（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究.pdf

摘要 眾所周知，在矩陣?yán)碚摵途仃囉嬎阒?，矩陣的分解問題是非 常重要的問題當(dāng)我們有了一個( 類) 矩陣的某種分解，我們對這 個( 類) 矩陣肯定會有更多的了解，更有利于我們的分析和計算 另一方面，矩陣的分解在實際中也有重要的應(yīng)用例如，非負(fù)矩 陣的分解在信號處理、組合優(yōu)化、復(fù)雜性理論、概率論和人口統(tǒng)計 學(xué)及經(jīng)濟學(xué)等中有重要的應(yīng)用 本文研究的是非負(fù)矩陣中的素元這一方面是為研究非負(fù)矩 陣分解的需要；另一方面，在實際中也有重要的應(yīng)用例如，在系 統(tǒng)與控制論中的有限值過程的隨機實現(xiàn)問題、隱藏m a r k o v 模型的 實現(xiàn)問題、一個有限隨機系統(tǒng)的實現(xiàn)問題和一個正線性系統(tǒng)( 投 入、狀態(tài)和產(chǎn)出都取正值) 的實現(xiàn)問題等等( 上述實現(xiàn)問題中的主 要問題是刻劃系統(tǒng)的極小性，最后可把問題歸結(jié)為正線性代數(shù)中 的一類問題，即非負(fù)矩陣中素元的分類問題) 本文主要研究了雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣中的素元因 為任一n 階雙隨機循環(huán)矩陣都可以唯一地表示為移位的n 一1 次一 元多項式和任一佗階雙隨機矩陣都可以表示為置換矩陣的凸和， 從而可把雙隨機循環(huán)矩陣中素元的分類問題簡化為解雙隨機循環(huán) 矩陣上的一個方程的問題，把雙隨機矩陣中素元的分類問題簡化 為解雙隨機拉丁方上的一個方程的問題 本文第一章，我們將簡單介紹研究非負(fù)矩陣中素元的理論和 實際意義和素矩陣的研究現(xiàn)狀同時也將給出與本論文有關(guān)的幾 類非負(fù)矩陣和幾類半環(huán)中素元的定義和關(guān)系，以及有關(guān)的h u r w i t z 多項式的一些結(jié)果 第二章，主要研究了判別對應(yīng)向量的正元素全部相鄰的雙隨 機循環(huán)矩陣是否為素元的方法，研究了p i c c ig 等在文 4 7 】中所提 出的如下問題和猜想： 問題a 設(shè)a = c i r c ( a ) d s c 軍+ x n , 4 n ( a ) n ，且 口= 嵋k ( a a ，a n ( 口) ，0 ，o ) 碑，k 一1 ( 即a 的正元素相鄰) ，給出 判別a 是否是雙隨機循環(huán)矩陣中素元的方法 猜想a 設(shè)n 4 ，n 6 ，a = c i r c ( a ) d s 僻加，禮( 口) = n 一1 ，則 a 不是雙隨機循環(huán)矩陣中的一個素元 我們解決了問題a 和猜想a 當(dāng)佗( 口) = 5 時的情形，也給出猜 想a 成立的一個充分條件 第三章，研究了判別對應(yīng)向量的正元素不全相鄰的雙隨機循 環(huán)矩陣是否為素元的方法，完全解決了如何判別有位數(shù)3 或4 且對 應(yīng)向量的正元素不全相鄰的雙隨機循環(huán)矩陣是否為素元的問題 第四章，研究了雙隨機矩陣中素元的判別方法，解決了p i c c i g 等在文 4 7 中所提出的如下問題： n ! 問題b設(shè)a d 霹加( n 3 ) 能唯一表示成a = a i p i ，a = ( a l j ，o 州) t 掣，n ( a ) = 3 則a 是雙隨機矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng) 不存在向量b ，c 母，幾( 6 ) ，死( c ) 2 ，使 a = l m ( 6 ) c 成立，其中k ：卑2 一劇黼2 是由置換乘法誘導(dǎo)出的拉丁方( 見后 面定義4 2 3 ) 而存在向量6 ，c 掣，禮( 6 ) ，禮( c ) 2 ，使上式成立當(dāng)且 僅當(dāng)下述下標(biāo)方程和雙隨機拉丁方上的方程都有解： i ( 口) = ui ( l m ( 6 ) 巧) ， j e i ( e ) a t = l ，( 6 ) c r 其中a r = oi i ( 。) 肆，凡( o ，) = 3 ，島= ci i ( 。) s “，n ( 白) = n ( c ) ，l ，( 6 ) = l m ( 6 ) k ) i ( 。) 上述下標(biāo)方程的可解性條件已在文【4 7 】中刻劃出，這里的問 題是：如何刻劃上述雙隨機拉丁方上方程的可解性條件? 關(guān)鍵詞：非負(fù)矩陣；雙隨機矩陣；雙隨機循環(huán)矩陣；素矩陣；非 負(fù)矩陣分解 i i a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fm a t r i xf a c t o r i z a t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n ti nm a t r i x t h e o r ya n dm a t r i xc o m p u t a t i o n s i fw ek n o wak i n dd e c o m p o s i t i o no fa m a t r i x ，t h e nw ew i l lk n o wm o r ea b o u tt h em a t r i x i ti s b e n e f i c i a lt oo u r a n a l y s e sa n dc o m p u t a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，m a t r i xf a c t o r i z a t i o n sa r e u s e f u l li nr e a l i t y f o re x a m p l e ，f a c t o r i z a t i o n so ft h en o n n e g a t i v em a t r i c e sa r e i n t e r e s tt os i g n a lp r o c e s s i n g ，c o m b i n a t o r i a lo p t i m i z a t i o n ，c o m p l e x t yt h e o r y , p r o b a b i l i t y , d e m o g r a p h ya n de c o n o m i c se t c i nt h i sp a p e r ，p r i m e si nt h en o n n e g a t i v em a t r i c e sa r ee x p l o r e d o n o n eh a n d ，i ta r i s e si nd e c o m p o s i t i o n si nt h en o n e g a t i v em a t r i c e s ，o nt h e o t h e rh a n d ，i ti su s e f u l li nr e a l i t y f o re x a m p l e ，t h es t o c h a s t i cr e a l i z a t i o n p r o b l e mf o rf i n i t e - v a l u e dp r o c e s s ，t h er e a l i z a t i o np r o b l e mf o rt h eh i d d e n m o r k o vm o d e l ，t h er e a l i z a t i o np r o b l e mf o raf i n i t es t o c h a s t i cs y s t e m ，a n d t h er e a l i z a t i o np r o b l e mf o rap o s i t i v el i n e a rs y s t e m ( i nw h i c hi n p u t s ，s t a t e s ， a n do u t p u t st a k ep o s i t i v ev a l u e s ) e t c i nc o n t r o la n ds y s t e mt h e o r y ( t h e m a i nq u e s t i o nf o rt h e s er e a l i z a t i o np r o b l e m si st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fm i n - i m a l i t yf o rt h e s es y s t e m s t h eq u e s t i o nr e d u c e st oap r o b l e mo fp o s i t i v e l i n e a ra l g e b r a ，i e ，t h ec l a s s i f i c a t i o np r o b l e mo fp r i m e si nt h en o n n e g a t i v e m a t r i c e s ) i nt h i sp a p e rw em a i n l yi n v e s t i g a t ep r i m e si nt h ed o u b l ys t o c h a s t i c m a t r i c e s a n di nt h ed o u b l ys t o c h a s t i cc i r c u l a n t s s i n c ea n y 佗nd o u b l y s t o c h a s t i cc i r c u l a n tm a t r i xh a sau n i q u er e p r e s e n t a t i o na sap o l y n o m i a lo f d e g r e en - 1 i nan 凡s h i f to p e r a t o r ，a n da n yn 佗d o u b l ys t o c h a s t i cm a t r i x h a sar e p r e s e n t a t i o na sac o n v e xs u mo fp e r m u t a t i o n s ，t h ee l a s s i f i c a t i o n p r o b l e mo fp r i m e si nt h ed o u b l ys t o c h a s t i cc i r c u l a n t sc a nb er e d u c e dt ot h e s o l u t i o no fa ne q u a t i o no v e rad o u b l ys t o c h a s t i cc i r c u l a n tm a t r i x ，a n dt h e c l a s s i f i c a t i o np r o b l e mo fp r i m e si nt h ed o u b l ys t o c h a s t i cm a t r i c e sc a nb e r e d u c e dt os o l v a b i l i t yo fa ne q u a t i o no v e rad o u b l ys t o c h a s t i cl a t i ns q u a r e i nc h a p t e r1 ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ei m p o r t a n c eo fi n v e s - i i i t i g a t i n gp r i m e si nt h en o n n e g a t i v em a t r i c e si nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e ， a n dt ot h ec u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no np r i m e s m o r e o v e r ，s o m ed e f i n i t i o n s a n dt h e i rr e l a t i no np r i m e si ns e v e r a lc l a s s e so ft h en o n n e g a t i v em a t r i c e s a n di ns e v e r a lc l a s s e so ft h es e m i r i n g sw h i c hr e l a t et ot h i sp a p e ra r eg i v e n a tf i n a l ，s o m er e s u l t so nh u r w i t zp o l y n o m i a l sw h i c ha l eo fi n t e r e s tt ot h i s p a p e ra r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h em e t h o d so nh o wt od i s t i n g u i s h w h e t h e ram a t r i xw h o s e c o r r e s p o n d i n gv e c t o ri so fc o n s e c u t i v ep o s i t i v ec o i n - p o n e n t si sap r i m ei nt h ed o u b l ys t o c h a s t i cc i r c u l a n t s ，a n dap r o b l e ma n d ac o n j e c t u r ew h i c hw e r ep o s e db yg p i c c ie t c i n 【4 7 】，t h a ti s p r o b l e mal e ta = c i r c ( a ) d s 四n x n ，4 n ( a ) 0 ，i l ，2 ，n ) 定義1 2 1 4r 中兩多項式對夕( 入) ，九( 入) 稱為組成正多項式對，系 指下述二者之一： 1 若m = d e g 【夕( a ) 】= d e g h ( a ) ，q t ，屈系夕( a ) 與h ( a ) 之根，它們均負(fù) 實數(shù)且有 脅 o r l 尾 q 2 風(fēng) a m 0 2 若m = d e 夕函( a ) 】= 如9 限( a ) + 1 ，此時9 ( 入) 與 ( 入) 之根啦，屈均負(fù) 實數(shù)且有 q l 島 口2 風(fēng) 0 ，l 0 ，3 0 ， 2 a o 0 ，n 2 0 ，a 2 0 ，a 4 0 ， 3 a o 0 ，口1 0 ，q 3 0 ，a m 0 ，a 3 0 ， 4 a o 0 ，a l 0 ，a 3 0 ，2 0 ，a 4 0 ， 定理1 2 1 7 1 6 3 設(shè)，( 入) = 0 n + 一1 a n 一1 + + 口l 入+ 咖吲刈， 則： 1 若吼有 ( a ) 吼 0 ，i = 0 ，1 ，n ， ( b ) o i + l i z i 3 吼+ 2 啦一l ，i = 1 ，2 ，n 一2 ，貝9 ，( 入) 是h u r w i t z 多項 式 2 若，( 入) 是h u r w i t z 多項式，則 ( a ) 毗 0 ，i = 0 ，1 ，n ， ( b ) 啦+ 1 啦 啦+ 2 啦一l ，i = 1 ，2 ，n 一2 1 3 素矩陣的研究現(xiàn)狀及本文的結(jié)構(gòu) 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究 6 7 0 年代，b e r m a na 和p l e m m l o n sr j 等利用非負(fù)矩陣的關(guān)聯(lián)矩陣 ( 即把非零元換為非1 ，零元不變) 研究了非負(fù)矩陣中的素元，得到如 下充分條件： 定理1 3 1 設(shè)a 磁跏，五是a 的關(guān)聯(lián)矩陣如果對于某些i ，k 磊，i k ，有a 村五幽則a 是可分解矩陣( 即a 不是素矩陣也不是單 項式矩陣) 定理1 3 2 設(shè)a 殿黼，n 2 如果a 是完全不可分矩陣，且對于 所有i ，七磊，i k ，有( a “) r i i 七1 ，9 1 0a 是素矩陣 及如下一個值得注意的結(jié)果： 定理1 3 3設(shè)a 毋加，n 2 則a 是碎”中的素矩陣當(dāng)且僅 當(dāng)存在一個完全不可分素矩陣b 皿( r 2 ) ，一個非奇異對角矩陣 d r 擘1 ”，和n 階置換矩陣p , q ，使得p a q = bod ( 矩陣b 和d 的直和) 1 9 9 8 年，p i c c ig 等推廣了定理1 3 3 ，得到如下定理： 定理1 3 3 ， 設(shè)a 兄n ，扎 2 則a 是雕”中的素矩陣當(dāng)且 僅當(dāng)存在一個完全不可分雙隨機素矩陣b r v 7 ( r 2 ) ，單位矩陣 i 兄粵_ r ( ”，和幾階單項式矩陣尸q ，使得p a q = j e 7o ，即a 單項式等價于b o ， 定理1 3 3 7 把非負(fù)矩陣中素元的分類問題歸結(jié)為非負(fù)矩陣中完全不 可分雙隨機素元的分類問題，相關(guān)研究見 1 】 5 4 7 【5 3 5 7 】等因為非負(fù) 矩陣中的雙隨機素元也是雙隨機矩陣中的素元，因此，可把注意力集中 到研究雙隨機矩陣中的素元，見 4 7 】等 8 0 年代，陳繼承等研究了非負(fù)矩陣的非負(fù)秩分解，提出了平凡和非 平凡秩分解的概念： 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究 7 定義1 3 4 設(shè)a 冊n 有秩且a = b c 如果存在某個單項式矩 陣，使得b = a 蚜1 ，c = ，且 a ( 警) ， 則稱b c 是a 的一個平凡秩分解否則稱b c 是a 的一個非平凡秩分 解 并指出a 砰n 是一個素矩陣與a 只有平凡非負(fù)秩分解是等價 的得到定理1 3 1 3 的如下推廣： 定理1 3 5 設(shè)a 殿x nn 2 ，五是a 的關(guān)聯(lián)矩陣如果對于某些 i ，k 磊，i k ，有五“五幽則a 有非平凡非負(fù)秩分解 定理1 3 6 設(shè)a ，m 黼，n 2 如果a 是完全不可分矩陣，且對于 所有i ，k 磊，i k ，有( a “) r a 礎(chǔ)1 ，則a 只有平凡非負(fù)秩分解 定理1 3 7 設(shè)a 殿黼則a 只有平凡非負(fù)秩分解當(dāng)且僅當(dāng)存在數(shù) r 磊，一個完全不可分且只有平凡非負(fù)秩分解的矩陣b r 9 - n + r ) ， 一個非奇異對角矩陣d r 擘一) ( n 一，和m 階及n 階置換矩陣p q ， 使得p a q = bo d 因為由式子a = b c 可得a = b c ( a 表示a 的關(guān)聯(lián)矩陣) ，因此， 若a 是布爾矩陣中的素元，則a 是非負(fù)矩陣中的素元d ec a e nd 和 g r e g o r yd a 研究了布爾矩陣中的素元，給出判別布爾矩陣中素元的幾 個充分條件，通過布爾秩概念( 見下面定義1 3 8 ) 刻劃了完全不可分 素布爾矩陣，相關(guān)研究見【1 0 5 7 等 定義1 3 8 設(shè)a 為一n 階布爾矩陣使a = b c 成立的最小整數(shù)r 稱為a 的布爾秩，其中b ，c 分別為nxr 和rxn 布爾矩陣 1 9 9 3 年， c h oh h 研究了布爾矩陣中的素元和布爾矩陣的分解特 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究8 性，證明了每一個非置換的布爾秩為幾的布爾矩陣都能分解成布爾矩 陣中初等矩陣和素矩陣的乘積，見1 1 2 0 0 3 年，c h oh h ，k i ms r 利用鏈半環(huán)( 一個全序集其上的半環(huán)運算為a + b = m a x a 6 ，a b = m i n a 6 】- ，a ，b 是全序集半環(huán)上的元素) 上的半素矩陣( 素布爾矩陣和素 模糊矩陣的推廣) 和他們的行空間的關(guān)系研究了鏈半環(huán)上的半素矩陣， 證明了任一個非單項式、有滿半環(huán)秩( 半環(huán)秩的定義見下面定義1 3 9 ) 的矩陣都能分解成鏈半環(huán)上的初等矩陣和半素矩陣的乘積，見f 1 2 】 定義1 3 9 設(shè)a 螈( 冗) 為半環(huán)r 上的n 階矩陣使a = b c 成立 的最小整數(shù)r 稱為a 的半環(huán)秩，其中b ，c 分別為n r 和rx 佗階矩 陣 利用任一n 階雙隨機循環(huán)矩陣都可以唯一地表示為移位的n 一1 次 一元多項式和任一n 階雙隨機矩陣都可以表示為置換矩陣的凸和的事 實，1 9 9 8 年，p i c c ig ，v a n d e nh o fj m 和v a ns c h u p p e nj h 等研究了 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣中的素元，證明了如下重要結(jié)果：第一， 在雙隨機循環(huán)矩陣中： 定理1 3 1 0 設(shè)a d s 倪”具有位數(shù)n ，則a 不是雙隨機循環(huán)矩 陣中的素元 定理1 3 1 1 設(shè)a d s 僻炳( 3 ) 具有位數(shù)2 ，則a 是雙隨機循環(huán) 矩陣中的素元 定理1 3 1 2 設(shè)a = c i r c ( a ) d s c ? 期具有位數(shù)n ( o ) = 3 ，或4 ， 這里n = k ( a x ，a n ( 口) ，0 ，o ) 卑，k 心一1 ( 即口的正元素相鄰) ， 則： 1 a 是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng)： ( a ) 當(dāng)n ( o ) = 3 時，a ； 0 2 口3 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究 9 2 當(dāng)n ( a ) = 4 ，n = 5 時，a 不是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元 第二，在雙隨機矩陣中： 定理1 3 1 3 矩陣a d 鼴黼，n 2 是雙隨機矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng) a = 只( 臺j 0 ) 懇= p 1 ( a 。，) b ， 只，最p 似n ，n 1 ，n 2 n ，n 1 2 ，n 1 + n 2 = n ，a 1 d 躑1 期1 是雙隨機矩陣 中的完全不可分素元，i 兄? x n 。為n 2 階單位矩陣 定理1 3 1 4設(shè)a d 肆黼，a = 妻a i p i ，n 3 ，口= ( o l ，一，口。! ) t 掣，n ( a ) = 2 ，則a 是雙隨機矩陣中的完全不可分素元當(dāng)且僅當(dāng)存在一 個8 ( 0 ，1 ) ，使a 置換等價于 s ，+ ( 1 一s ) = s 1 一s 0 o 0 8 0 0 0 0 s 1 一s 1 一s 0 0 s d 貿(mào)x n 定理1 3 1 5 設(shè)a d 宰3 ，a = 妻a i p i ，o = ( 口l 一，a 6 ) t 肆，億( q ) = 3 ， 則a 是雙隨機矩陣中的一個完全不可分素元當(dāng)且僅當(dāng)a 置換等價于 ( 塞吼蘭奶口2 三口5 ) ， 這里a 碑滿足i ( n ) = ( 1 ，2 ，5 ) 見【4 7 本論文主要研究雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣中的素元在第二章， 研究了文 4 7 提出的如下問題和猜想： 問題a 設(shè)a = c i r c ( a ) d s 僻x n ，4 n ( a ) n ，且口= k ( 0 1 7 ，a n ( 口) ，0 ，o ) 。 艘，k m t ( 即。的正元素相鄰) ，給出判別a 是否是雙隨機循環(huán)矩陣中 素元的方法 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究1 0 猜想a 設(shè)n 4 ，n 6 ，a = d r c ( a ) d s 僻黼，n ( a ) = n 一1 ，則a 不 是雙隨機循環(huán)矩陣中的一個素元 解決了問題a 和猜想a 當(dāng)n ( o ) = 5 時的情形，也給出猜想a 成立 的一個充分條件在第三章，給出了判別有位數(shù)3 ，4 且對應(yīng)向量的正 元素不全相鄰的雙隨機循環(huán)矩陣是否為素元的方法在第四章，解決了 文 4 7 提出的如下問題： 一 問題b設(shè)a d 碑n ( n 3 ) 能唯一表示成a = 妻a i p i ，n = ( a l ，一，a n ! ) r 毋2 ，n ( o ) = 3 則a 是雙隨機矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng)不存 在向量b ，c 礎(chǔ)，n ( 6 ) ，佗( c ) 2 ，使 a = l m ( 6 ) c 成立，其中l(wèi) m 是由置換乘法誘導(dǎo)出的拉丁方( 見后面定義4 2 3 ) 而存 在向量b ，c 毋2 ，n ( 6 ) ，n ( c ) 2 ，使上式成立當(dāng)且僅當(dāng)下述下標(biāo)方程和雙 隨機拉丁方上的方程都有解： i ( o ) = ui ( l 。( 6 ) 町) j e i ( c ) a r = 厶( 6 ) c r 其中a r = 口i i ( 口) j s ：；，幾( n ，) = 3 ，c r = ci i ( 。) 算引，n ( c r ) = 佗( c ) ，厶( 6 ) = l m ( 6 ) k ) i ( 。) 上述下標(biāo)方程的可解性條件已在文【4 7 中刻劃出，這里的問題是： 如何刻劃上述雙隨機拉丁方上方程的可解性條件? 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究_ 1 1 1 4 基本符號 本文采用下面一些基本符號 非負(fù)整數(shù)集 o ，1 ，2 ，) 正整數(shù)集 集合 o ，1 ，2 ，n ) 集合 1 ，2 ，佗) 實數(shù)集 非負(fù)實數(shù)集 n 維實向量 n 維非負(fù)實向量 集合 z 霹l 鍪1 翰= 1 ) n 階實矩陣集 n 階非負(fù)矩陣集 雙隨機矩陣集 雙隨機循環(huán)矩陣集 n 階置換矩陣集 n 階布爾矩陣集 矩陣a 的轉(zhuǎn)置 實系數(shù)多項式環(huán) 非負(fù)多項式半環(huán)( 非負(fù)多項式即系數(shù)為非負(fù)數(shù)的多項式) 系數(shù)和為l 的非負(fù)多項式半環(huán) r 【z 】中所有h u r w i t z 多項式組成的集合 x 產(chǎn) 丸 2 瓦 心 磊 r 肌 艫 碑 鮮 臚 甲 畔 姍 嚴(yán) 玩 刖 酬 洲 刪 雙隨機矩陣和雙隨機循環(huán)矩陣的素元研究 1 2 第二章判別對應(yīng)向量的正元素全部相鄰的雙隨機循環(huán)矩陣 是否為素元的方法 2 1 引言 利用任一幾階雙隨機循環(huán)矩陣都可以唯一地表示為移位的佗一1 次 一元多項式，文【4 7 研究了判別對應(yīng)向量的正元素全部相鄰的雙隨機循 環(huán)矩陣是否為素元的方法，得到如下結(jié)果： 1 設(shè)a d s q “是一個具有位數(shù)n 的雙隨機循環(huán)矩陣，則a 不是 雙隨機循環(huán)矩陣中的素元 2 設(shè)a d s q ”( 3 ) 是一個具有位數(shù)2 的雙隨機循環(huán)矩陣，則a 是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元 3 設(shè)a = c i r c ( a ) d s c 2 - n 是一個具有位數(shù)竹( n ) = 3 ，或4 的雙隨 機循環(huán)矩陣，這里a = k ( 口1 - 一，a n ( 口) ，0 ，o ) 。卑，k 虬一1 ( 即a 的正元素相鄰) ，則： ( a ) a 是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng)： i 當(dāng)n ( a ) = 3 時， a 2 a a ( b ) 當(dāng)n ( o ) = 4 ，n = 5 時，a 不是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元 并提出如下問題和猜想： 問題a 設(shè)a = c i r c ( a ) d s 僻黼，4 n ( a ) 6 時矩陣a 是否是素元的一個充要條件( 該結(jié) 果連同第二節(jié)的結(jié)果，實際上已解決了問題a 當(dāng)n ( a ) = 5 時的情形) 2 2 判別有位數(shù)5 的6 階矩陣是否為素元的方法 設(shè)向量口= 落( 0 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，o ) 。霹，n ( a ) = 5 ，5 ，如何判斷 a = c i r c ( a ) 是否是素元? 我們有如下定理： 定理2 2 1 設(shè)向量a = 罐( 口1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，o ) 2 碑，n ( a ) = 5 ，忌5 則a = c i r c ( a ) 不是雙隨機循環(huán)矩陣中的素元當(dāng)且僅當(dāng)向量a 的非零元 素至少滿足下面條件之一： 1 a 2 a 3 a 4 一a l a 2 一a 5 a l o ； 2 a 2 a 3 6 4 - - a l a i - a 5 a ； 0 ，a 2 a 1 6 4 一a 3 a 2 一a 5 0 ，a 2 a 5 a 4 - - a l a 2 - - a 3 a i 0 ： 3 a 2 a l a 4 - a 3 a ；- a s a i = 0 ，或a 2 a 5 a 4 一a l 遁一a a a i = 0 ，或a 2 a 1 6 4 - - a 3 a ；一 a a a = 0 ，或a 2 a s a 4 一a l a ；一a s a i = o ； 4 a ( z ) = a s z 4 + 0 4 尹 4 - a 3 2 2 - 4 - a 2 z - 4 - a 1 = ( b 4 2 3 - 4 - b 3 2 2