材料力學(xué)題目及答案

1、第3章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析3-1桁架結(jié)構(gòu)受力如圖示，其上所有桿的橫截面均為20mm<50mml勺矩形。試求桿 C序/f DE1截面上的正應(yīng)力。解：圖（a）中，cos日=4 "5(1)習(xí)題3-1(a)截面法受力圖(a)£M D H , Fce X4 _(15 +5) M3 =0(2)FcE=15kNZFx 4，F(xiàn)DE cos -40(3)(1)代入(3),得 F)E=50kN：CE3Fce15 103=15 MPa-_-DEA 0.02 0.05F de二50 MPaA3-2圖示直桿在上半部兩側(cè)面受有平行于桿軸線的均勻分布載荷，其集度桿的橫截面面積 A=2.0

2、x 10-4mi, l =4mi試求：1 . A B、E截面上的正應(yīng)力；2 .桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力，并指明其作用位置。 解：由已知，用截面法求得習(xí)題3-2p=10kN/m,在自由端D處作用有集中呼 Fp=20kNlo已知 I(a)FNA=40kNF電=20kNFrE=30kNF NA340 1034 =200 MPa2.0 10 一Fn b_ _二100 MPa AFN T50 MPa A（2） 5ax =6 =200 MPa（A截面）33圖示銅芯與鋁殼組成的復(fù)合材料桿，軸向拉伸載荷Fp通過兩端的剛性板加在桿上。試:1 .寫出桿橫截面上的正應(yīng)力與Fp、d、D Ec、Ea的關(guān)系式；2 .若已

3、知d=25mm D=60mm銅和鋁的單性模量分別為E=105GPa和E=70GPq Fp=171kN°試求銅芯與鋁殼橫截面上的正應(yīng)力。解：1.變形諧調(diào):FncFNa習(xí)題3-3圖EcAcEaAaFnc FNa =Fp(1)(2)GCFncEcFpEcFp2.AcEcAcEaAa2一冗d冗22EcEa - (D2-d2)44FNaAa無 d 2Ec 4EaFp_ 22+Ea 辿q44 105 109 171 103105 M109 M無 X0.0252 +70 M109 父無父(0.062 -0.025)2=83.5 MPaEa70二a -；-c 土 =83.5 =55.6 MPaEc1

4、053 4圖示由鋁板鋼板組成的復(fù)合材料柱，縱向截荷Fp通過剛性平板沿著柱的中心線施加在其上。試：1 .導(dǎo)出復(fù)合材料柱橫截面上正應(yīng)力與R、E、b1、h和E、Es之間的關(guān)系式；2 .已知Fp=385kN; Ea=70GPa Es=200GPa b°=30mm b=20mm h=50mm求鋁板與鋼板橫截面上的最大正應(yīng)力。解：變形諧調(diào):FnsFNa習(xí)題3-4圖EsAsEaAaFns . FNa =Fp(1)(2)-FnsEsFpEsFp2.As -Esb0h Ea 2bh -b0hEs 2b1hEa一200 09 385 103-S =9，.,99 Q0.03 0.05 200 1092 0

5、.02 0.05 70 109=75 MPa(壓)75EaEs-17520_ = £1.25 MPa(壓)20035從圓木中鋸成的矩形截面梁，受力及尺寸如圖所示。試求下列兩種情形下h與b的比值:1 .橫截面上的最大正應(yīng)力盡可能?。? .曲率半徑盡可能大。Mz _ MzWT二帝6M z22b(d -b )習(xí)題3-5圖-=J2 （正應(yīng)力盡可能?。?b2.。業(yè):zEIz圾=0 ,得h2 dh-=V3 （曲率半徑盡可能大）b .36梁的截面形狀為正方形去掉上、下角，如圖所示。梁在兩端力偶M作用下發(fā)生彎曲。設(shè)正方形截面時，梁內(nèi)最大正應(yīng)力為 仃0去掉上、下角后，最大正應(yīng)力變?yōu)镼-max =ko0

6、 ,試求:1. k值與h值之間的關(guān)系;2. .ax為盡可能小的h值，以及這種情形下的 k值。解：Izh° =, Wzo =蛆0303h3§3.max3h0h0仃。h2(4h0 -h)3h2(4h0 -h)h (4h0 -3h)33(1) "% 'l t " '.88h(-h0 -3h)=0, h=0 (舍去)，h =-h039代入（1）:h3_1_81 3,8.98. x =/8、2/ 8、=64 (12 -8)(h0) (4h0 -3，,一h0)( ) (4 一 )999337工字形截面鋼梁，已知梁橫截面上只承受M=20kN m 一個內(nèi)

7、力分量,軸以上部分分布力系沿 x方向的合力。1 I解：Fnx =_At5xdA = 誓 ydA+萼 ydAoA1 Iz'A2 I z習(xí)題3-6圖,.1Iz=11.3 x 106mm,其他尺寸如圖所示。試求橫截面中性習(xí)題3-7圖一 一 3一=43 103 - -143kN即上半部分布力系合力大小為143kN （壓力），作用位置離中心軸 y=70mnb,即位于腹板與翼緣交界處。3 8圖示矩形截面（b-h）直梁，在彎矩 M作用的Oxy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，且靠吸8弓圈生范圍，假定在梁的縱截面上有y方向正應(yīng)力5存在，且沿梁長均勻分布。試：加1 -導(dǎo)出CTy =Cy（y）的表達(dá)式；2 .證明：弓m

8、ax -CTxmax , P為中性面的曲率半徑4 :解：1 .先求CTy（y）表達(dá)式：二y(a)4-22“ Fy = 2r：y 1 Py d ; cos" -2 Ih Cxsin - 1 dy =01 T2y M z 3 C , _ M z即 25 Pysin 戈 Lhysin dy =0 , (5=-y)2 - Iz 2Iz即 2Cy ；sin- -2Msin- 1(y2 -止)=0y y 2 I72 24(a)2.由（a）式，令吧y=0,得y=0,則 dy，y,max2_h2Mz-h8：yIz "4：；Mz匚_h M z-h(b)h239圖示鋼管和鋁管牢固地粘成復(fù)合材料

9、管，在兩端力偶M作用下發(fā)生平面彎曲，試:1 .導(dǎo)出管橫截面上正應(yīng)力與M、D、D、D3和鋼的E、鋁的E之間的關(guān)系式；2,已知 D=20mm D=36mm D3=44mm M=800N m Es=210GPa E=70GPa求鋼管和鋁和鋁管橫截面上的最大正應(yīng)力<5"max。解：靜力平衡：M a Ms =M z變形諧調(diào)：禽=R得習(xí)題3-9圖(1)Ma MsEaIaEsIs(2)Ia44MD4 -D24) I， I s6444HD； D14)64(3)由(2) MaEaIaEsIMs(4)代入（1）,得0 +,sEaIa)Ms =Mz EsIsMs2.EsIsMzEsIsEaIa_Ea

10、Ia"EsIsEaI-M s= Is y =MzaEsMzEsIsEaIa(5)(6)64EsMzy-MaIaEaMzy - %Es(D2 -D14) +Ea(D34 -D4)64EaMzy:-smax-y -4444,EsIs+EaIa無Es(D2 -Di ) +Ea(Da -D2)64 210 800 18 10 a444412 =133 MPa無210 (364 204) 70 (444 364) 102/ D2 , ,D3、( y )2264 70 800 22 10一.口4444” =54.1MPa 4210 (36 -20 ) 70 (44 -36 ) 10M作用，如圖所

11、示。已知塑料受拉和受“斗靶璃i量分別為 HEt和EC,且已知Ec=2Et；3-10由塑料制成的直梁，在橫截面上只有IM=600NI - ml 試求：1 .梁內(nèi)最大拉、壓正應(yīng)力；2 .中性軸的位置。解：根據(jù)平面假設(shè)，應(yīng)變沿截面高度作直線變化Ec=2E ,;二二E ;:。沿截面高度直線的斜率不同：中性軸不過截面形心。1 .確定中性軸位置。設(shè)拉壓區(qū)高度分別為h、hc即；：cmax .二% t maxhc1 _- c max2h -hchcr-1b j tmax ht b =02cmax、-t maxhcEc tcmaxEt '"max2七 maxmax=2W ht(1)(2)(a)

12、h -hc 2hc由(1)、(2),得=，hc ht-2憶即(h -hc)2 =2hc2 h -hc.hc =(，.2 7)h =41.4mm.ht =(22)h =58.6mm（中性軸的位置）ht2. Mz =f yOtdA+ f yacdA = f yEt 專 dA + yEcEcdA =| yEt StdA + f y 2Et 心dA 麻%-AtaAt其中 1t 21c =電 2 返=bh-(64、.2) 333MzP Et(It2Ic)Ec；_ cmax hc =Ec M zEt It 2Ich 2Mz 人hc =-hc1121c2 600 41.4 10 -350 1003=8.69

13、 MPa(壓)C-t max-12(6 -4.2) 10一EthtMzIt 21c600 (2 .2) 100 10工-T350 100312310 - (6 -4. 2)=6,5 Mpa (拉)習(xí)題3-11圖311試求圖a、b中所示的二桿橫截面上最大正應(yīng)力的比值。解：(a)為拉彎組合(b)為單向拉伸_4:b33-12橋墩受力如圖所示，試確定下列載荷作用下圖示截面1 .在點1、2、3處均有40kN的壓縮載荷；2 .僅在1、2兩點處各承受40kN的壓縮載荷；3 .僅在點1或點3處承受40kN的壓縮載荷。ABCh A B兩點的獺叨2圖解：FNx40 103A - 200 75 10-=2.67 M

14、paMz w"40 103 0.125 -40MPa75 1002 106一；B3FnxA33 40 1038 MPa200 752.2FnxA3 125380 103125-2 40 10222 = -15.3 MPa200 7575 20023.在點1加載:-Fnx M zA - W33一40 1040 10125200 75275 2002二2.67MPa-FnxMzAW63 3由對稱性，得在3點加載：0A-7.33 MPq c-B =12.67 MPa313圖示側(cè)面開有空洞的正方形截面管，管壁厚6=5mm管在兩端承受軸向載荷Fpo已知開孔處截面的形心為C形心主慣性矩I z =

15、0.177 父10 上前，F(xiàn)p=25kN。試求：1 .開孔處橫截面上點 F處的正應(yīng)力；2 .最大正應(yīng)力。解：FNx - FP =25 kNMz =Fp (25-18.57) 10a=160752 mA =(50 5 2 40 5) 10* =700 10 3習(xí)題3-13圖FNL18.57 103 - -18.85 MPaA Iz=64.26 MPa(在y正向最大位置)3-14圖示矩形截面桿在自由端承受位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的縱向載荷1 .橫截面上點 A的正應(yīng)力取最小值時的截面高度h;2 .在上述h值下點A的正應(yīng)力值。F m FFp (T -d)解：；：,A F 業(yè)=2AWz40h40h2Fp,已知F

16、P=60kNo試求:習(xí)題3-14圖-40 10340 103 125Fp ,2h _3d= 20(-h2-(1)1 .令團(tuán)=0 , 小;h=3d=75mm2 .由(1)、(2)6hd _2h2 _0h4一式得：(2)360 103 2 75 -3 25；a =(2) =40 MPa207523-15圖中所示為承受縱向載荷的人骨受力簡圖，假定實心骨骼為圓截面。試:1 .確定截面B B上的應(yīng)力分布；B- B上的應(yīng)力2 .假定骨骼中心部分(其直徑為骨骼外徑的一半)由海綿狀骨質(zhì)所組成，且忽略海綿狀承受應(yīng)力的能力，確定截面 分布；3 .確定1、2兩種情況下，骨骼在截面B- B上最大壓應(yīng)力之比。(a)(b

17、)(c)(d)習(xí)題3-15圖i.，N1Fnx =445 10： -g.795MPaA O 無 M26.72M 'M maxMzWz14b445 61 10 ' =14.526 MPa37 一 10 932=14.526 .0.795 =13.73 MPaCmax =14.526 -0.795 =5.32 MPa沿y方向應(yīng)力分布如圖(c)所示，中性軸為Zc。445 106-4 445 106226.7 2 21武26.72 _(-2-)2無父26.72(1 -)44= -0.7951.06 MPa3Wz2Wz1(116=14.52615.494 MPa4)15二max =15.4

18、94 -1.06 =14.43Mpan二max - -15.494 -1.06 - -16.55 MPazc為中性軸，沿y軸應(yīng)力分布如圖(d)o二2 一 16.551 一 15.32,3. =1.08 ,或 =0.92615.32；為- 16.55316正方形截面桿一端固定，另一端自由，中間部分開有切槽。桿自由端受有平行于桿軸線的縱向力若已知Fp=1kN,桿各部分尺寸示于圖中。試求桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力，并指出其作用位置。解:WyWzA =5 10 1065 102 10 a6_2旦旦1066 2=50 10 m=工/106m1224 103(a)習(xí)題3-16圖F<=1kNM y =1

19、000 5 10 & =5N m3M z =1000 2.5 10=2.5 2 m1000+2.5501 L、1224 J黑106 =140 MPa最大正應(yīng)力作用位置位于中間開有切槽的橫截面的左上角點A如圖(a)所示。317鋼制立柱上承受縱向載荷Fp如圖所示?，F(xiàn)在 A B D三處測得x方向的正應(yīng)變 &(A)=-300M10上私(B) =-900X10 ,；x(D) =T00 10'。若已知鋼的彈性模量 E=200GPa試求:1 .力F的大?。? .加力點在Oyz坐標(biāo)中的坐標(biāo)值。習(xí)題3-17圖解:WzWyA =100 60 10 - =6 10-m一 260 ：10096

20、 3= 10 一 =100 10 - m6_ 2100 60 -96 3=10 - =60 10 - mFnx MzMy_Fp Fpy -FpZ 6=(p_) 106600010060(1)=(-FpFpy-FpZ6000 10060-FpFPyFpZ6)10(2)CT=E ;(4)由(1)、(4),( +p-z +-hyp-y =0ypzp ) 106 Fp =200 109(J300 10 -)6000 100 60-即(6000yp一即)Fp _ £060(5)100由(2)、(4),(_ry _ZP)Fp="1806000 10060(6)由(3)、(4),(1 y

21、P zP )Fp *6000 100 60(7)解(5)、(6)、：zP =0.02m =20mm(3)=(:D6000yp - -0.025m=-25 mm10060)106習(xí)題3-18圖Fp=240kN318矩形截面柱受力如圖所示，試證明：1.當(dāng)鉛垂力Fp作用在下面方程所描述的直線上的任意點時，點A的正應(yīng)力等于(a)零：zP yp 二1 b h662.為了使橫截面的所有點上都不產(chǎn)生拉應(yīng)力，其作用點必須位于由類似上述方程所描述的直線圍成的區(qū)域內(nèi)（圖中虛直線圍成的區(qū)域）。解：1.寫出K點壓彎組合變形下的正應(yīng)力（圖a)。Fphb彳zp yp1b2 z h2 y(1)(b)<1212，將A（

22、，_b）代入（1）式，并使正應(yīng)力為零，得FP所作用的直線方程22整理得：zp - yp -1 b h1）式等于零，得截面的中性軸方程（圖b):662.若FP作用點確定，令(1212(2)(c)y0t中性軸n n的截距:Z0t6yph(3)6zp說明中性軸nn,與力Fp作用點位于形心C的異側(cè)，說明nn劃分為Fp作用下b)。(4)的區(qū)域為壓應(yīng)力區(qū)，另一區(qū)域是拉應(yīng)力區(qū)（見圖如果將（2）改寫為_'zP +±yP =b2h21212并且把中心軸上一點（y,z）固定，即中性軸可繞該點順時針轉(zhuǎn)動（從11轉(zhuǎn)到2 2）由（4）式，F(xiàn)p作用必沿直線移動。由（3）式，2 2直線的截距值大于1 1直

23、 線的。所以，當(dāng)中性軸 11順時針轉(zhuǎn)向中性軸 2 2時，F(xiàn)p作用點Fpi、Fp2沿直(d)線，并繞形心也順時針轉(zhuǎn)向。如果中性軸繞 A點從1 1順時針轉(zhuǎn)動至3 3 （中性軸始終在截面外周旋轉(zhuǎn)），則截面內(nèi)就不產(chǎn)生拉應(yīng)力，將A坐標(biāo)代入（4）式：zP+yP=1 ,即Fp沿該直線移動。從FpFp- Fp3,反b h66之鉛垂力Fp從Fp1-Fp2-Fp3直線移動，截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，同理過B、F、D分別找另三條Fp移動的直線。這四條直線所圍區(qū)域為截面核心。拉應(yīng)力。3-19矩形截面懸臂梁受力如圖所示，其中力鉛垂壓力在截面核心內(nèi)作用,Fp的作用線通過截面形心。試:則橫截面上不會有1 .已知Fp、th h、l和

24、P ,求圖中虛線所示截面上點 a的正應(yīng)力;2 .求使點a處正應(yīng)力為零時的角度 P值。習(xí)題3-19圖解：M y =FP|sin P , Wy =hb2"I"M z =FPl cos令 <ia =0 貝1J tan P = , p=tan，b-hh320矩形截面柱受力如圖所示。試：1 .已知p=5 ,求圖示橫截面上 a、b、c三點的正應(yīng)力。2 .求使橫截面上點 解：Fm -Fpcos|： M y(b) =2M y(a),b正應(yīng)力為零時的角度 B值。習(xí)題3-20圖Fnx MyM y(c) =3M y(a)Fp cos | ：,0.04Fp sin I；AWy0.1 0.04

25、_ _ 20.1 0.0426=7.10 MPaFNx 2M y(a)60 103；cFNxAWy3M y(a)0.004(cos5'-12sin5 ) =-0.745MPa2.tanWy=-8.59 MPa=FNL(cos p)2sin B 0 A1-k P=4.76 12習(xí)題3-21圖3-21交通信號燈柱上受力如圖所示。燈柱為管形截面，其外徑D=200mm內(nèi)徑 d=180mm解:FNyMz若已知截面A以上燈柱的重為4kNo試求橫截面上點 H和K處的正應(yīng)力。3.25.。tan 0=，0=22.627.8= -(400 900 1950cos R =-6700 N=1950sini (

26、7.8 -0.6) -900 2.1 =3510 2 mThFnxA-6700FNyA=-1.12 MPa22一(0.22 -0.182)4M z3510z = -1.12 =11.87 MPaWz 0.23(1 -0.94)32習(xí)題3-22圖a、b、c、d四點處322No.25a普通熱軋工字鋼制成的立柱受力如圖所示。試求圖示橫截面上 的正應(yīng)力。解:WzWyA =48.5 106. 3=401.88 10 m63=48.283 10 mFnxMyMz-100kN=100 103 0.125 25 103 0.5 =25 103N - m33=(8 2) 103 0.6 =9.6 103 N|.

27、 mWz=62.6 MPa(a)My =199 MPaWy 一=N0.6MPaAFnxM z 二41.6MPaAWzFnx Mz M y二240MPaA Wz WyFnx _MzMyAWzWy=116Mpa323承受集度為q=2.0kN/m均布載荷的木制簡支梁，其截面為直徑 的半圓形。梁斜置如圖所示。試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。習(xí)題3-23圖 d=160mm解：qy =qcos20 °, qz -qsin 20 s, yc_2d3兀(a)1M ymax q sin 20 =342 N - m y 2Iz_1一26421 7tM1604 X10 4“c 八”c 6 416.1 1

28、0 _ m644,21 無d無d2d2 6 4二 一(一)2 =4.4956 10-m2 64839402 0.16342 八 ”、,c 666 0.08) 104.4956 103 無 16.1 10=8.80 MPa （左下角A點）最大壓應(yīng)力點應(yīng)在 CDB間，設(shè)為；：.-CTMzmax(RsinO(yc)Mymax Rc0S0(| n-c(1)zmaxI y 940 X16.1 X10-6 _9 834IzM y max4.4956 10 "6 342(b)(c)yCCt =84.19 n代回(1)式,940(80sin 84.192 160:-max4.4956 10 63)

29、10342 80cos84.19 10J16.1 10X106 =-9.71MPa3-24簡支梁的橫截面尺寸及梁的受力均如圖所示。試求解:M n _n =30 kN - mJN-N截面上a、th c三點的正應(yīng)力及最大拉應(yīng)力。習(xí)題3-24圖330 10333.725 10 與3000033.725 10 630 10333.725 10 上0.05538 =49.3 MPa(壓應(yīng)力)3(180 65.38 80) 10=30.8MPa (拉應(yīng)力)3(180 -65.38 Y0) 10=66.4 MPa (拉應(yīng)力)30 1033_二max -；d =6 （180 -65.38） 10 =102 MPa （拉應(yīng)力）33.725 103- 25根據(jù)桿件橫截面正應(yīng)力分析過程，中性軸