構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)綜合題

1、 WORD完美資料編輯 構(gòu)造輔助函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題對(duì)于證明與函數(shù)有關(guān)的不等式，或已知不等式在某個(gè)范圍內(nèi)恒成立求參數(shù)取值范圍、討論一些方程解的個(gè)數(shù)等類型問(wèn)題時(shí)，常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導(dǎo)研究其單調(diào)性或?qū)で笃鋷缀我饬x來(lái)解決；題目本身特點(diǎn)不同，所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，解題的繁簡(jiǎn)程度也因此而不同，這里是幾種常用的構(gòu)造技巧技法一：“比較法”構(gòu)造函數(shù)典例(2017廣州模擬)已知函數(shù)f(x)exax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為1(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex解(1)由f(x)exax，得f(x)exa因?yàn)閒(0)1a1，所以a2，所

2、以f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，得xln 2，當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無(wú)極大值(2)證明：令g(x)exx2，則g(x)ex2x由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)10，即x2ex方法點(diǎn)撥在本例第(2)問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)“x2，ex”具有基本初等函數(shù)的基因，故可選擇對(duì)要證明的“x2ex”構(gòu)造函數(shù)，得到“g(x)exx2”，并利用(1)的結(jié)論求解對(duì)點(diǎn)演練已知

3、函數(shù)f(x)，直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0(x01)處的切線，求證：f(x)g(x)證明：函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，則h(x)f(x)f(x0)設(shè)(x)(1x)e(1x0)ex，則(x)e(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上單調(diào)遞減，又(x0)0，當(dāng)xx0時(shí)，(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，h(x)在區(qū)間(，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，)上為減函數(shù)，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)技法二：“拆分

4、法”構(gòu)造函數(shù)典例設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線為ye(x1)2(1)求a，b；(2)證明：f(x)1解(1)f(x)aex(x0)，由于直線ye(x1)2的斜率為e，圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以即解得(2)證明：由(1)知f(x)exln x(x0)，從而f(x)1等價(jià)于xln xxex構(gòu)造函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)0，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g構(gòu)造函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0；

5、故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1)綜上，當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即f(x)1方法點(diǎn)撥對(duì)于第(2)問(wèn)“aexln x1”的證明，若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)aexln x1，求導(dǎo)以后不易分析，因此并不宜對(duì)其整體進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，而應(yīng)先將不等式“aexln x1”合理拆分為“xln xxex”，再分別對(duì)左右兩邊構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而達(dá)到證明原不等式的目的 對(duì)點(diǎn)演練已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x2y30(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)解：(1)f(x)(x0)由于直線x2y30的斜率為，且

6、過(guò)點(diǎn)(1,1)，故即解得(2)證明：由(1)知f(x)(x0)，所以f(x)考慮函數(shù)h(x)2ln x(x0)，則h(x)所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)0而h(1)0，故當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，可得h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，可得h(x)0從而當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)0，即f(x)技法三：“換元法”構(gòu)造函數(shù)典例已知函數(shù)f(x)ax2xln x(aR)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線x3y0垂直(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：當(dāng)nm0時(shí)，ln nln m解(1)因?yàn)閒(x)ax2xln x，所以f(x)2axln x1，因?yàn)榍芯€與直線x3y0垂直，所以切線的斜率為3，所以f(1

7、)3，即2a13，故a1(2)證明：要證ln nln m，即證ln，只需證ln 0令x，構(gòu)造函數(shù)g(x)ln xx(x1)，則g(x)1因?yàn)閤1，)，所以g(x)10，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增由已知nm0，得1，所以gg(1)0，即證得ln 0成立，所以命題得證方法點(diǎn)撥對(duì)“待證不等式”等價(jià)變形為“l(fā)n0”后，觀察可知，對(duì)“”進(jìn)行換元，變?yōu)椤發(fā)n xx0”，構(gòu)造函數(shù)“g(x)ln xx(x1)”來(lái)證明不等式，可簡(jiǎn)化證明過(guò)程中的運(yùn)算對(duì)點(diǎn)演練已知函數(shù)f(x)x2ln x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)；(3)設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為

8、sg(t)，證明：當(dāng)te2時(shí)，有解：(1)由已知，得f(x)2xln xxx(2ln x1)(x0)，令f(x)0，得x當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)0f(x)極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，t0，當(dāng)0x1時(shí)不存在tf(s)令h(x)f(x)t，x1，)由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增h(1)t0，h(et)e2tln ettt(e2t1)0故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立(3)證明：因?yàn)閟g(t)，由(2)知，tf(s)，且s1，從而，其中uln s要使成立，只需0ln u當(dāng)te2時(shí)，

9、若sg(t)e，則由f(s)的單調(diào)性，有tf(s)f(e)e2，矛盾所以se，即u1，從而ln u0成立另一方面，令F(u)ln u，u1，F(xiàn)(u)，令F(u)0，得u2當(dāng)1u2時(shí)，F(xiàn)(u)0；當(dāng)u2時(shí)，F(xiàn)(u)0故對(duì)u1，F(xiàn)(u)F(2)0，因此ln u成立綜上，當(dāng)te2時(shí)，有技法四：二次(甚至多次)構(gòu)造函數(shù)典例(2017廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)exmx3，g(x)ln(x1)2(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)m1時(shí)，證明：f(x)g(x)x3解(1)因?yàn)閒(x)exmx3，所以f(x)exm3x2因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的

10、切線斜率為1，所以f(0)em1，解得m0(2)證明：因?yàn)閒(x)exmx3，g(x)ln(x1)2，所以f(x)g(x)x3等價(jià)于exmln(x1)20當(dāng)m1時(shí)，exmln(x1)2ex1ln(x1)2要證exmln(x1)20，只需證明ex1ln(x1)20設(shè)h(x)ex1ln(x1)2，則h(x)ex1設(shè)p(x)ex1，則p(x)ex10，所以函數(shù)p(x)h(x)ex1在(1，)上單調(diào)遞增因?yàn)閔e20，h(0)e10，所以函數(shù)h(x)ex1在(1，)上有唯一零點(diǎn)x0，且x0因?yàn)閔(x0)0，所以ex01，即ln(x01)(x01)當(dāng)x(1，x0)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)

11、0，所以當(dāng)xx0時(shí)，h(x)取得最小值h(x0)，所以h(x)h(x0)ex01ln(x01)2(x01)20綜上可知，當(dāng)m1時(shí)，f(x)g(x)x3 方法點(diǎn)撥本題可先進(jìn)行適當(dāng)放縮，m1時(shí)，exmex1，再兩次構(gòu)造函數(shù)h(x)，p(x)對(duì)點(diǎn)演練(2016合肥一模)已知函數(shù)f(x)exxln x，g(x)extx2x，tR，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若g(x)f(x)對(duì)任意的x(0，)恒成立，求t的取值范圍解：(1)由f(x)exxln x，知f(x)eln x1，則f(1)e1，而f(1)e，則所求切線方程為ye(e1)(x1)，即y(e1)x1(2)f(x)exxln x，g(x)extx2x，tR，g(x)f(x)對(duì)任意的x(0，)恒成立等價(jià)于extx2xexxln x0對(duì)任意的x(0，)恒成立，即t對(duì)任意的x(0，)恒成立令F(x)，則F(x)，