【贏在課堂】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題配套訓(xùn)練 理 新人教A版

1、第3講簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)鞏固1.(2012浙江高三調(diào)研測(cè)試)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則x+y的最小值是()A.B.3C.4D.6【答案】B【解析】題中的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示,令z=x+y,則y=-x+z,平移直線y=-x,易得當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)(該點(diǎn)是直線x+2y-4=0與2x-y-3=0的交點(diǎn))時(shí),z取得最小值,最小值是2+1=3,因此選B.2.已知x,y滿足則使目標(biāo)函數(shù)z=4x+y-10取得最小值的最優(yōu)解有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)多個(gè)【答案】D【解析】畫出可行域如圖,作直線l0:4x+y=0.由z=4x+y-10得y=-4x+z+10,所以求z

2、的最小值,即求直線y=-4x+z+10在y軸上截距的最小值,因?yàn)閷0向右上方平移到與4x+y-4=0重合時(shí)z最小,故最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),故選D.3.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()【答案】C【解析】(x-2y+1)(x+y-3)0結(jié)合圖形可知選C.4.(2013屆安徽阜陽月考)P(2,t)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則點(diǎn)P(2,t)到直線3x+4y+10=0距離的最大值為()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】如圖所示,結(jié)合圖形可知點(diǎn)A(2,1)到已知直線的距離最大,則最大值為=4.5.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面

3、積相等的兩部分,則k的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意作出線性約束條件的可行域如下圖,由圖可知可行域?yàn)锳BC的邊界及內(nèi)部,y=kx+恰過點(diǎn)A,y=kx+將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分,故過BC的中點(diǎn)D,即=k,k=.6.滿足條件的可行域中共有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】畫出可行域,由可行域知有4個(gè)整點(diǎn),分別是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).7.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上,點(diǎn)Q在曲線x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值為()A.-1B.-1C.2-1D.-1【答案】A【解析】由圖可知不等式組確定的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?包括邊界),

4、點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離的最小值為點(diǎn)(-1,0)到點(diǎn)(0,-2)的距離減去圓的半徑1,由圖可知|PQ|min=-1=-1.8.若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為.【答案】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,直線x+y=a掃過的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛OBC.S四邊形AOBC=SAOD-SCBD=22-.9.(2012湖北卷,14)若變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值是.【答案】2【解析】作出可行域如圖所示,由l0:y=-x平移知過點(diǎn)A(1,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取到最小值,代入可得z=2.10.不等式組所確定的平面區(qū)

5、域記為D.點(diǎn)(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn),若圓O:x2+y2=r2上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D內(nèi),則圓O的面積的最大值是.【答案】【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其中離原點(diǎn)最近的距離為,故r的最大值為,所以圓O的面積的最大值是.11.由約束條件所確定的平面區(qū)域的面積S=f(t),試求f(t)的表達(dá)式.【解】由約束條件所確定的平面區(qū)域是五邊形ABCEP,如圖中陰影部分所示,其面積S=f(t)=SOPD-SAOB-SECD,而SOPD=12=1,SOAB=t2,SECD=(1-t)2,所以S=f(t)=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.12.變量x,y滿足(1)設(shè)z=,求z的最小值

6、;(2)設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍.【解】由約束條件作出(x,y)的可行域如圖所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)z=,z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率.觀察圖形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.故2z29.13.若x,y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)z=x-y+的最值;(2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍.【解】(1)可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直線

7、x-y=0,過點(diǎn)A(3,4)時(shí),z取最小值-2,過點(diǎn)C(1,0)時(shí),z取最大值1.故z的最大值為1,最小值為-2.(2)直線ax+2y=z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1-2,即-4a2.拓展延伸14.(2012山東泰安模擬)某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐?【解】方法一:設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位,所花的費(fèi)用為z元,則依題意得z=2.5x+4y,且x,y滿足z在可行域的四個(gè)頂點(diǎn)A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)處的值分別是zA=2.59+40=22.5,zB=2.54+43=22,zC=2.52+45=25,zD=2.50+48=32.比較可知,zB最小,因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐,就可滿足要求.方法二:設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單