抽樣調(diào)查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.PPT

1、1,2.1 定義與符號(hào),一、定義,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從含有N個(gè)單元的總體中隨機(jī) 抽取n個(gè)單元組成樣本,1.若抽樣是放回的,則所有可能的樣本有,個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率為 ，這種抽樣方 法稱為放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,2.若抽樣是不放回的,則所有可能的樣本有,法稱為不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,2,1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是等概抽樣,即每個(gè)總體單元都有相同的入樣概率; 2.隨機(jī)抽取是有嚴(yán)格要求的,不是隨便抽取，必須按照某一隨機(jī)原則進(jìn)行,注意,3,例 2.1】設(shè)總體有5個(gè)單元（1,2,3,4,5)，按,放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽2個(gè)單元，則所有可,放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣所有可能的樣本,4,例 2.2】設(shè)總體有5個(gè)單元（1,2,3,4,

2、5)，按,不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽2個(gè)單元，則所有可,不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣所有可能的樣本,在實(shí)際工作中，更多地采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所以 以下討論的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般都指不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,5,二、符號(hào),大寫字母表示總體單元的標(biāo)志值：如,小寫字母表示樣本單元的標(biāo)志值：如,調(diào)查的總體目標(biāo)量主要有,比例 P；兩個(gè)總體總量的比率 R,對(duì)估計(jì)精度進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要涉及到總體方差和,樣本方差等。下面分別列出,6,總體方差,樣本方差,還有一些其他符號(hào),分別說明如下,7,總 體,樣 本,將左邊式子中 的大寫字母改 為小寫字母,8,到的總體指標(biāo)的估計(jì)。如,估計(jì)量的方差用V表示，如,標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，如,9,2.2

3、簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì),無論調(diào)查對(duì)象是何種總體參數(shù)，其實(shí)所有估計(jì) 量通常都是樣本均值的某種線性組合，因此在抽樣 中不管討論何種估計(jì)的基本性質(zhì)，都只圍繞樣本均 值進(jìn)行。而對(duì)樣本均值這個(gè)核心估計(jì)量的研究則分 為兩個(gè)方面,一方面是求樣本均值對(duì)所有可能樣本的數(shù)學(xué)期望 （檢驗(yàn)估計(jì)量是否無偏,另一方面是求樣本均值對(duì)所有可能樣本的方差 （檢驗(yàn)估計(jì)量誤差的大小,10,為了討論簡(jiǎn)單估計(jì)的性質(zhì)，首先我們來看兩個(gè)引理： 引理一 從大小為N的總體中抽取一個(gè)樣本量 為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則總體中每個(gè)特定單元的入樣概率為,兩個(gè)特定單元都入樣的概率為,11,引理一的證明：在N個(gè)單元中取n個(gè)單元為樣本， 共有 個(gè)樣本。在 個(gè)樣本中

4、，包含某 個(gè)特定單元 的樣本數(shù)為： 每個(gè)樣本被 抽中的概率為：,同時(shí)包含兩個(gè)特定單元 的樣本數(shù)為 每個(gè)樣本被抽中的概率為,12,引理二 從總體規(guī)模為N的總體中抽取一個(gè)樣本量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。若對(duì)總體中的每個(gè)單元 ，引進(jìn)隨機(jī)變量 如下,由二項(xiàng)分布可知,13,所以，不難推出,14,下面我們用兩種與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中不同的方法 來證明這一性質(zhì)。思考：為什么不能用數(shù)理 統(tǒng)計(jì)中常用的方法,15,有了這些準(zhǔn)備，我們很容易證明,根據(jù)前面提到的關(guān)于 的定義，有下式,16,證明：對(duì)于一個(gè)大小為N的總體，樣本量為n的,17,18,其他幾個(gè)估計(jì)量的無偏性可容易推出,1、對(duì)于總體總量,2、對(duì)于總體比例,19,有限總體校正系

5、數(shù),20,證明方法一,21,即,22,證明方法二:由定義,而,23,因此有,24,即,25,證明:將 改寫成,26,由前面性質(zhì)1證明用過的對(duì)稱論證法有,由性質(zhì)2有,27,28,下面我們從關(guān)系式,可以推出其他幾個(gè)估計(jì)量的方差,29,總體總量的估計(jì)量方差是總體均值方差的直接 推導(dǎo)，下面我們來推導(dǎo)總體比例估計(jì)量的方差,30,設(shè)N個(gè)樣本單元中有N1個(gè)具有某一特性,即有N1個(gè)單元取值為1,有N-N1個(gè)單元取值為0,31,同理對(duì)樣本方差有,因此,32,同樣下面我們從關(guān)系式,可以推出,33,從式 可以看出，影響估計(jì)量方差的因素有,分析見教材P38,39,34,N通常很大，當(dāng)f0.05時(shí)，可將1-f近似取為1

6、，這時(shí)影響估計(jì)量方差的主要因素是樣本量n和總體方差 。 的大小是我們無法改變的，因此，要提高估計(jì)量的精度就只有加大樣本量,注 意,35,例2.3】我們從某個(gè)N=100的總體中抽出一個(gè) 大小為n=10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，要估計(jì)總體平均水 平并給出置信度95%的置信區(qū)間,解：依題意，N=100,n=10,f,樣本均值為,36,樣本方差為,因此，總體平均值的估計(jì)為,的方差為,的方標(biāo)準(zhǔn)差為,s,的置信度95%的置信區(qū)間為,即 2.4295，7.5705,37,V,38,注意:不放回時(shí)的方差為放回時(shí)的約1-f倍，而,1-f1,因此不放回抽樣的估計(jì)精度比放回抽樣的,估計(jì)精度高,39,例2.4】我們從某個(gè)N=1

7、00的總體中抽出一個(gè)大 小為n=10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，要估計(jì)總體總量并給 出在置信度95%的條件下，估計(jì)量的相對(duì)誤差,解 依題意，N=100，由例2.3可知,因此，對(duì)總體總量的估計(jì)為,1005=500,40,0,其標(biāo)準(zhǔn)差為,因此，在置信度95%的條件下（對(duì)應(yīng)的,t=1.96,的相對(duì)誤差為,41,例2.5,解：已知 n=200, a=130, 1-f1,某超市開張一段時(shí)間之后，為改進(jìn)銷售服務(wù)環(huán)境，欲調(diào)查附近幾個(gè)小區(qū)居民到該超市購物的滿意度。該超市與附近幾個(gè)小區(qū)居委會(huì)取得聯(lián)系，在整體中按簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)樣，抽取了一個(gè)大小為n=200人的樣本。調(diào)查發(fā)現(xiàn)對(duì)該超市購物環(huán)境表示滿意或基本滿意的居民有130位，要估

8、計(jì)對(duì)該超市購物環(huán)境持肯定態(tài)度居民的比例，并在置信度95%條件下，給出估計(jì)的絕對(duì)誤差和置信區(qū)間。假定這時(shí)的抽樣比可以忽略,42,在置信度95%的條件下，估計(jì)的絕對(duì)誤差為,的95%置信區(qū)間為,0.65,43,2.3 比率估計(jì)量及其性質(zhì),用樣本均值作為總體均值的簡(jiǎn)單估計(jì)量，具有 無偏等很多優(yōu)良性質(zhì)，且完全不依賴其它總體信息。 但是，若我們有與調(diào)查變量相關(guān)的其它信息（通常 稱為輔助變量信息）可以利用，則估計(jì)的精度可以 大大提高。這就是我們下面要講的比率估計(jì)和回歸 估計(jì),一、估計(jì)的概念,44,設(shè) 主要變量為：Y 輔助變量為：X 兩變量的比率為,總體均值的比估計(jì),其中,45,二、比率估計(jì)的特點(diǎn)及注意事項(xiàng),

9、1、使用比估計(jì)首先要知道輔助變量的總體均值（或總體總量），調(diào)查時(shí)，既要觀測(cè)主要變量的 值還要觀測(cè)輔助變量的值； 2、輔助變量必須與主要變量高度相關(guān)且整體上 應(yīng)相當(dāng)穩(wěn)定； 3、比估計(jì)雖然不是無偏的，但其精度要高于簡(jiǎn) 單估計(jì)量很多,下面我們看一個(gè)簡(jiǎn)單估計(jì)與比估計(jì)對(duì)比的例題,46,例,對(duì)以下假設(shè)的總體（N=6），用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽,樣抽取 n=2 的樣本，比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比率估計(jì)及簡(jiǎn) 單估計(jì)的性質(zhì),解,對(duì)這個(gè)總體，我們列出所有可能的,個(gè)樣本，以比較簡(jiǎn)單估計(jì)與比率估計(jì)的性質(zhì),47,48,由此，可以算出,49,總結(jié) 1、從計(jì)算表格中可以看出，均值的比估計(jì)很穩(wěn)定， 而均值的簡(jiǎn)單估計(jì)則波動(dòng)劇烈。 2、雖然比率估計(jì)

10、是有偏估計(jì)，但偏倚不大，而估計(jì) 量方差要比簡(jiǎn)單估計(jì)的方差小得多。 3、比估計(jì)是一種很好的估計(jì)量，是提高估計(jì)精度的 最有效的途徑。 4、思考：比估計(jì)為什么能大幅度地提高估計(jì)精度,50,對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣, n較大時(shí),比率估計(jì)具有以下性質(zhì),51,關(guān)于比率估計(jì)我們要說明 （或證明）以下幾個(gè)問題： 1、均值的比率估計(jì)不是無偏的； 2、偏倚是怎么產(chǎn)生的； 3、均值比率估計(jì)的均方誤差； 4、均方誤差的估計(jì),52,第一個(gè)問題可從上面的例題給予說明,第二個(gè)問題我們可以從下面的表達(dá)式說明,這里 是常量， 是隨機(jī)變量。估計(jì)量不是 隨機(jī)變量的線性函數(shù)。因此，估計(jì)量的偏倚是由R 的有偏性造成的,53,第三個(gè)問題，我們來

11、證明R估計(jì)的偏倚,54,因此,因而偏倚主要來自于等式右邊的第二項(xiàng),由,55,因此，偏倚的主要項(xiàng)為,同樣我們可以推出,56,57,對(duì)上述方差分別給出樣本估計(jì)式如下,58,例2.2】某縣在對(duì)船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量進(jìn)行調(diào)查時(shí)，對(duì)運(yùn)管部門登記的船舶臺(tái)帳進(jìn)行整理后獲得注冊(cè)船舶2860艘，載重噸位154626噸。從2860艘船舶中抽取一個(gè)n=10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，調(diào)查得到樣本船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量及其載重噸位如表（單位：噸），要推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量,59,60,因此,對(duì)該縣船舶在調(diào)查月完成貨運(yùn)量的比率估計(jì)為,方差的估計(jì)為,2.10617,61,標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為,如果用簡(jiǎn)單估計(jì)對(duì)貨運(yùn)量進(jìn)行估計(jì),則,由

12、此,得到比率估計(jì)量設(shè)計(jì)效應(yīng)為,對(duì)于本問題,比率估計(jì)量 比簡(jiǎn)單估計(jì)量的效率高,62,例2.3】在一項(xiàng)工資研究中，人們發(fā)現(xiàn)IT行業(yè)中， 從業(yè)者的現(xiàn)薪與起薪之間相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.88，已知 某IT企業(yè)474名員工的平均起薪為17016.00元/年， 現(xiàn)根據(jù)對(duì)100個(gè)按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式選出的員工現(xiàn)薪 的調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該企業(yè)員工的現(xiàn)薪平均水平。 已知,63,解】 1、在簡(jiǎn)單估計(jì)條件下,的95%的近似置信區(qū)間為,此處教材有誤(P51,64,2、在比率估計(jì)條件下,的95%的近似置信區(qū)間為,65,下面我們從理論上來比較簡(jiǎn)單估計(jì)與比率估計(jì)的誤差,比率估計(jì)量精度高于簡(jiǎn)單估計(jì)量的充要條件是,66,也就是說,比率估計(jì)比

13、簡(jiǎn)單估計(jì)更為精確,尤其是當(dāng) 時(shí)，只要相關(guān)系數(shù) ， 比率估計(jì)就要優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì),比率估計(jì)的其他問題看教材P53,67,2.4 回歸估計(jì)量及其性質(zhì),一、回歸估計(jì)的定義,的回歸估計(jì)量（regression estimatior)的定義為,如果=0，則回歸估計(jì)量就是簡(jiǎn)單估計(jì)量,68,歸系數(shù),穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值上，取最近一次調(diào)查,性質(zhì)2 對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣回歸估計(jì)量，作為,的方差分別為,69,協(xié)方差,的樣本估計(jì)量為,70,我們對(duì)上式兩端關(guān)于 求導(dǎo)數(shù)，得,71,72,三、為樣本回歸系數(shù)的情形,如果需要通過樣本來確定，很自然地,我們會(huì)想到用總體回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì),也就是樣本回歸系數(shù),這時(shí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣回歸估計(jì)量,

14、是有偏的。但當(dāng)樣本量,n充分大時(shí)，估計(jì)量的偏倚趨于零。因此，類似,比率估計(jì)量，回歸估計(jì)量也是漸近無偏的,73,且有,的一個(gè)近似估計(jì)為,74,例4.5】(續(xù)P72的例4.2)利用回歸估計(jì)量推算該縣船舶 調(diào)查月完成的貨運(yùn)量,解:根據(jù)例4.2中的計(jì)算結(jié)果可得樣本回歸系數(shù),從而,75,因此，該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量的回歸 估計(jì)為,為了估計(jì) ，先計(jì)算回歸殘差方差,所以,76,對(duì)于同一個(gè)題，我們來比較三種估計(jì)量的誤差差異,77,與例4.2的結(jié)果比較，對(duì)于本問題回歸估計(jì)優(yōu)于比率估計(jì)，而比率估計(jì)又優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)； 回歸估計(jì)優(yōu)于比率估計(jì)的原因是回歸直線可以不通過原點(diǎn)。 比較上述估計(jì)量的優(yōu)劣，一般是通過比較它們的

15、均方誤差或方差大小來進(jìn)行,78,關(guān)于簡(jiǎn)單估計(jì)、比率估計(jì)、 回歸估計(jì)的估計(jì)量方差比較,簡(jiǎn)單估計(jì)量,比率估計(jì)量,回歸估計(jì)量,79,由此可以看出(在不考慮偏倚的情況下）有以下結(jié)論,2.比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量的條件是,3.回歸估計(jì)量?jī)?yōu)于比率估計(jì)量的條件是,在不考慮偏倚時(shí)，回歸估計(jì)總是優(yōu)于比率估計(jì),1.回歸估計(jì)量總是優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量，除非 即一般而言有,80,如果不忽略偏倚，全面考慮比率估計(jì) 和回歸估計(jì)的均方誤差MSE，那情況會(huì)怎 么樣呢？ 下面我們通過教材P61.表213的實(shí)際 例題來分析比較。(略,看教材,81,2.4 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的實(shí)施,一、樣本量的確定原理 我們知道n的大小會(huì)影響抽樣誤差，因?yàn)槿?/p>

16、果 n越接近N，則抽樣誤差就會(huì)越接近于零，這一點(diǎn) 也清楚地體現(xiàn)在下面的式子里,三個(gè)因素決定 n,82,在上式中，N是已知的，S是無法知道的，所以要考 考慮影響n的重點(diǎn)應(yīng)該是抽樣誤差。 習(xí)慣上，不以 作為調(diào)查精度指標(biāo)，而是用置信度 和絕對(duì)誤差限度 替代抽樣誤差,根據(jù)雙側(cè)分位點(diǎn)的定義有,83,下面我們分別觀察等式右端各部分對(duì)n的影響,84,置信度對(duì)樣本量n的影響,絕對(duì)誤差限度d對(duì)樣本量n的影響,這里,85,總體方差對(duì)樣本量n的影響,這里,下面我們把置信度設(shè)為： 絕對(duì)誤差設(shè)為： 總體方差設(shè)為： 來觀察總體規(guī)模N對(duì)樣本量n的影響,86,總體規(guī)模N對(duì)樣本量n的影響,87,二、樣本量的確定步驟,第一步：確

17、定委托單位認(rèn)可的估計(jì)精度水平，包括 絕對(duì)誤差d和置信水平； 第二步：按照保守原則（寧大勿?。?，實(shí)施對(duì)總體 方差的預(yù)估； 第三步：根據(jù)上述給定的估計(jì)精度和總體方差的預(yù) 估值并考慮總體N的大小，以簡(jiǎn)單抽樣及回答率100% 為前提條件，按下面的式子計(jì)算初始樣本量n,88,第四步：確定抽樣方法，并根據(jù)不同抽樣方法的抽樣 效應(yīng)deff對(duì)樣本容量進(jìn)行調(diào)整,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的 分層隨機(jī)抽樣的 整群隨機(jī)抽樣的 系統(tǒng)隨機(jī)抽樣的,89,第五步：判定有效回答率，并根據(jù)有效回答率r對(duì) 樣本容量進(jìn)行再調(diào)整,第六步：為了獲得分組數(shù)據(jù)，要考慮適當(dāng)增加樣本量； 第七步：要考慮調(diào)查費(fèi)用，適當(dāng)調(diào)整樣本量,90,三、抽選方法,首先將總

18、體的N個(gè)單元從一到N編號(hào)，每個(gè)單元對(duì)應(yīng)一個(gè)號(hào)，如果抽到某個(gè)號(hào)，則對(duì)應(yīng)的那個(gè)單元入樣。要選出n個(gè)單元入樣，通常有兩種做法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法,1、抽簽法 當(dāng)總體不大時(shí)，可以用均勻同質(zhì)的材料制作N個(gè)簽，將它們充分混合，然后一次抽取n個(gè)簽；或一次抽取一個(gè)簽，但不放回，接著抽下一個(gè)簽直到第n個(gè)簽為止。則這n個(gè)簽上所示號(hào)碼表示入樣的單元號(hào),91,2、隨機(jī)數(shù)法,一) 隨機(jī)數(shù)表 隨機(jī)數(shù)表是由數(shù)字0，1，2，9組成的表，每個(gè)數(shù)字都有同樣的機(jī)會(huì)被抽中，用隨機(jī)數(shù)表抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，可用下面兩種方法,92,方法一 根據(jù)總體大小N的位數(shù)確定在隨機(jī)表中隨機(jī)抽取幾列。如N=678，要抽取n=5的樣本，則在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取3列，依次往下，選出頭5個(gè)001678之間互不相同的數(shù),93,方法二 若N的第一個(gè)數(shù)字小于5，且n較大，則方法一可能花費(fèi)較多的時(shí)間。如N=327，按方法一則328999的數(shù)都沒有用，這時(shí)采用下面的方法可能更好： 在隨機(jī)數(shù)