質(zhì)點運(yùn)動學(xué)速度與加速度

1、運(yùn)動學(xué)：運(yùn)動學(xué)：動力學(xué)：動力學(xué)：靜力學(xué)：靜力學(xué)：研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡化方法等。也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡化方法等。（平衡方程的應(yīng)用和受力分析平衡方程的應(yīng)用和受力分析）研究物體運(yùn)動的幾何性質(zhì)，而不研究引起物研究物體運(yùn)動的幾何性質(zhì)，而不研究引起物體運(yùn)動的原因體運(yùn)動的原因。（位移，速度，加速度，軌位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計算跡等的描述和計算）研究受力物體的運(yùn)動變化與作用力之間的研究受力物體的運(yùn)動變化與作用力之間的關(guān)系關(guān)系。（運(yùn)動微分方程的建立和求解運(yùn)動微分方程的建立和求解）1.1 1.1 引 言經(jīng)典力學(xué)適用范

2、圍：經(jīng)典力學(xué)適用范圍：弱引力場中宏觀物體的低速運(yùn)動。弱引力場中宏觀物體的低速運(yùn)動。 力學(xué)的研究對象力學(xué)的研究對象時間時間 ：空間空間 ：時間用以表述事物之間的順序時間用以表述事物之間的順序 空間用以表述事件相互之間的位形空間用以表述事件相互之間的位形 在牛頓力學(xué)中，時間間隔和空間間隔（長度）被認(rèn)為在牛頓力學(xué)中，時間間隔和空間間隔（長度）被認(rèn)為是絕對量，是獨立于所研究對象（物體）和運(yùn)動而存是絕對量，是獨立于所研究對象（物體）和運(yùn)動而存在的客觀實在。時間的流逝與空間位置無關(guān)，空間為在的客觀實在。時間的流逝與空間位置無關(guān)，空間為歐幾里德幾何空間。歐幾里德幾何空間。時間、空間和牛頓力學(xué)的絕對量時間、空

3、間和牛頓力學(xué)的絕對量時間的測量 ：任何具有重復(fù)性的周期過程或現(xiàn)象，都可以作為測量任何具有重復(fù)性的周期過程或現(xiàn)象，都可以作為測量時間的一種鐘時間的一種鐘 （例如，太陽的升沒表示天；四季的（例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其他的循環(huán)過循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其他的循環(huán)過程，如雙星的旋轉(zhuǎn)、人體的脈搏、吊燈的擺動、分子程，如雙星的旋轉(zhuǎn)、人體的脈搏、吊燈的擺動、分子的振動等等，也都可以用作測時的工具）的振動等等，也都可以用作測時的工具） 時間的測量 ：1967年10月在第十三屆國際度量衡會議上規(guī)定： 位于海平面上的銫原子的基態(tài)的兩個超精細(xì)能級在零磁場中躍遷輻射的

4、周期T與1秒的關(guān)系為 1秒 = 9,192,631,770 T 這樣的時間標(biāo)準(zhǔn)稱為原子時 用銫鐘作為計時標(biāo)準(zhǔn)，誤差若按一個周期計算，測量精度要比秒表作時計提高 倍，即誤差下降到秒表的 之一 10101010時間是測量得最準(zhǔn)確的一個基本量時間是測量得最準(zhǔn)確的一個基本量 空間的測量 ：長度是空間的一個基本性質(zhì) 對長度的測量，在日常的范圍中，是用各種各樣的尺，如米尺、千分尺、螺旋測微計等等?？臻g的測量 ：米： 規(guī)定為通過巴黎的自北極至赤道的子午線長度的1/10,000,000 1875年起，決定改用米原器（截面呈“X”形的鉑銥合金尺）作為長度標(biāo)準(zhǔn)。由于這樣規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)米不易復(fù)制，精度又不高 1960年

5、在第十一屆國際計量大會上規(guī)定： 1米等于氪86原子的兩個特定能級之間躍遷時所對應(yīng)的輻射（橙色譜線）在真空中的波長的1,650,763.73倍。這樣規(guī)定的米叫原子米 1983年10月在第十七屆國際計量大會上規(guī)定：米是光在真空中在1/299,792,458秒的時間間隔內(nèi)所傳播的路程長度 光速：c = 299,792,458米秒 目前物理學(xué)中涉及的最小的時間是10-43秒，稱為普朗克時間。普朗克時間被認(rèn)為是最小的時間，比普朗克時間還要小的范圍內(nèi)，時間的概念可能就不再適用了。 最短的時間最短的時間 目前，物理學(xué)中涉及的普朗克長度約為10-35米，被認(rèn)為是最小的長度，意思是說，在比普朗克長度更小的范圍內(nèi)

6、，長度的概念可能就不再適用了。 最小的長度最小的長度牛頓力學(xué)適用范圍牛頓力學(xué)適用范圍：微米尺度 天體尺度質(zhì)點質(zhì)點 ：參考物參考物 ：參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系 ：固定在參考物上的坐標(biāo)架（簡稱固定在參考物上的坐標(biāo)架（簡稱參考系參考系） 突出了突出了“物體具有質(zhì)量物體具有質(zhì)量”、“物體占有位物體占有位置置” 為了研究運(yùn)動，固定坐標(biāo)系的物體為了研究運(yùn)動，固定坐標(biāo)系的物體 1.2 1.2 質(zhì)點和參考系 參考系參考系 = 參考物參考物 + 坐標(biāo)架坐標(biāo)架 + 鐘鐘 質(zhì)點和參考系質(zhì)點和參考系質(zhì)點近似的相對性對于某個物體，如果其大小和自轉(zhuǎn)對于所研究的具體問題可以忽略，則該物體可以近似為質(zhì)點。質(zhì)點和參考系質(zhì)點和參考系

7、 質(zhì)點 的位置矢量 r（簡稱位矢）的大小為OP的長度，而方向從O指向P。用這個矢量就完全確定了質(zhì)點P的位置 kjirzyx其中i，j，k分別分別表示空間的三個坐標(biāo)方向（ 軸）上的單位矢量，稱為坐標(biāo)基矢。 zyx , ,參考系的選擇是任意的，對于同一個質(zhì)點的位置，用不同參考系來描寫時，則具有不同的位置矢量。就這一點，我們可以說，位置是具有相對性的物理量。 質(zhì)點在運(yùn)動中所經(jīng)過的各點在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱之為軌跡軌跡。 一般曲線方程可以表示成： 軌跡可以利用曲線方程來描寫。譬如，曲線方程： 0222zRyx就描寫了在oxy平面上半徑為R的圓周運(yùn)動的軌跡。 0),(0),(21zyxfzy

8、xf軌跡和運(yùn)動學(xué)方程軌跡和運(yùn)動學(xué)方程軌跡和運(yùn)動方程軌跡和運(yùn)動方程 我們知道，可以利用矢量方法來描寫質(zhì)點 M 的位置。質(zhì)點的位置關(guān)于時間的函數(shù)稱為運(yùn)動方程，知道了這個方程等于知道了此質(zhì)點運(yùn)動的一切情況。質(zhì)點的運(yùn)動方程可以表示成： )(trr 當(dāng)然，也可以用坐標(biāo)系中三個坐標(biāo)分量來描述運(yùn)動 )()()(tzztyytxx并有關(guān)系式 kjir)()()()(tztytxt從運(yùn)動方程中消去時間 t 即得到軌跡的方程 瞬時速度瞬時速度（簡稱（簡稱速度速度）定義為：）定義為： 1. 直線運(yùn)動 1.3 1.3 速度與加速度 通常稱平均速度的絕對值為平均速率。類似地，瞬時通常稱平均速度的絕對值為平均速率。類似地

9、，瞬時速度的絕對值被稱為速率。速度的絕對值被稱為速率。 質(zhì)點在t1到t2時間間隔內(nèi)的平均平均速度速度 1212)()(21tttxtxvttdttdxtxttxttxtvtt)()()()(limlim00位移、路程與速度位移、路程與速度這個平均速度的定義表明，平均速度是矢量。 2. 三維曲線運(yùn)動 位移、路程與速度位移、路程與速度 質(zhì)點在 t1 = t 到 t2 = t +t 時間間隔內(nèi)的平均速度平均速度 tttttttrrrv1212)()(21是在時間間隔 t 內(nèi)質(zhì)點位置矢量的改變量，稱為位移矢量（簡稱位移） )()(12ttrrr2. 三維曲線運(yùn)動 位移、路程與速度位移、路程與速度 在t

10、0的極限情況下， r的方向趨于軌跡曲線在點 1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。這樣，我們就得到一個結(jié)論：瞬時速度的方向，就是軌跡曲線在相應(yīng)點的切線方向；瞬時速度的大小，就是t0時平均速率的大小。 由此可以定義平均速率：2. 三維曲線運(yùn)動 位移、路程與速度位移、路程與速度 質(zhì)點從 t1 = t 到 t2 = t +t 時間間隔內(nèi)所走過的路程路程函數(shù)s(t)：質(zhì)點從 t1 =0 到 t2 = t 時刻所走過的軌跡長度 （標(biāo)量）（標(biāo)量）)()(12tstsststttstswtt1212)()(21瞬時速度瞬時速度（簡稱（簡稱速度速度）定義為：）定義為： 2. 三維曲線運(yùn)動 在國際單位制

11、中，速度的單位是米/秒，常用的單位還有厘米/秒、千米/小時等 位移、路程與速度位移、路程與速度 dtdttttttttrrrrvlimlim00)()()(速度的數(shù)值大小（絕對值）稱為速率，由上式知： dttdststtttvttt)(| | )(| )(limlimlim000rrv瞬時加速度瞬時加速度（簡稱（簡稱加速度加速度）定義為：）定義為： 1. 直線運(yùn)動 質(zhì)點在 t1 = t 到 t2 = t +t 時間間隔內(nèi)的平均加速度平均加速度 ttvttvattt)()(2200)()()()()(limlimdttxddttdvtvttvttvtatt加速度加速度瞬時加速度瞬時加速度（簡稱（

12、簡稱加速度加速度）定義為：）定義為： 2. 曲線運(yùn)動 加速度加速度 質(zhì)點在 t1 = t 到 t2 = t +t 時間間隔內(nèi)的平均加速度平均加速度 tttttttt )() ( vvva220 0 )( )( t t)() t( )(limlimdttddttdtttttrvvvva在國際單位制中，加速度的單位是米/秒2，常用的單位還有厘米/秒2 等。 v 質(zhì)點做變速運(yùn)動中各個時刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時性 v 速度、加速度是矢量，它具有矢量性1.3 1.3 速度與加速度 v 選取不同的參考系，質(zhì)點的速度和加速度是不同的，它具有相對性小結(jié)：小結(jié)： 人體能承受的最大加速度為10g左右

13、。未受專業(yè)訓(xùn)練的一般人只能承受2-3g左右。1.4 1.4 直角坐標(biāo)系中運(yùn)動的描述 運(yùn)動方程： )(txx 平均速度： 00)()(0tttxtxvtt右圖表示的是質(zhì)點做直線運(yùn)動時的位置、速度和加速度關(guān)于時間的圖形。由圖上可見，當(dāng)位置最大時，速度為零（此時曲線的斜率為零），同樣當(dāng)速度最大時，其加速度為零。 瞬時速度： dttdxttxttxtvt)( )() ()(lim0直線運(yùn)動直線運(yùn)動直線運(yùn)動直線運(yùn)動 平均加速度： 00)()(0tttvtvatt瞬時加速度： 220)()( )() ()(limdttxddttdvttvttvtat瞬時速率： dttdstvtw)(| )(|)(由此可見

14、，如知道運(yùn)動方程 x=x(t)，則速度、加速度等皆可求得。直線運(yùn)動直線運(yùn)動 若再知道 t = 0 時刻質(zhì)點的速度和位置 ： 利用： 如果已知質(zhì)點運(yùn)動的加速度 ： 可以解得： 運(yùn)動學(xué)的反問題運(yùn)動學(xué)的反問題 )(taa 0)0(vtv0)0(xtxdtdxtv/)(dtdvta/)(t dtavtvt)()( 0 0t dtvxtxt)()( 0 0t dtvstst| )(|)( 0 0可以完全描述運(yùn)動。 1. 1. 運(yùn)動方程運(yùn)動方程 2. 速度速度kjir)()()()(tztytxt)()()(tzztyytxx)()()(txdttdxtvx)()()(tydttdytvy)()()(tz

15、dttdztvz分量式：速率：2/1222)()(dtdzdtdydtdxdttdstv其中：2222dzdydxdskjiv)()()()(tvtvtvtzyx曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動3. . 加速度加速度 曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動 kjia)()()()(tatatatzyx分量式：)()()(2txdttxdtax )()()( 2tydttydtay )()()(2tzdttzdtaz 運(yùn)動的重要性質(zhì)運(yùn)動的重要性質(zhì)：運(yùn)動的獨立性運(yùn)動的獨立性 運(yùn)動的獨立性 的實驗演示曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動 由速度、加速度的分量表達(dá)式可以看到，描寫一個質(zhì)點的復(fù)雜的曲線運(yùn)動時，其某方向的坐標(biāo)、速度和加速度與其它方向的坐標(biāo)、速度和

16、加速度無關(guān)，即三個方向相互無關(guān)。這種性質(zhì)稱為運(yùn)動的獨立性。（空間獨立性根源） 如果已知： 路程： 運(yùn)動學(xué)的反問題運(yùn)動學(xué)的反問題 曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動 )( ),( ),(00tttrva可以完全描述運(yùn)動。 t dtttt)()( 00avvttzzzttyyyttxxxt dtavtvt dtavtvt dtavtv 0 0 0000)()()()()()(分量式：t dtttt)()( 00vrrttzttyttxt dtvztzt dtvytyt dtvxtx 0 0 0000)()()()()()()()()( | )(| )()(222tvtvtvttvdttdszyxvttyyxt dt

17、vtvtvtsts 22200 )()()()()(速度：位矢：1.5 1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動的描述 有時直角坐標(biāo)系不是最好的坐標(biāo)系，這是因為： v若我們研究的運(yùn)動是受約束的運(yùn)動受約束的運(yùn)動，比如火車的行駛（它不能離開鐵軌），或穿在彎曲鋼絲上的小環(huán)的運(yùn)動等。這類運(yùn)動往往軌跡的形狀是給定的，沿軌跡的曲線坐標(biāo)系有可能是更好的坐標(biāo)系。 v即使我們研究運(yùn)動的獨立性有效的運(yùn)動，使用直角坐標(biāo)系使得數(shù)學(xué)計算簡單了，但我們對其中的一些物理細(xì)節(jié)卻并不很清楚對其中的一些物理細(xì)節(jié)卻并不很清楚。比如，我們知道速度的方向是沿著軌跡上質(zhì)點所在位置的切線方向，但加速度的方向如何？加速度的方向?qū)λ俣扔钟泻斡绊懀坑谑?，我們?/p>

18、要引入一種新的坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系。1.5 1.5 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動的描述 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 我們現(xiàn)在考慮加速度的方向。對于沿直線的運(yùn)動，只有一個方向，故速度與加速度的方向都與軌跡的方向平行（對于減速運(yùn)動，加速度的方向與運(yùn)動方向相反，我們?nèi)砸暭铀俣扰c速度方向平行，有時也稱其為反平行），如圖(a)；對于勻速圓周運(yùn)動，加速度與速度方向垂直，如圖(b)；而對于一般的曲線運(yùn)動，加速度的方向比較復(fù)雜，它往往與速度的方向即不平行又不垂直，如圖(c)。 由于一維的直線運(yùn)動非常簡單，我們下面的討論認(rèn)為質(zhì)點的運(yùn)動不是直線運(yùn)動。 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 速

19、度矢量： )( )()(ttvtvv其中 是沿著軌道切向，指向運(yùn)動方向的單位矢量。v(t)沒有法向分量。 )( tv加速度 ：ttdttdtt)()()(lim0vva tttttvttvttttvttttvttttvtttttt21) ( )() ()( ) ( )( 1 )( )() ( ) ( )() ()(vvvvvvvvvvttttt2010limlim)(vva切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 )( )() ( )() (limlimlim0020tdttdvttttvttvttttvvv該項沿軌跡的切向，也即是速度的方向，我們稱這一項為切向切向加速度加速度。 切向加速

20、度和法向加速度切向加速度和法向加速度 如圖知，求瞬時加速度至少需要在軌跡上取三個點。 在求加速度的過程中，每次只取三個點，而不在一條直線上的三個點可以唯一確定一個平面（我們已假定了質(zhì)點的運(yùn)動不是直線運(yùn)動），在取極限的過程中，這三個點所確定的平面也會隨之變化，最后會趨于一個極限的平面。我們認(rèn)為這個極限平面與P點附近的軌跡的關(guān)系最為密切，故稱該極限平面為密切平面（簡稱密切面）。不僅如此，不在一條直線上的三個點還可以唯一確定一個圓，于是，在我們的密切面上還有一個極限圓，我們認(rèn)為這個極限圓與點附近的軌跡的彎曲情況最為密切，故稱該極限圓為密切圓，又稱曲率圓，這個圓的半經(jīng)稱為曲率半徑。 設(shè)我們?nèi)∪齻€點P、

21、Q、Q1來求加速度。 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 )( )()( )( )( ) ( )(200010limlimlimlimttRtvtsRvttvtttttvtttttnnnvvvnvnva)()()( )()( )(2ntaatRtvtdttdvttdttdvat)( va)()(2tRtvanna其中：切向加速度，表示速度大小的變化法向加速度，表示速度方向的變化于是：)(tR曲率半徑切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 nvnva)()()( )()( )(2ntaatRtvtdttdvtt加速度的大小（絕對值）： 加速度： 22222222221)(dtds

22、RdtsdRvdtdvaatant)(trr 如果運(yùn)動方程 已知： 可以求得： )( , )(ttav可得軌跡上任意一點的曲率半徑為： | )()(|)()(3tttvtRva切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 如果以弧長 s 為坐標(biāo)，則 ：dtdsv 22dtsddtdvatdtavvttt 00dtdtavvdtssttttttt 0 0000可得：質(zhì)點的運(yùn)動在形式上與直線運(yùn)動相仿，所不同的是，質(zhì)點走的實際上是曲線。 自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系 neve , 21bnve3 這樣構(gòu)成的正交坐標(biāo)系稱為自然自然坐標(biāo)系坐標(biāo)系（有的書上稱為內(nèi)稟坐標(biāo)系、內(nèi)稟坐標(biāo)系、本性坐標(biāo)系、路徑本性坐標(biāo)系、路徑坐標(biāo)系坐標(biāo)系等） 當(dāng)質(zhì)點作空間運(yùn)