用切應(yīng)力 = 40 MPa ，切變模量，切變模量G = 8 104 MPa ， 單位長(zhǎng)度桿的許用扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度桿的許用扭轉(zhuǎn)角 = 0.3(0)/m，試作軸的扭試作軸的扭矩圖，并按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。矩圖，并按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。ABCDnP1P2P3P4ABCDnP1P2P3P4解：計(jì)算軸上的外力偶矩解：計(jì)算軸上的外力偶矩mkNnPM.9 .1555. 911kN.m.MM78432mKNM.37. 64BM2ABCDM2M3M1M411T1在在 BC 段內(nèi)，假設(shè)段內(nèi)，假設(shè) T1 為正值為正值mKN.MT78421

9、結(jié)果為負(fù)號(hào)，說(shuō)明結(jié)果為負(fù)號(hào)，說(shuō)明 T1 應(yīng)是負(fù)值扭矩應(yīng)是負(fù)值扭矩一、畫扭矩圖一、畫扭矩圖BCM2M3CA 段：假設(shè)段：假設(shè) T2 為正值。為正值。(-)0, 0232TMMMxmKNT.56. 92 ABCDM2M3M1M422T2ABCDM2M3M1M433T3M4D在在 AD 段內(nèi)段內(nèi)mKN.MT37643mKNT 56. 9max+4.789.566.37最大扭矩在最大扭矩在 CA段內(nèi)。段內(nèi)。ABCDM2M3M1M4mKN.T 3763mKN.T 7841mKNT.56. 92 單位：?jiǎn)挝唬篕N.mmKNT 56. 9max二、分別按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑二、分別按強(qiáng)度條件和剛度

10、條件選擇軸的直徑)1 (1643maxmaxmaxDTWTPmmD109180)1 (3218044maxmaxmaxDGTGITPmmD126空心圓外徑應(yīng)取空心圓外徑應(yīng)取 D = 126mm，或更大。，或更大。而內(nèi)徑而內(nèi)徑 d=D/2=63mm，或略小。，或略小。在此例中，控制截面尺寸的是剛度條件。在此例中，控制截面尺寸的是剛度條件。 例題例題: 圖（圖（a）所示階梯圓軸，）所示階梯圓軸，AB段的直徑段的直徑d1 =120 mm ，BC段的直徑段的直徑 d2 = 100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為。扭轉(zhuǎn)力偶矩為 mA = 22 kN. m， mB = 36 kN. m ， mC =14 kN. m

11、。已知材料的許用切應(yīng)力。已知材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa，試，試校核該軸的強(qiáng)度。校核該軸的強(qiáng)度。解解：作軸的扭矩圖（圖作軸的扭矩圖（圖b)+2214(b)單位：?jiǎn)挝唬篕N. m 雖然雖然 T1 T2 ，但是，但是d1 d2 ， 因此要分別校核該兩段軸的強(qiáng)度。因此要分別校核該兩段軸的強(qiáng)度。maxpmax TWABC(a)mAmBmC3111max331p122 1064.84 (0.12 )1616TTMPadW3222max332p214 1071.3 (0.1 )1616TTMPadW因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。+2214(b)單位：?jiǎn)挝唬篕N. mABC(a)mAm

12、BmC 例題例題 ： 實(shí)心圓軸和空心圓軸（圖實(shí)心圓軸和空心圓軸（圖a、b）材料、扭轉(zhuǎn)力）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩偶矩 m 和長(zhǎng)度和長(zhǎng)度 l 均相等，最大切應(yīng)力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外均相等，最大切應(yīng)力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為徑之比為 = 0.8 ，試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比，試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比及兩軸的重量比。解：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為解：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為 d1，空，空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為心圓截面的內(nèi)、外徑分別為 d2、D2 ; 又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為的扭矩也相等，設(shè)為 T 。l(a)d1l(b)D2

13、d22max1max由已知由已知p1p 2WW所以：所以：m ax 1m ax 2p1p 2,TTWW31p1342p216(1)16dWDW16)1(1643231Dd因此因此194. 18 . 0113412dD解得解得l(a)d1l(b)D2d2兩軸材料、長(zhǎng)度均相等，故兩軸的重量比等于兩軸的橫兩軸材料、長(zhǎng)度均相等，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比。截面積之比。512. 0)8 . 01 (194. 1)1 (4)(422212222122221212dDddDAAWW 說(shuō)明：說(shuō)明： 在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕，在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕，即節(jié)省材料

14、。即節(jié)省材料。MM由實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng)外力偶由實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng)外力偶 M 在某一范圍內(nèi)時(shí)，在某一范圍內(nèi)時(shí)， 與與 M（在數(shù)（在數(shù)值上等于值上等于 T ）成正比。）成正比。 oT85 等圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能MM o TMWVe2121GITlP GIlTP22 由功能原理：由功能原理：V = W MGIlTVP22 GIlTVP22 GITlP22lGIVP總結(jié)總結(jié)1. 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件： 2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件： 強(qiáng)（剛）度條件可以解決三方面的問(wèn)題：強(qiáng)（剛）度條件可以解決三方面的問(wèn)題：強(qiáng)（剛）度校核、選擇截面、計(jì)算許可荷載。強(qiáng)（剛）度校核、選擇截面、計(jì)算許可荷載。3. 等直