彈性力學-012第十二章-彈性波的傳播

第十二章彈性波的傳播要點：（1）彈性體的動力學方程與定解條件；（2）無限大彈性體中波的種類與傳播特征?！?2-1彈性體的運動微分方程主要內(nèi)容

§12-2彈性體中無旋波與等容波§12-3平面波的傳播§12-4表層波的傳播§12-5球面波的傳播§12-1彈性體的運動微分方程1.彈性體的靜力微分方程及其適用性（8-1）張量表示適用性：外力緩慢變化，接近于連續(xù)施加的情形。——稱為彈性靜力學問題特點：應(yīng)力、應(yīng)變、位移僅為坐標變量的函數(shù)，與時間變量無關(guān)。當外力作用后，隨即在各點引起應(yīng)力、應(yīng)變、位移。2.彈性體的動力學微分方程當外力的作用，明顯與時間變量有關(guān)時，稱為動載荷。如：沖擊載荷、周期性變化的載荷、間隙變化的載荷、地震波作用等。特點：應(yīng)力、形變、位移均隨時間變化；應(yīng)力、形變、位移由載荷作用位置向遠處傳播；需考慮質(zhì)點運動的加速度的影響；xyzO微元體受力：體力：應(yīng)力：慣性力：其中：

為質(zhì)量密度?！獮轶w積力，——也稱運動微分方程xyzO彈性體的動力學微分方程為：（a）（b）或表示成：xyzO張量形式：幾何方程；物理方程；——構(gòu)成彈性動力學問題基本方程。（1）由于方程（a）中含有位移分量，而位移一般不能用應(yīng)力及其導數(shù)表示，所以，方程（a）一般不宜按應(yīng)力求解，而是宜按位移求解。（2）彈性體的運動微分方程的位移表示形式；彈性體的運動微分方程；說明：（12-1）其中：——體積應(yīng)變——按位移求解動力學問題的基本方程也稱拉密（Lame）方程3.彈性體動力學問題的定解條件動力學問題的定解條件包括：邊界條件應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件；初始條件初始位移；初始速度。應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：說明：彈性動力學問題邊界條件的形式與靜力學問題相同，但式中各物理量均為時間變量的函數(shù)。邊界條件初始條件初始速度：初始位移：4.彈性體動力學問題的其它方程物理方程和幾何方程：——同彈性靜力學問題的物理方程與幾何方程，所不同的是其中各物理量均為時間變量的函數(shù)。不計體力時的彈性體運動微分方程：（12-2）對于體力為常量時，只要將坐標原點建立在靜平衡位置，即得到上述運動微分方程。式（12-2）也可表示成：（12-2′）§12-2彈性體中無旋波與等容波1.引言彈性波：當彈性體受與時間相關(guān)載荷作用后，其位移、應(yīng)力、形變以波動形式用有限的速度由載荷作用處向外傳播的現(xiàn)象，稱為彈性波。彈性波基本形式：在無限大彈性中，有無旋波、等容波。（1）無旋波的位移分量設(shè)無限大彈性在外力作用下，其位移：u、v、w可用如下形式表示：（a）則稱：為位移勢函數(shù)?！獰o旋位移說明如下：——x

方向的線段繞z軸轉(zhuǎn)角；——y

方向的線段繞z軸轉(zhuǎn)角；其中——表示彈性體內(nèi)一點繞z軸的旋轉(zhuǎn)量彈性波基本形式：在無限大彈性中，有無旋波、等容波。2.無旋波（b）——表示彈性體內(nèi)一點繞z軸的旋轉(zhuǎn)量同理，可給出彈性體內(nèi)一點繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)量：（c）將位移分量式（a）代入上式（b）、（c），有表明：式（a）給出位移狀態(tài)的彈性波為無旋波。也稱膨脹波、集散波。（2）無旋波的波動方程由位移分量：（a）得到：將其代入彈性體的運動微分方程（12-2），得無旋波的波動方程：（12-3）其中：（12-4）或式中：、G為拉密（Lame）系數(shù)。（12-2）c1——代表無旋波的傳播速度

3.等容波對應(yīng)于這種位移狀態(tài)的彈性波稱為等容波，（d）——稱為等容位移設(shè)彈性體的位移：u、v、w，滿足：也稱為等體波、畸變波。等容波的波動方程由運動微分方程（12-2），可得：（12-5）式中：（12-6）——等容波的傳播速度說明：無旋波與等容波的波動方程具有相同的形式。（12-2）4.波動方程解的特征將無旋波、等容波的波動方程表示成統(tǒng)一形式：（12-7）對于無旋波：c=c1；設(shè)方程（12-7）存在一個解：則有：用

代表x、y、z、t

中任一變量，并對上式作如下運算：交換求導次序，有可見：也是方程（12-7）的解。即：若：是波動方程（12-7）的解，則其導數(shù)也一定是該波動方程的解。結(jié)論1：彈性體中，應(yīng)力、形變、質(zhì)點的速度等都以位移相同的方式和速度進行傳播。對于等容波：c=c2。本節(jié)小結(jié)（1）無旋波的位移分量（a）（2）無旋波的波動方程及波速（12-3）（12-4）或1.無旋波（1）等容波的位移（d）——稱為等容位移等容波的位移：u、v、w，滿足：2.等容波——膨脹波、集散波。——等體波、畸變波。——稱為無旋位移（1）等容波的位移（d）——稱為等容位移等容波的位移：u、v、w，滿足：2.等容波——等體波、畸變波。（2）等容波的波動方程及波速（12-5）式中：（12-6）——等容波的傳播速度3.波動方程及其特征無旋波與等容波的波動方程具有相同的形式：（12-7）對于無旋波：c=c1；對于等容波：c=c2。（1）兩種波的波動方程形式（2）兩種波的波動方程解的特征結(jié)論1：彈性體中，應(yīng)力、形變、質(zhì)點的速度等都以位移相同的方式和速度進行傳播?！?2-3平面波的傳播1.平面波及其分類當彈性體一點受外力作用（擾動）后，其運動（彈性波）向四面八方傳播。一般地，離作用點較近處，各平面內(nèi)各點的位移是不同的，但離作用點較遠處，存在一些平面，這些平面內(nèi)各點的位移（波形）相同。同一平面內(nèi)各點的位移（波形）完全相同的彈性波——稱為平面彈性波，簡稱平面波。由平面內(nèi)質(zhì)點運動的方向與波傳播方向的相對關(guān)系，平面波可分為：（1）質(zhì)點的運動方向與波的傳播方向相同；——稱為縱向平面波，簡稱縱波（2）質(zhì)點的運動方向與波的傳播方向垂直；——稱為橫向平面波，簡稱橫波縱波與橫波是平面波的兩種基本形式。（1）縱波的波動方程設(shè)x軸為波的傳播方向，則縱波的彈性體質(zhì)點位移可表示為：（12-8）由此可得：將其代入運動微分方程（12-2），可得：（12-9）——縱波的波動方程其中：2.縱波（2）縱波波動方程的解（12-9）其通解（達朗貝爾D′Alembert

解）可表示為：（12-10）式中：f1、f2為任意函數(shù)，可由初始條件確定。通解的物理意義：u1x時刻t：ABC時刻t+t：表明：u1=f1(x–c1t)

為一個縱波，沿x正方向傳播，傳播速度為c1。波的性質(zhì)：——位置x處的位移；——位置x+

x處的位移；形變分量、應(yīng)力分量：由幾何方程可得：其中：（b）表明：彈性體始終處于x方向的簡單拉壓狀態(tài)，因而，縱波也稱P波。由物理方程可得：（c）——側(cè)壓力系數(shù)質(zhì)點沿x

方向的運動速度：（d）因為，

x

總是一很小的數(shù)，所以，質(zhì)點的運動速度遠小于波的傳播速度。對鋼材：對類似于上面的討論，可得：

——亦代表一縱波，沿x軸負方向傳播，傳播速度亦為c1。結(jié)論1：代表分別沿x方向和負x方向的兩個縱波，傳播速度均為c1。將代入：得：表明：縱波是一種無旋波

3.橫波仍設(shè)x軸為波的傳播方向，則橫波的彈性體質(zhì)點位移可表示為：（12-11）由此可得：說明：橫波為等容波。橫波的波動方程另有：仍設(shè)x軸為波的傳播方向，則橫波的彈性體質(zhì)點位移可表示為：（12-11）由此可得：橫波的波動方程另有：將其代入彈性體運動微分方程（12-2），有（12-12）——橫波的波動方程波動方程的解方程（12-12）的通解：（12-13）波動方程的解方程（12-12）的通解：（12-13）v1xABC類似于縱波的討論，得到：代表：沿x正方向傳播的橫波，傳播速度為c2。應(yīng)變分量、應(yīng)力分量：應(yīng)變：其中：（f）應(yīng)變分量、應(yīng)力分量：應(yīng)變：其中：表明：彈性體中每一點都處于x-y平面內(nèi)的簡單剪切狀態(tài)。應(yīng)力：（g）

橫波也稱剪切波，S波。質(zhì)點沿y方向的速度：（h）其中：因為，

xy

總是一很小的數(shù)，所以，質(zhì)點沿y方向的運動速度遠小于橫波的傳播速度c2

。同理，對：可得到與類似的特點，即：——代表一沿x軸負方向傳播的橫波，傳播速度亦為c2。結(jié)論2：代表分別沿x方向和負x方向的兩個橫波，傳播速度均為c2。（12-13）橫波是等容波、S波。質(zhì)點沿y方向的速度：（h）4.縱波與橫波的傳播速度比較或可見：彈性波的傳播速度只與材料的性質(zhì)有關(guān)，而與所受的外力與運動無關(guān)。（12-14）對金屬材料，可取

=1/3,表明：橫波的傳播速度c2恒小于縱波的傳播速度c1

。即：在金屬材料中，橫波的傳播速度大致為縱波的一半。在地震時，利用縱波總比橫波先到的特點，可估算出測站到震源的距離。5.平面簡諧波及其表示縱波（12-9）橫波（12-12）若上述解函數(shù)：為簡諧函數(shù)，則此平面波為平面簡諧波。不妨設(shè)解形式為：式中：——縱波——橫波——縱波——橫波平面簡諧波解的形式為：式中——縱波——橫波——縱波的波速——橫波的波速A——波的振幅；ω——圓頻率；α——波的相位；——變量t

和x

的周期函數(shù)；xL關(guān)于變量t

的周期：關(guān)于變量x

的周期：——波長令：——波數(shù)，與波長L成反比若用復數(shù)表示：其中：數(shù)學上為處理方便將其表示為：——虛數(shù)單位說明：平面簡諧波是平面波的一種特殊情況，在波的線性理論中具有很重要意義。因為，通過傅立葉分析，一般的復雜運動都可以分解為若干個簡諧運動的迭加。或：彈性體運動微分方程：（12-2）無限大彈性體中的無旋波與等容波：無旋波：——波動方程——傳播速度本章前面內(nèi)容回顧等容波：——波動方程——傳播速度無限大彈性體中的平面波：縱波：——位移方程——波動方程——傳播速度無限大彈性體中的平面波：縱波：——位移方程——波動方程——傳播速度各點的變形：僅為簡單拉壓變形，屬無旋波；橫波：——位移方程——波動方程橫波：——位移方程——波動方程——傳播速度各點的變形：僅為x-y平面內(nèi)的簡單剪切變形，屬等容波；6.平面波的反射與折射兩種介質(zhì)的分界面：xy平面；z軸垂直于分界面，介質(zhì)1（z>0）：介質(zhì)2（z<0）：其中：SV波SH波——介質(zhì)1的剪切彈模、P波速、S波速。設(shè)在介質(zhì)1中的一平面入射波沿單位矢量n方向傳播，α稱為入射角。平面入射波縱波（P波）橫波（S波）SV波SH波（垂直于xz平面）（在xz平面內(nèi)）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz平面入射波（1）平面入射波的類型：（2）平面SH波的反射與折射P波設(shè)平面入射波——SH簡諧波，則波面某一點的運動方程：O介質(zhì)1介質(zhì)2xzsSH波（x，z）sO介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波（2）平面SH波的反射與折射設(shè)平面入射波——SH簡諧波，則波面某一點的運動方程：該入射波到達介面后：一部分反射回介質(zhì)1；另一部分折射入介質(zhì)2。假設(shè)反射波、折射波均為SH簡諧波，則相應(yīng)波面某一點的運動方程：其中：——反射波、折射波的圓頻率問題：（1）上述假設(shè)是否成立？（2）間存在何關(guān)系？O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波其中：——反射波、折射波的圓頻率問題：（1）上述假設(shè)是否成立？（2）間存在何關(guān)系？——由界面的連續(xù)性條件決定！界面的連續(xù)性條件：設(shè)分界面處無滑動與分離，則有——位移連續(xù)——剪應(yīng)力連續(xù)（2）平面SH波的反射與折射（1）（2）（3）（4）（5）當將式（1）、（2）、（3）代入式（5）有：（6）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波其中：（1）（2）（3）（4）界面的連續(xù)性條件：——位移連續(xù)——剪應(yīng)力連續(xù)（5）當將式（1）、（2）、（3）代入式（5）有：（6）（7）由式（7）對任意的x、t

成立，取x=0、t=0，有：（8）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波（7）由式（7）對任意的x、t

成立，取x=0、t=0，有：（8）比較式（7）、（8）有：（9）由式（9）對任意的x、t

成立，分別取x=0、t=0，有：（10）（11）注意到式（4）：由式（10）得：（12）（10）（11）注意到式（4）：由式（10）得:（12）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波進一步由式（10）、（11），得出：（13）由以上關(guān)系，可求得：（14）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波（12）（13）（14）將以上結(jié)果代入條件（6），有：界面的連續(xù)性條件：——位移連續(xù)——剪應(yīng)力連續(xù)當（5）（6）（15）（8）式（8）、（15）可確定振幅比：（15）（8）O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波式（8）、（15）可確定振幅比：（12）（13）（14）其中：（16）（17）結(jié)論：（1）當入射波為SH波時，假定反射波與折射波都僅為SH波，能使用使界面的連續(xù)性條件滿足，即這種假設(shè)是合理的。結(jié)論：（1）當入射波為SH波時，假定反射波與折射波都僅為SH波，能使用使界面的連續(xù)性條件滿足，即這種假設(shè)是合理的。O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波（2）（3）（4）由當有則當——總存在折射；——不會有折射波產(chǎn)生；存在一臨界入射角：（3）平面P波、SV波的反射與折射xzO介質(zhì)1介質(zhì)2PSVPPSVxzO介質(zhì)1介質(zhì)2SVSVPPSV平面波的反射與折射：O介質(zhì)1介質(zhì)2xz入射SH波反射SH波折射SH波（1）入射SH波：（2）入射P波、SV波：xzO介質(zhì)1介質(zhì)2SVSVPPSVxzO介質(zhì)1介質(zhì)2PSVPPSV小結(jié)：§12-4表層波的傳播——表層波也稱瑞利（Rayleigh）波1.表層波的概念在無限大彈性體內(nèi)，存在兩種基本形式的波：無旋波、等容波。對具有自由表面的半無限大彈性體，其自由表面附近則會產(chǎn)生另一種波，（1）隨著距自由邊界的法向距離增大而迅速減弱；表層波具有兩個特點：（2）隨著距波源距離的增大而增加其相對于其他波的優(yōu)勢。表層波可能出現(xiàn)的情況：（1）彈性體的自由邊界面附近；（2）彈性體兩種介質(zhì)的交界面處。僅討論：表層波離自由邊界較近、而距波源較遠處的傳播規(guī)律。這種波類似于將石頭投入平靜的水中，在水面附近引起的水波。因而，稱為表層波，也稱表面波。yxzO2.表層波的傳播yxzO由于僅討論表層波離自由邊界較近、而距波源較遠處的傳播規(guī)律，可將與表層波相應(yīng)的位移視為平面位移（波）。取邊界面為x-z平面，y軸指向彈性體內(nèi)，x軸平行于表層波傳播方向。這樣表層波的位移為平行于x-y平面內(nèi)的位移。視表層波位移為無旋位移和等容位移的疊加。取無旋位移為：（a）其中：均為常數(shù)。常數(shù)p的因次為：[時間]－1

；常數(shù)a、s的因次為：[長度]－1

；常數(shù)A的因次為：[長度]2

；式中：a>0

時才能反映表層波的特性。即位移隨y的增大而迅速減小。yxzO取無旋位移為：（a）將式中改寫為：顯然，有（b）表明：u1、v1以速度c3

沿x方向傳播。將式（a）代入彈性體的運動微分方程（12-2），要求：（c）取等容位移為：yxzO（d）其中：B、b均為常數(shù)。常數(shù)b的因次為：[長度]－1

；常數(shù)B的因次為：[長度]2

；僅當b>0才有可能反映表層波的特性。將式（b）代入彈性體的運動微分方程（12-2），得到：利用：得到常數(shù)間應(yīng)滿足：（e）表層波的合位移為：yxzO（f）邊界條件為：由物理方程：將此邊界條件用位移表示，有：將式（f）代入上式，有：yxzO上述方程為關(guān)于A、B的線性方程組，A、B具有非零解的條件：展開得：兩邊平方得：（c）（e）將式（c）（e）代入前式，并消去式中的s2

，有：（12-15）——確定表層波傳播速度c3的方程方程（12-15）存在6個根，而符合實際的還需滿足：由于以上兩式中，只需滿足第二式，第一式也自動滿足。符合實際的解應(yīng)滿足：（12-16）聯(lián)立求解式（12-15）、（12-16），并利用式（12-6）：可求得表層波的傳播速度c3。即：例如：利用方程（12-15）：（12-15）得到：求得：而滿足解為：由此可求得：（g）進一步由：（12-4）（12-6）求得：表層波（Rayleigh波）的傳播：（1）位移分量式中要求：（2）傳播速度c3的確定：（12-15）（3）表層波傳播速度c3與c1、c2的關(guān)系小結(jié)：§12-5球面波的傳播1.球面波的產(chǎn)生作用的載荷：（1）彈性體內(nèi)具有圓球形孔洞，在孔洞內(nèi)受有球?qū)ΨQ的動力載荷，如：爆炸、沖擊類的作用；（2）由于彈性體的幾何形狀、載荷作用的對稱性，彈性體只能發(fā)生徑向位移uR

，而沒有切向位移，即：位移與變形：這種位移向外或向內(nèi)傳播的彈性波，稱為球面波。2.球面波的波動方程球?qū)ΨQ問題的運動微分方程

靜力平衡方程（位移形式）：具有圓球形外表面的彈性體，在外表面作用有動力載荷等。2.球面波的波動方程球?qū)ΨQ問題的運動微分方程靜力平衡方程（位移形式）：（9-6）動力學運動微分方程方程（位移形式）：假設(shè)不計體力，即：KR=0，慣性力：將慣性力代替體力KR，有利用式（12-4）：上述方程可改寫為：（a）球面波的波動方程設(shè)球面波的位移可表示為：（b）其中：為位移勢函數(shù)。則運動微分方程（a）為：（c）注意到：式（c）變?yōu)椋簝蛇厡ψ兞縍積分一次，有：（d）其中：F（t）

為t的任意函數(shù)。一般地，F(xiàn)（t）≠0

。但對于式（d），總可以求得一任意特解

（t），它只是變量t的函數(shù)。將它與其特解相加，顯然，仍然為方程（d）的特解。由式（b）:（b）可知：特解

（t）不影響位移uR，只是變量t

的函數(shù)。將它與其它特解相加后，仍為方程（d）的特解。因此，可取:F（t）=0

。于是式（d）為：上式進一步可寫成：——球面波的波動方程（e）3.波動方程的解與球面波的特點方程（e）的通解：（12-17）其中：——球面波的傳播速度類似于平面波的討論，可得：（1）f1、f2表示沿徑向正、反兩個方向傳播的球面波；3.波動方程的解與球面波的特點方程（e）的通解：（12-17）類似于平面波的討論，可得：（1）f1、f2表示沿徑向正、反兩個方向傳播的球面波；f1表示由內(nèi)向外傳播的球面波，適用于彈性體內(nèi)部受動力載荷的情形；f2表示由外向內(nèi)傳播的球面波，適用于彈性體體外部受動力載荷的情形。（2）傳播速度：（3）由于對稱性，彈性體任意徑向線段無轉(zhuǎn)動，所以，球面波為無旋波。（4）球面波的徑向位移表達式：本章小結(jié)一、彈性體動力學的基本方程（1）彈性體的動力學微分方程（a）張量形式：或：（2）幾何方程（同靜力學情形）：（3）物理方程（同靜力學情形）：（4）定解條件：應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：