湖南省師范大學附屬中學2019_2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試題理

1、湖南師大附中2019-2020學年度高二第一學期期末考試數(shù)學(理科)時量：120分鐘 滿分：150分得分：一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 只有一項是符合題目要求的.5分，共60分，在每小題給出的四個選項中,1.復數(shù)3+iiTiA. 1 + 2i B . 1- 2i C . 2+i D . 2- i2.已知全集 U= R,函數(shù)y=ln(1 x)的定義域為 M 集合N= x|x2 x<0,則下列結(jié)論 正確的是A. Mn N= N B . Mn ( ?uN)=C. MU N= U D . M (?uN)一一1 一一3.已知命題 p：aC R,且 a>0, a+a>2,命題

2、q：xoCR, sin xq+cos x0=3,則下列判斷正確的是A. p是假命題 B . q是真命題C. p A (稅q)是真命題 D .(稅p) A q是真命題4.已知等差數(shù)列an的公差為2,若a1, a3, a4成等比數(shù)列，則an的前10項和為A. 10 B.8 C . 6 D.85 .已知函數(shù)f (x) = ex+W(aC R),若f(x)為奇函數(shù)，則曲線 y = f(x)在x=0處的切線 e方程為A. y=2x B . y= x C . y= 2x D . y= x6 .已知四邊形 ABCO平行四邊形，點 E為邊CD勺中點，則BE=A.1SB-XD B . _2超 KDc. Xb+

3、1XD d. Xb- 1AD2227.某廣品的銷售收入 y1(萬兀)是廣品x(千臺)的函數(shù)，y1=17x；生廠總成本y2(萬兀) 也是x的函數(shù)，y2= 2x3-x2(x>0),為使利潤最大，應生產(chǎn)A. 9千臺B . 8千臺C . 6千臺D . 3千臺1 . 一8 .正方體 ABCD ABGD的棱長為a,點M在AC上且AM= 2MC N為BB的中點，則| MNA.153 a21615Va B. Ta C. Va D.9 .已知直線l1： x=-1, I2： x- y+1 = 0,點P為拋物線y2=4x上的任意一點，則 P 到直線l1, I 2的距離之和的最小值為A. 2 B./ C . 1

4、 D.當2x, xW0,10 .已知f (x) =g(x) =f(x)+x+m若g(x)存在兩個零點，則 m的取值log 2x, x>0,范圍是A. -1, +oo)B. 1,0) C . 0 , +oo)D. 1 , +oo)11.在平面直角坐標系2xxOy中，F(xiàn)i、F2分別為雙曲線 ay 言=1(2>0,b>0)的左、右焦點,P是雙曲線左支上一點，M是PF的中點，且OML PF, 2|PF|=|PE|,則雙曲線的離心率為A.小B . 2 C.陋D.卡12 .已知函數(shù) f(x)=a+xln x, g(x) = x3+x2+5.若對任意的 xi, X2C2 ,都有X2f (x

5、i) -g(x2)<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是A. ( 8, 2- 41n 2 B , (一, 1 1 11 1C. 2 4ln 2 , 2+4ln 2D.巴 2+ 2答題卡題號123456789101112得分答案4個小題，每小題520分.13 .已知x>1,觀察下列不等式：1x + >2;xx2+2>3;xx3+->4;x按此規(guī)律，第n個不等式為 .2x-y + 3<0,14 .若x, y滿足約束條件 x K0,則2= x+y的最小值為 y 一 10,15 . j1 x2 dx- "sin x dx =.16 .若函數(shù)f(x) =ax2+xl

6、n x有兩個極值點，則實數(shù) a的取值范圍是 .三、解答題：共 70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：60分.a, b, c,其面積為S,且 b2+c217 .(本小題滿分12分)在 ABC中，角A, B, C的對邊分別是(I )求 A；(n )若 a = 5>j3, cos B =5,求 c.18 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列an, 3是其前n項和，且滿足 3an = 2Sn+n(nC N).1(I)求證：數(shù)列 an + 2是等比數(shù)列；(n)記Tn=S + &+ S

7、n,求Tn的表達式.19 .(本小題滿分12分)如圖，五邊形ABSC中，四邊形ABCM長方形，三角形SBO邊長為2的正三角形，將 三角形SBCgBC折起，使得點 S在ABCDt的射影恰好在 AD上.(I )證明：平面SABL平面SAD(n)若AB= 1,求平面SCDW平面SBC所成銳二面角的余弦值.20 .(本小題滿分12分)已知圓M: *2+丫2+2艱丫10=0和點N(0, 用,Q是圓M上任意一點，線段 NQ的垂 直平分線和QM目交于點P, P的軌跡為曲線E.(I )求曲線E的方程；(n )點A是曲線E與x軸正半軸的交點，直線 x=ty + m交E于B、C兩點，直線 AB, AC 的斜率分別

8、是ki, k2,若ki k2=9,求：m的值；' ABO積的最大值.21 .( 本小題滿分12分)已知函數(shù) f(x) =x2 + ax+ln x(aCR).(I)討論函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性；(n)令函數(shù)g(x) =ex 1 + x2+a-f(x) , e = 2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)g(x)有且只有一個零點 m判斷m與e的大小，并說明理由.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的 第一題計分。22 .選修44:坐標系與參數(shù)方程X= COS a ,已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).以原點Oy=

9、1 + sin a為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系.(I)求圓C的普通方程及其極坐標方程；、一. 汽，.一n , 一 (n )設直線l的極坐標萬程為p sin 0 + y =2,射線OM 9 =d與圓C的交點為P,與直線l的交點為Q求線段PQ的長.23 .選修45:不等式選講已知函數(shù) f(x) =|x 1| +|x + 1|.(I)解不等式f(x) W2;、 ，一人 14, ，一一(n)設函數(shù)f(x)的取小值為m右a, b均為正數(shù)，且a + b=m求a+b的取小值.湖南師大附中2019-2020學年度高二第一學期期末考試理科數(shù)學參考答案(這是邊文，請據(jù)需要手工刪加)湖

10、南師大附中2019-2020學年度高二第一學期期末考試數(shù)學(理科)參考答案一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的.1. . D2. A 【解析】函數(shù) y=ln(1 x)的定義域為 M= x|x<1,N= x| x2 x<0 =x0< x<1, 結(jié)合選項MT N= N正確，選A.3. C【解析】由均值不等式知p為真命題；因為sin xo+cos xc=2sin xc+-4 w戲,所以q為假命題，則稅 q為真命題，所以pA (稅q)為真命題.故選C.4. A【解析】由題意可得 a3= 3134,即(a1 +

11、4)2= a1(a1+6),解之可得a=8,田10X (101)田3故 So= 8X10+ 4：X2= 10.故選 A.5. C【解析】由題意，因為函數(shù)f (x) = 6、+昌(aC R)為奇函數(shù)，則f (0) = e0+A= 0,解得a= - 1,即 f (x) = ex Ax,則 f' (x) = e、+L,所以 f' (0) = e°+l= 2,即 k=2,eee且當x=0時，f(0) =e°-A°=0,即切點的坐標為(0, 0), e所以切線的方程為y= 2x,故選C.6. B【解析】如圖，過 E作EF/ BC由向量加法的平行四邊形法則可知

12、-1麗心故選B.0, x=6,故選 C.7. C 【解析】f (x) =yi y2= 2x3+18x2, f ' (x) = 6x2+36x8. A 【解析】如圖，設 XB= a, Xb= b, AAi= c,則 I Mn=|MAfKB+BN= _1AC+AB+ 1BB = |a-b+1c 32336又 a b= 0, a c= 0, b c= 0,.|Mn2= 2a 1b+1c ,可得 |MN = y21a. 33661也就是直線11,故或者建立空間直角坐標系來求解.9. B【解析】拋物線y2=4x,其焦點坐標F(1 , 0),準線為x=-等號成立，故選B.P, E, F三點共線時1

13、0. A【解析】g(x)=f(x)+m x有兩個零點，等價于f(x) + m x=0有兩個根，即y=f (x)與y= xm有兩個交點，畫出y= f (x)與y= xm的圖象，如圖，由圖可知，當 y= xm在y軸的截距不大于1時, 兩函數(shù)圖象有兩個交點，即一me 1, m> - 1, m的取值范圍是1, + 00),故選 a.11. C【解析】因為M是PF的中點，O為F1F2的中點， 所以OM句三角形F1PE的中位線.因為OML PF,所以PEXPF.又因為 |PE| |PF| =2a, 2|PF|=|PE|, |FiF2| = 2c,所以 | PF| =2a, | PF =4a.在 Fi

14、PF2中,PF2XPF,所以 |PF|2+| PE|2=| FiF2|2.代入得(2 a)2+ (4 a) 2= (2 c)2, 2 ，C -所以-2= 5.即e=J5.選C. a,112. A【解析】根據(jù)題意，對任意的xi, X2C 2, 2 ,都有f (xi) g(X2)W0,即 f(Xl)Wg(X2), f ( X) maxC g(X)min 恒成立， ,21 1g ( x) = 3x + 2x,在 x e 2, 2 內(nèi)先增后減，g(2)< g 2 ,故 g( x) m®= 1.貝Uf(X)W1, a+xln xw 1,解 aw x x2ln x. x令 h(x)=xx2

15、ln x,則 h' (x) = 12xln x x, h" (x)= 2ln x 3. 11在區(qū)間-,2 內(nèi)，h(x)<0 , h' (x)遞減，h' (1) =0,故 xC 1 時，h' (x)>0 ,1x 1 , 2時，h' (x)<0 , h(x)min=min h 2 , h (2) = h(2) =24ln 2 ,.a<2-4ln 2 ,則實數(shù)a的取值范圍是(8, 2-4ln 2,故選A.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13. xn+ n>n+ 1 x2x-y + 3<0表布的平

16、面區(qū)域,14. 2【解析】作出x, y滿足的約束條件 x-KOy一 10得到如圖的區(qū)域，其中 A( 1,1),設z=F(x, y)=x+ y,將直線l： z=x+y進行平移, 當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最小值，1- z 最小值= F(1, 1) = 1+1 = 2.故答案為：2.15.1 2【解析】由定積分的幾何意義可知,W-X2dx是以原點為圓心，以1為半0 一一 一兀 rr徑的四分之一圓的面積，等于.sinxdx=( cos x)|。=cosn+ cos 0=2.111 -x2dx "sin x dx = - 2.答案為：-4- 2. 0016 . 2<a<0 【

17、解析】f(x) = xln x + ax2(x > 0), f' (x) = In x + 1 + 2ax.令 g(x) = In x+1 + 2ax,函數(shù)f(x) =ax2+xln x有兩個極值點 g(x) = 0在(0 , +°°)上有兩個實數(shù)根.g' (x) = 1+ 2a= 1 + 2ax,當 a>0 時，g' (x) >0,函數(shù) g(x)在區(qū)間(0 , 十°0)上單調(diào)遞 xx增，因此g(x) =0在區(qū)間(0 , +8)上不可能有兩個實數(shù)根，應舍去.當 a<0 時，令 g ' (x) = 0,解得 x

18、= 71.令 g' (x) > 0,解得 0vxv 此時函數(shù) g(x) 2a2a單調(diào)遞增；令g' (x) V 0,解得x>此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.2a，當x=工時，函數(shù)g(x)取得極大值.要使g(x) =0在區(qū)間(0, +8)上有兩個實數(shù)根，2a則g 白=ln >0,解得4<a<0.，實數(shù)a的取值范圍是一；<a<0. 2a2a22三、解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .【解析】(I )b 2+c2a2= 2bccos A, S= 2bcsin A ,，代入已知等式得：2bccos A =

19、433 - 2bcsin A,得：tan A =，3,.A是三角形內(nèi)角，A= 60° .6分,4(n)，B為二角形內(nèi)角，cos B =-5 .sin C = sin (B + A) = sin (B +60°.sin B = 4 cos2B= 5, 1 . o V3- 3+4J3)=2sin B+2-cos B = -10H. a=5V3, sin A = 3, sinC = 33，,一、一asin C ,，由正弦te理得：c= $7人=3+ 4m.12分18 .【解析】(I ) 3a n=2S+n,ai=1,當 n>2 時，3an- 1=2Sn-1 + n 1,即

20、an= 3an-1 + 1,an+ _= 3an-1+1 + 一=3 an-M-,222 '13數(shù)列an+2是首項為2,公比為3的等比數(shù)列.6分上313 n 11 n 1(n)由(I)知，an+2-= 2 - 3,an = 2-x 3 -2,3an n 3 n 1. S=-2 = 4。3n-4(2n+3), 8 分_3/c2,. 41 (5+2n+3)n 9n 八 n(n + 4)Tn=S+& + $ =:(3+3+ 3 ) X-= ( 3 - 1) -.124428419.【解析】(I)如圖，作 SQL AR垂足為 O,依題意得SQL平面ABCD z. SOL AB.又 AB

21、, A口 son AD= O,AB,平面 SAD.又AB 平面SAB,所以平面 SABL平面 SAD.5分(n)連結(jié) BQ CO SB= SGRtASOBRtASOCBO= CO 又四邊形 ABC的長方形，RtAAOB Rt DOC，OA= OD.取BC中點E,彳導OB AB,連結(jié) SE,SE=木其中 O& 1, OA= OD= 1, OS= 33 12 =p.由以上證明可知 坐標系.OS OE AD互相垂直，不妨以 OA OE, OS為x,y, z軸建立空間直角DC= (0,1, 設 m= (Xi, yb0), SC= (-1, 1, -® BC= (-2, 0, 0),

22、Z1)是平面SCD勺法向量，m DC= 0,y1 = 0,則有即令mr 患 0,-x1 + y1-2z1=0,設n=(x2, y2, z2)是平面SBCB法向量，Z1= 1 得 mi= (-y/2,0,1).n則有n BO 0, SO 0.一 2x2= 0, 令X2+y2 2z2= 0,Z2= 1 得 n = (0則 |cos<m, n> | mr n|1m I n| - 3X ,31 _八= q.12 分320 .【解析】（I ）圓M: x2+y2+2#y10=0 的圓心為 M(o木）,半徑為243,點N （0,姆）在圓 M內(nèi)，| PM+| PN =25>|MN，所以曲線E

23、是以M, N為焦點，長軸長為 23的橢圓，由a=3, c=，2,得b2=3-2=1,所以曲線 E的方程為2x2+y3= 1.4 分(n )設 B(x1, y1) , C( X2, y2),直線x = ty + m,BC: x = ty + e聯(lián)立方程組2 £ ，得3(1+ 3t2) y2+ 6mty+ 3m2-3= 0, = 36t 之一12m+ 12, y1 + y2=一1十 §12,23m3y1y2=1T?'由 kk= 9 知 y1y2= 9( X1- 1) (X2 1) = 9( 1y 1 + m- 1) (ty 2+ m- 1)2= 9t2y1y2+9( m

24、i-1) t(y1+y2) + 9( mv 1),且 m 1,代入化簡得(9t2 1) (mi+1) -18mt2+ 3( mv 1) (1 + 3t2) =0,解得 mi= 2.8 分由 A=36t212m2+ 12=36(t21)>0,解得t2>1,c 1312 1Sa AB- 21 y2 y1| = 1 + 234t2-124+3( ”1)一-3w3(當且僅當t2 =424+3G綜上， ABC®積的最大值為21.【解析】（I）由已知x>02 .(x)=2x+a + -= XX-,x x當a>2，2時，f' (x)>0,則函數(shù)f(x)在(0,

25、 +8)單調(diào)遞增.2分當a<2也時，A = a28>0時，2x2 + ax+1 = 0有兩個正根，、 一a ,a2 8- a+ Ja2- 8記 X1 =4，x2=4，當 xC (0 , X1)時，f' (x)>0 , f (x)遞增,當 xC (X1, X2)時,f' (x)<0 , f (x)遞減,當 xC(X2,+ °°)時,廣(x)>0 , f (x)遞增.綜上，當a>2，2時，函數(shù)f(x)在(0 , +8)上單調(diào)遞增.當a<2平時，函數(shù)f(x)在0, -a-Va8 , -a+>/a8, +oo上單調(diào)遞增

26、,44在一ay? -a+ya上單調(diào)遞減.5分 44(n)函數(shù) g(x) = ex 1+ x2+ a-f (x) = ex 1 - In x ax+a,貝U g，( x) = ex 1- - - a = h(x), x一 1則h'(x) = e-+y0,所以g'(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,當 x-O 時，g' (x) 一一°° x一十 °0時，g，(x) 一十 OO；所以 gz (x) C R, 所以g' (x)在(0 , +8)上有唯一零點 xo, 所以g(xo)為g(x)的最小值.由已知函數(shù)g(x)有且只有一個零點 ni則m= x。.一，1ea= 0,所以 g' (n) = 0, g(m=0,則 mm- 1mHm=0,em 1In m- am+ a= 0,11則 em1 In m- e 1- m e 1 =0,得(2n)e 1-In mmx-1x 11則