彈性力學第四章 用極坐標解平面問題

1、第四章 用極坐標解平面問題4.1.極坐標中的平衡微分方程工程上常?？梢杂龅綀A形、環(huán)形、楔形或扇形類的結構物。在這些情況下，用直角坐標描述邊界條件會變得相當復雜，由于極坐標使得結構的邊界與坐標線一致，因而使邊界條件的描述更加簡單，使問題更易于求解。圖4.2單元體上的應力圖4.1極坐標下的應力符號首先我們定義極坐標中的應力分量和體積力分量。用夾角為的兩條極徑和兩條半徑相差為的同心圓弧截取一個微元體（圖4.1）。圓弧截面稱為面。面的法向沿徑向而且指向增加方向，這一圓弧面稱為正面，反之稱為負面。極徑截面稱為面。面的法向沿環(huán)向而且指向增加方向，這一極徑截面稱為正面。反之稱為負面。面上的正應力用表示，剪應

2、力用表示。面上的正應力用表示，剪應力用表示。用表示體積力在徑向的分量,用表示體積力在環(huán)向的分量。應力的符號規(guī)定與直角坐標下的規(guī)定完全相同：正面上指向正向（坐標增加的方向）的應力為正值應力，負面上指向負向（坐標減小的方向）的應力亦為正值應力，反之，為負值的應力。體積力符號規(guī)定也與直角坐標下的規(guī)定相同，指向坐標軸正向（坐標增加的方向）的體積力為正值，反之，為負值。直角坐標和極坐標之間具有嚴格的變換關系。從理論上說，我們完全可以通過坐標變換的方法由直角坐標的基本方程導出極坐標下的相應方程。但是，為了加深對極坐標下平衡方程物理意義的理解，我們?nèi)匀煌ㄟ^極坐標下的微分單元體的平衡導出極坐標下的平衡微分方程

3、。我們?nèi)∫粋€微分單元體研究，各個面上的應力分量和體積力如圖4.2所示。負面上的正應力為，剪應力為；正面的坐標比負面增加了，所以正面的應力和負面相比，應力產(chǎn)生了一個增量，分別為和。負面上的正應力為，剪應力為；正面的坐標比負面增加了，所以正面的應力和負面相比，應力產(chǎn)生了一個增量，分別為和。由于微分單元體厚度是1，所以負面的面積為，正面的面積為；正、負面的面積均為。體力為和。各面的合力對形心求矩，可以再次證明剪應力互等定理。 （4.1）取各面上的力在方向上的平衡，有：（a）由于是個微量，所以有和成立。把它們用于（a）式并略去高一階的無窮小量。利用剪應力互等定理并在方程兩邊同除以,整理后得 （b）再考

4、察各面上的力在方向上的平衡，同理可得： （c）（b）式和（c）式聯(lián)立得到一組平衡微分方程： （4.2）這個方程組中包含了、和三個獨立的未知函數(shù)，方程本身比直角坐標下的相應方程復雜得多。一般情況下，它的求解也復雜得多。4.2. 極坐標中的幾何方程及物理方程在4.1節(jié)中我們導出了三個應力分量應該滿足的平衡微分方程。但是僅僅通過兩個方程求解三個未知函數(shù)是不夠的，必須找到一個補充方程，也就是說要考慮變形幾何關系。首先要定義在極坐標中的應變分量與位移分量。比照在直角坐標中的應變分量的定義辦法，我們定義與應力相對應的應變，表示徑向線段的線應變（徑向正應變），表示環(huán)向線段的線應變（環(huán)向正應變），表示徑向線段

5、和環(huán)向線段之間的直角改變量（剪應變）。位移分量是按照位移的方向定義的，表示徑向位移，表示環(huán)向位移。圖4.3徑向位移變形幾何方程是描述位移和應變之間關系的一組方程。欲研究平面彈性體在極坐標下的變形，要選取相互正交的徑向線段和環(huán)向線段。徑向線段，環(huán)向弧線所含的弧度為，弧長。線段端點及其坐標分別為，和。由于極坐標中正交線段的位移可以看作沿徑向的位移和沿環(huán)向位移的合成。在分析位移與應變關系時我們分兩步完成，第一步先考察正交線段僅發(fā)生徑向移動（不考慮環(huán)向位移）所產(chǎn)生的位移與應變分量間的關系（圖4.3）。正交線段的徑向移動使點移動到點，位移為，點移動到點，由于、兩點極角相同，點極徑比點的極徑增加了，所以其

6、徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的位移為，這兩點的環(huán)向位移，的轉(zhuǎn)角為零。線段的伸長量可以通過兩個端部、兩點的位移差計算，產(chǎn)生的徑向線應變?yōu)?，?（a）正交線段的徑向移動同時使點移動到點，由于、兩點極徑相同，點極角比點的極角增加了，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的徑向位移為，這兩點的環(huán)向位移也有。同理，弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應變?yōu)?，?（b）由于、兩點徑向位移不同，就使得產(chǎn)生了一個轉(zhuǎn)角， （c）故剪應變?yōu)?（d）圖4.4環(huán)向位移第二步是在第一步的基礎上研究徑向位移后的兩條線段端點、和只發(fā)生環(huán)向位移而不發(fā)生徑向位移（圖4.4）。正交線段的環(huán)向移動使點移動到點，位移為，點移動到

7、點。點極徑比點的極徑增加了，所以其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的環(huán)向位移為， （e）這兩點的徑向位移。線段位移到后，其伸長量可以視為零，所以其徑向線應變 （f）正交線段的徑向移動使點移動到點，由于點極角比點的極角增加了，其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來增量，點的環(huán)向位移為：弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應變?yōu)?，也就是?（g）由圖4.5可以看出，線段位移到所轉(zhuǎn)過的角度包含兩部分，一部分是徑線轉(zhuǎn)動到的位置時剛體轉(zhuǎn)動角， （h）另一部分是環(huán)向位移使線段轉(zhuǎn)動到位置時轉(zhuǎn)過的角度，只有這一部分轉(zhuǎn)角才是正交線段的直角改變量，可以這樣計算 （i） （j）把兩種位移產(chǎn)生的徑向應變、環(huán)向應變和剪應變疊加 （k）把

8、（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到總的徑向應變、環(huán)向應變和剪應變與位移之間的關系，即幾何方程如下： （4.3）式中是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應變，是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度。所得到的平衡微分方程描述的力學量之間的關系，幾何方程描述的是幾何量間的關系。幾何方程要作為補充方程，必須把幾何量轉(zhuǎn)化為力學量，物理方程就為完成這種轉(zhuǎn)變提供了依據(jù)。物理方程是描述力和變形之間的關系的，在彈性力學中描述的是應力和應變之間的關系。由于極坐標也是正交坐標系，微分單元體和直角坐標是一致的，所以力和變形之間所遵循的規(guī)律是完全一致的，因此物理方程形式不變。在平面應力狀態(tài)下物理方程的極坐標形

9、式為 （4.4）寫成矩陣的形式為 （4.）按照與2.4節(jié)相同的做法，可以得到用應變表示應力的平面應力狀態(tài)下物理方程的極坐標形式 （4.5）其矩陣形式為 （4.）將（4.4）式中的和分別用和代換，可以得到平面應變狀態(tài)下物理方程的極坐標形式 （4.6）它的矩陣形式為 （4.）至此，我們已經(jīng)得到兩個獨立的平衡微分方程，三個幾何方程和三個物理方程，計八個方程，含有需要求解的八個未知函數(shù)，具備了求解的基本條件。4.3極坐標中的應力函數(shù)與相容方程圖4.6極坐標下的方向角在平面直角坐標系求解問題時，采用應力函數(shù)是一種行之有效的方法，我們在用極坐標求解時也試圖采用同樣的方法，為此我們需要導出極坐標下用應力函數(shù)

10、求解的基本方程。這里僅考慮體積力為常量的情況。首先把用直角坐標表示的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標表示。通過兩個坐標系的轉(zhuǎn)換很容易的得到應力函數(shù)從直角坐標系到極坐標的轉(zhuǎn)化，。下面我們用求在極坐標下對和的方向?qū)?shù)的方法導出極坐標下用應力函數(shù)描述的相容方程。和之間的夾角為（圖4.6），所以在極坐標下對的方向一階導數(shù)為 （a）把整體視為新函數(shù)，再求對它對的一階導數(shù)，即用它代替（a）式中的得到 (b)所以有 (c)由于方向?qū)?shù)比x方向的角度增加了，所以求應力函數(shù)在極坐標下對方向一階導數(shù)時僅需把對x方向求導的(c)式右邊各項中用代換即可。因此有即 （d）按照與推導（b）式相似的做法可以得到應力函數(shù)對、的混合導

11、數(shù)所以有 （e）把(c)式和（d）式相加得出拉普拉斯算子的極坐標表達式 （f）由于，所以用應力描述的變形相容方程為 （4.）（4.）式可以寫成 （4.7）把(c)式和（d）式代入應力函數(shù)表示的相容方程中就可以得到極坐標下的相容方程。 （4.8）把（4.6）市展開為 （4.）由此可以看出，用極坐標解答平面問題時，也和直角坐標一樣，只需選擇某一個應力函數(shù)，求出各應力分量，并要求它們能滿足所給彈性體所有的邊界條件即可。4.4.應力的坐標變換在4.3節(jié)我們已經(jīng)導出用極坐標描述的直角坐標應力、和，只要完成用直角坐標應力表示極坐標下的應力，把前面所得到的結果代入，不難導出極坐標下應力的應力函數(shù)表達式。這里

12、我們通過坐標變換完成兩種坐標系下的應力變換。圖4.6面上的應力變換在數(shù)學中可以用坐標變換矩陣給出坐標軸旋轉(zhuǎn)后一點的坐標與旋轉(zhuǎn)前的坐標之間的關系： （a）即 （b）如果直角坐標下的應力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的徑向（圖4.6），利用（2.）式可以得到斜截面上應力在向和向的分量為 （c）圖4.7面上的應力變換那么斜截面上應力在向和向的分量正是極坐標下的正應力和剪應力，由坐標變換可以得到它們與的關系： （d）把（c）式代入（d）式得到： （e）如果直角坐標下的應力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的切向（圖4.7），那么截面上應力在向和向的分量為 （f）那么斜截面上應力在向和向的分量正是極坐標

13、下的剪應力和正應力，由坐標變換可以得到它們與的關系： （g）把（f）式代入（g）式得到： （h）把（e）式和（h）式分別擴展為矩陣，而后相加就得到直角坐標應力分量變換成極坐標下的應力分量。 （4.9）用矩陣符號表示為 （i）式中 極坐標下的應力矩陣； 直角坐標下的應力矩陣；二維的坐標變換矩陣；二維的坐標變換矩陣的逆矩陣。把（4.9）式展開得到從直角坐標到極坐標下的應力變換公式 （4.10）通過對（i）式作矩陣運算可以求出從極坐標到直角坐標下的應力變換矩陣式 （j）把（j）式展開則得到從極坐標到直角坐標下的應力變換公式 （4.11）從理論上講，把4.3節(jié)導出的用極坐標描述的直角坐標應力，和代入到

14、（4.10）式中去，就可以得到極坐標下的應力與應力函數(shù)間的關系。這需要作一些煩瑣的運算。為簡單起見，我們給出4.3節(jié)導出的描述直角坐標應力的（c）式、（d）式和（e）式如下： （4.3c） （4.3d）（4.3e）把（4.3c）式、（4.3d）式與（4.11）式相比較，很容易得到 （4.12）可以證明:當時,(4.12)能滿足平衡微分方程(4.2)式。在極坐標下略去體積力分量而按應力求解平面問題時，可歸結為根據(jù)（4.8）式求出應力函數(shù)，然后根據(jù)（4.12）求出各應力分量，再使它們滿足邊界上的應力邊界條件，同時要滿足位移單值條件。4.5軸對稱問題的一般解圖4.8深埋的壓力管道在工程上有一些結構是

15、旋轉(zhuǎn)體，而且他們所承受的荷載及約束又是關于軸截面對稱的，如架空的或埋置較深的地下管道（圖4.8）、隧道以及機械上緊配合的軸套等。像這類構件的幾何形狀、受力及約束關于通過軸的平面對稱而且無體積力作用的彈性力學問題簡稱為軸對稱問題。取形心為極坐標的原點。由于彈性體內(nèi)的各力學量都是關于任意通過原點的軸為對稱的，所以同一圓周上的任意兩個單元體都是對稱的，其應力一定也是對稱的。換句話說，軸對稱問題的應力僅僅是極徑的函數(shù)，而與無關。由于在一個截面上是反對稱的應力，在軸對稱的情況下必不可能存在，即。同樣。可見，在軸對稱問題中僅僅存在和兩個應力分量，而且它們只是的函數(shù)，。我們首先求軸對稱問題的應力分量。由于不

16、考慮體積力，而且應力分量中不含，所以在軸對稱的條件下平衡微分方程（4.2）式中的第二式自然滿足。這樣一來，獨立的平衡微分方程只有一個： （4.13）其相容方程為 （4.14）（4.14）式可以寫成 （a）將（a）式積分兩次得到 （b）平衡微分方程（4.13）式改寫為把它與（b）式相加， （c）方程（c）的特解和相應的非其次方程的通解分別為， （d）由此得到徑向正應力和周向正應力分別為 （e）由于應力是有界的，所以必有。把（e）式中的常數(shù)重新命名得到： （4.15）此后，我們再求軸對稱問題的位移分量。由于并不知道坐標原點的約束情況，一般情況下位移是與極角有關的。把（4.15）式代入物理方程（4.

17、4）求出各應變分量，而后再用幾何方程（4.3）將應變分量用位移表示，則有 （f）由（f）第一式積分得 （g）把（g）式代入（f）式中的第二式，經(jīng)整理有把此式積分求得 （h）把（g）式（h）式代入（f）式中的第三式，得到 （i）對于兩個獨立的變量要保持（i）式恒成立，必須有 （k）由此得出 （j） （l）求解方程(j)，（j）式為線性微分方程，可用分離變量法求解:其通解為 （m）（l）式對求導，得出 （n）解之得 （p）把（p）式代入（l）式，運算后可求得 （q）把（p）式代入（g）式得把（m）式和（q）式代入（h）式得由此我們得出極坐標下軸對稱問題的位移解： （4.16）式中A、C、F、I、K

18、都是任意常數(shù)，其中F、I、K和2.3節(jié)中的w、u0、v0一樣，代表剛體位移(由位移邊界確定)。如果是平面應變問題，則僅需把式（4.16）做換成、換成的代換即可求得其位移分量。4.6受壓圓環(huán)或圓筒的解圖4.9承受內(nèi)壓和外壓的圓環(huán)深埋地下的受壓管道可以簡化為軸對稱的力學模型，截取單位厚度的薄片就可以視為平面應變問題。為了簡單起見我們首先分析平面應力問題，而后可以通過彈性系數(shù)的代換得到平面應變的解。單位厚度的厚壁圓筒內(nèi)半徑,外半徑，承受均布的內(nèi)壓力，外壓力（圖4.9）。該問題簡化為軸對稱問題，的內(nèi)邊界應力邊界條件為 （a）的外邊界應力邊界條件為 （b）根據(jù)4.5節(jié)，軸對稱的應力分量為 （4.17）顯

19、然，和自然能夠滿足。利用邊界條件（a）式和（b）式， （c）求解關于和的方程組（c）得到，把和的值代入（4.17）式，即得拉梅（Lame）解: （4.18）4.5節(jié)給出了軸對稱問題的位移分量為 （4.16）若適當給定約束條件，不僅彈性體無剛性位移，對稱面上亦無沿周向的位移，則圖4.10圓筒受內(nèi)壓，根據(jù)（4.18）式的結果討論幾種特例。1.只受內(nèi)壓（，）這是壓力容器最常見的受力方式，其應力為 （4.19）沿軸向受壓應力作用，沿環(huán)向受拉應力作用，分布狀態(tài)見圖4.10。最大壓應力和最大拉應力均在內(nèi)壁。，。圖4.11圓筒受外壓2.只受外壓（，）這是深埋管道的受力方式，其應力為 （4.20），均為壓應力

20、，分布狀態(tài)見圖4.11。徑向最大壓應力在外壁，而環(huán)向最大壓應力在內(nèi)壁。，當遠達于時，內(nèi)壁，3.無限域開圓孔在內(nèi)壓用下當時圖4.12圓孔的應力集中 （4.20）驗證圣維南原理：由圖4.12可以看出，在處，應力很小，可以不計，即在內(nèi)壓作用下，在處圓孔的影響可略而不計。4.針孔問題（應力集中）在含有針孔的大板受均勻分布的外壓時，在內(nèi)徑時可見，孔徑雖然很小，但孔邊應力卻提高了近2倍，這就是應力集中現(xiàn)象。工程實際中常在孔邊發(fā)生開裂，就是這個原因。4.7壓力隧洞（無限大彈性體內(nèi)的內(nèi)壓圓筒）像埋置較深的地下輸送液體或氣體的管道、帶有內(nèi)襯的地下巷道或隧道等結構物，在研究內(nèi)層管道本身的應力與變形的同時，常常需要

21、考慮外層材料的受力與變形。對這類問題的分析需要利用兩個彈性體在接觸面上的變形協(xié)調(diào)關系，所以它也是一種接觸問題。按接觸條件可以把接觸問題分為兩大類：一類是完全接觸，即兩彈性體的接觸面保持緊密接觸，不發(fā)生相對滑動。（a）在接觸面上的應力條件是正應力相等，剪應力也相等；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，環(huán)向位移也相等。另一類是非完全接觸，即兩彈性體的接觸面是光滑的，但接觸面依然保持緊密接觸。（a）在接觸面上的應力條件是正應力相等，剪應力等于零；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，而環(huán)向位移不相等（相對滑動）一般來說壓力隧洞屬于完全接觸。設圓管埋置的深度遠大于其直徑，可以視為圓筒是埋在無

22、限大彈性體中，管內(nèi)部受均勻分布的壓力（圖4.13）。管道材料的彈性常數(shù)、，彈性體材料的彈性常數(shù)、，求管道和外層彈性體的各應力分量。顯然這是一個軸對稱問題，它們的應力分布也是軸對稱的，所以4.5節(jié)和4.6節(jié)的結果（4.15）式和（4.16）式仍然適用。圖4.13壓力隧洞分別給出圓筒、無限大彈性體的應力與位移表達式，但須注意它們具有不同的材料彈性常數(shù)及積分常數(shù)。圓筒的各應力分量為： （4.17）無限大彈性體的各應力分量為 （4.21）在兩組方程中有四個待定常數(shù)。根據(jù)圣維南原理，當時無窮遠處應力近乎為零，所以在（4.21）式中有： （a）由此得出。要確定另三個待定常數(shù)還需要三個條件。利用圓筒內(nèi)表面的

23、邊界條件有 （b）無限大彈性體和圓筒的接觸面上，它們的面力是作用力與反作用力的關系，所以徑向面力相等：，把代入即有 （c）要確定還要利用兩個部分的變形連續(xù)條件。由于這里取出的單位厚度的薄片屬于平面應變問題，所以求圓筒的位移需要對（4.16）式進行換成、換成的代換，變?yōu)?（4.22）無窮遠處的彈性體內(nèi)各點位移為零，而且兩彈性體是完全接觸，所以約束可看作是軸對稱的，故有，也就是說，僅有存在。平面應變狀態(tài)下圓筒外邊界的徑向位移為： （d）同理，含圓孔的無限大體的位移為 （4.23）同樣，無限大體的位移中，即所以有。注意到，平面應變狀態(tài)下無限大體內(nèi)的徑向位移為 （e）在無限大體內(nèi)圓孔邊界的徑向位移為

24、（g）由于兩物體接觸面的徑向位移相等，即 （h）由第（h）式整理： （i）令,（i）式改寫成 （j）（b）式、（c）式和（h）式聯(lián)立 （k）求解關于A、C、A 的三元一次方程組（k）式求得 （k）把A、A 、C、C 回代到應力分量表達式（4.15）和（4.21）式中，得到各應力分量為：圖4.14壓力隧洞應力分布（4.24）當nr）。這就將薄板直邊界轉(zhuǎn)換為圓邊界（圖4.16），從而可以采用極坐標研究。在半徑為的圓周上各點受力狀態(tài)都是均勻拉伸狀態(tài)，即，由坐標變換式（4.10）式求得邊界上極坐標下的應力分量，以此作為無限遠處的應力邊界條件。圖4.16新建的邊界 （a）圓孔的邊界條件為：, （b）根據(jù)

25、無限遠處應力邊界條件可以看出：和的分布是關于軸和軸對稱的，是周期為的函數(shù)，而是關于軸和軸反對稱，也是周期為的函數(shù)。為此，設板內(nèi)各點的三個應力分量函數(shù)形式具有與遠處應力相類似的形式，分別為： （c）把（c）式分別代入平衡微分方程（4.2）式和相容方程（4.7）式可得 (d)要使（d）式中關于自變量的函數(shù)sin2或cos2的多項式恒為零，得到兩組方程：第一組方程 (e)比照4.5節(jié)中方程（4.12）式的解法，同樣利用應力的有界性，由方程組（e）解得 （f）第二組方程 （g）（g）式中的第三式是關于的歐拉方程，它的特征根，所以它的解為 (h)（g）式中的第一式減去第二式，把（h）式代入其中后可以得到

26、 (i) (j)(h)式和(j)式相減得到 （k）代入方程（g）式中的第二式即 （l）方程（l）的一個特解為方程（l）的通解是 把h代入（j）式和（k）式中，得到 由于應力是有界的，所以。由此得出應力的函數(shù)表達式 （m）利用應力邊界條件確定常數(shù)，的外邊界的應力邊界條件（a）為 （n）由此確定出常數(shù)和，。利用的內(nèi)邊界上的應力邊界條件,則有 （p）由此得出,。含圓孔的無限大板單向均勻拉伸下的解為 (4.25)在的孔邊，環(huán)向應力圓周上環(huán)向應力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-1：表4-1圓周上幾個重要的應力數(shù)據(jù)在的徑線上環(huán)向應力的徑線上環(huán)向應力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-2：表4-2徑線上幾個重要的應力數(shù)據(jù)圖4.

27、17給出了三條徑線上環(huán)向應力的分布情況。研究圓孔邊的應力分布可以看出，孔邊附近的局部區(qū)域應力發(fā)生應力增大的現(xiàn)象，我們稱之為應力集中?？走叺淖畲髴εc無孔時應力的比值稱為應力集中系數(shù)。在的圓周上，時，有最大值 (4.26)孔邊的最大應力比無孔時提高了2倍。圓孔的應力集中系數(shù)。圖4.17孔邊的應力分布當時，在軸上應力已接近于均勻分布。說明時圓孔的影響已經(jīng)很小，這再次驗證了圣維南原理的正確性。沿著的軸方向環(huán)向應力為處，；在處，（圖4.17）。在的區(qū)間內(nèi)，壓應力的合力為換言之，當圓孔處于壓應力作用下時，在孔邊也會產(chǎn)生最大值為的拉應力。對于抗拉性能較差的材料來說特別應該注意。所得到的單向均勻拉伸應力場中

28、圓孔的解可以很容易用于求解雙向均勻拉伸圓孔（圖4.18）的應力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到向拉伸的解。如果向分布力的集度為（圖4.18b），向分布力的集度為（圖4.18c），那么用疊加法可求得雙向均勻拉伸情況下圓孔邊的應力解（圖4.18a）（a） （b） （c）圖4.18兩向均勻拉伸情況下應力場的疊加 （q）即使在任意平面應力狀態(tài)下，只要應力變化梯度不大而且圓孔直徑又足夠小?？梢韵惹蟪鲈搮^(qū)域內(nèi)的主應力、（或）。令，（或），再利用（q）式計算圓孔的應力集中。嚴格地說這樣做是有誤差的，但其結果仍可以給出有實用價值的初步估算。4.9平面楔頂部受力.半無限平面受法向力4.9.1.平

29、面楔頂部受力有一單位厚度的平面楔，楔體的中心角為2，下端當作無限延伸。在楔頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用（圖4.19），不計體積力，計算楔形體中的應力。圖4.19a平面楔受集中力我們采用主應力坐標系求解該問題較為簡單。為此，我們首先建立主用力坐標系并導出拉梅麥克斯韋爾方程。所謂主應力坐標系是指由兩個主力的跡線所構成的坐標系。彈性體內(nèi)的主應力、正交，主應力的跡線為，主應力的跡線為。規(guī)定由轉(zhuǎn)到逆時針向為正，而且增加時應力矢量逆時針向轉(zhuǎn)時為正向（圖4.20）。在主應力坐標系下，每個以兩組平行的坐標面截得的微單元體上僅有正應力和作用，而沒有剪應力作用。令， (a)圖4.20主應力坐標系根

30、據(jù)斜方向上的應力公式可以得到、方向的應力分別為 (4.27) 把（4.27)式代入平衡微分方程（2.2）式的第一式，注意到、和都是、的函數(shù)。那么主應力坐標系下的平衡微分方程為 （b）為了簡單起見，現(xiàn)在就主應力跡線恰好與方向一致，而且主應力跡線也恰好與方向一致的特殊情況導出主應力跡線坐標下的平衡微分方程。由于我們并不確知單元體上兩個主應力的大小，這里把和方向一致的主應力作為，和方向一致的主應力作為并不影響對問題的討論。顯然，時，所以（b）式可以寫成 （c）把（a）式代入（c）式，正是主應力跡線曲率，用曲率半徑表示為，所以有 （d）做與此相同的推導，可以把平衡微分方程（2.2）的第二式也寫成用主應

31、力及其跡線的曲率表示的形式，由此得出主應力坐標下的平衡微分方程拉梅麥克斯韋爾方程。 （4.28）楔頂部受集中荷載F的邊界條件為，顯然，的直線都是主應力跡線。由于本問題屬于對稱問題，所以的對稱面上沒有剪應力作用，直線也是一條主應力跡線。顯然三條主應力跡線交于一點。根據(jù)主應力跡線的性質(zhì)可以推斷：三條主應力跡線的交點就是這種主應力跡線的一個交匯點，也就是說的主應跡線是匯聚于的射線族。另一組主應力跡線與該射線族中各條主應力跡線正交，故必為一組以為圓心的同心圓弧?？梢娭鲬E線坐標系的坐標線正是極坐標的極徑線，而坐標線正是環(huán)線，即，。這時曲率半徑有，而且，。方程（4.28）作如上代換，主應力跡線坐標系極

32、坐標系下的平衡微分方程變?yōu)?(e)由(e)式中的第二式積分得到根據(jù)邊界條件，所以 (f)把(f)式代入（e）式的第一式，得出解此方程得到 (g)把(f)式和(g)式代入應力表示的相容方程（4.7）式 (h)由（h）式得為自變量，所以有解之得到代入（g）式，有 （i）式中I、J是待定常數(shù)，要確定I、J 必須利用頂部的合力條件。取半徑為的部分楔體，利用隔離體在向和向的平衡：解得，半無限楔體頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用下的應力解為 （4.26）圖19b平面楔頂受集中力如果平面楔頂受任意集中力，可以把集中力分解為沿對稱面x向的Fx和y向的Fy(圖3)。平面楔頂僅受Fy作用又可以轉(zhuǎn)化受兩

33、個作用的反對稱問題，其應力也必然是反對稱的。如果x軸截面存在剪應力，根據(jù)剪應力互等定理知道圓弧面上的剪應力分布違背了反對稱規(guī)律?？芍獂面上，同樣得出主應力跡線坐標系與極坐標系是等價的結論?？砂瓷鲜鼋夥?，只需將邊界條件改為這樣可得解為 （11）由此不難得到受斜任意集中力F作用時的解，通常稱為密切爾解。4.9.2.半無限平面受法向集中力圖4.21半無限平面受法向力如果，則上述問題轉(zhuǎn)化成半無限平面受法向力（圖4.21）。單位厚度上的力為F ，邊界條件為，。在（4.26）式中令，則得到半無限平面受法向集中力的解 （4.27）由（4.27）式的第一式得出 (k)(k)式表明，直徑圓上各點，應力是相等的，

34、此時應力解可以表示成 （4.）4.9.3.半無限平面受法向力的位移計算（4.27）式代入物理方程（4.4）式，得出位移分量 （l）把（l）式代入幾何方程（4.3）式得到 （m）由（m）式的第一式對積分得到徑向位移 (n)把（n）式代入（m）式的第二式，經(jīng)運算可以得到 （o）該式對積分得到環(huán)向位移 （p）把（n）式和（p）式代入（m）式的第三式，得到 這是一個分別以和為自變量的兩個函數(shù)構成的恒等式，由此可以得到關于函數(shù)和函數(shù)的兩個方程。第一個方程是 （q）即求解得到 （r）第二個方程是 （s）方程（s）是積分方程，對求導得到微分方程 （t）方程（t）對應的齊次方程的通解為方程（t）的一個特解為所

35、以方程（t）的解為 （u）把（u）式代入（s）式，可以得出 （v）把（u）式、（v）式和（r）式分別代入(n)式和（p）式得出半無限平面內(nèi)各點的位移分量把和帶入到（p）式可得到，得到的位移分量寫成 （w）式中、和為待定常數(shù)。根據(jù)對稱性知道，在處，環(huán)向位移，即由此得出。把它們代入（w）式便得到半無限平面的位移解 （4.28）式中表示剛體位移，必須利用約束條件才能確定。對稱軸上各點的位移為半無限平面邊界上各點的位移為 （x）我們把半無限平面邊界上各點沿向的位移稱作沉降量。由于無法確定，所以只能選取一個足夠遠的基點作為相對位移的參考點。把要求點的位移相對基點的差值作為相對沉降量（圖4.22）?；c距

36、荷載作用點的距離為，極角，其位移為 （y）到荷載作用點的距離為，極角的點M,其位移為圖4.22沉降量的計算 （z）邊界上M點相對于基點的沉降量為由此得出沉降量公式 （4.29）4.10 半無限平面體在邊界上受分布力圖4.23 應力影響線在工程中，常常遇到半無限平面所承受的荷載分布范圍較大，已不宜作為集中荷載處理。這時我們則把這種情況簡化為半無限平面受分布力作用，可以通過對半無限平面受集中荷載解的積分得到新問題的解。半無限平面直角坐標下的應力分量可通過對（4.9）式進行坐標變換得到展開后得到 （a）半無限平面受集中力作用，直角坐標下的應力分量為 （4.30）集度為的面力作用于半無限平面的邊界上，

37、現(xiàn)在要求任意一點處的應力分量。為此，我們以應力為例，介紹應力影響線的概念。（4.30）式給出了在點作用的一個單位的法向集中力所產(chǎn)生的應力，它的分布如圖4.23中關于軸對稱的曲線，在M處的應力為縱坐標的值。同樣，如果一個單位的法向集中力作用于M點所對應的A點，那么它所產(chǎn)生的應力分布如圖4.23中關于直線對稱的曲線。這兩個集中力所產(chǎn)生兩條分布曲線是對稱圖形?？梢钥闯觯琌點的力在M處產(chǎn)生的應力等與A點的力在處產(chǎn)生的應力。換句話說，O點的力在M處產(chǎn)生的應力等與A點的力所產(chǎn)生的應力分布曲線上O點下方的線段，即可見，A點作用力的應力分布曲線就是O點的力在M處產(chǎn)生的應力的影響線。作用于處微段上的所引起的各應

38、力分量在M點的值是下方應力影響線下曲邊梯形的面積。 （b）對（b）式進行積分就可以得到整個分布荷載在點M所產(chǎn)生的應力值 （4.31）如果分布在到間的荷載的集度為常量，則各應力分量為 （4.32）設單位力均勻分布在半無限平面邊界從到間的一段邊界上，分布的集度為，求離分布力中心I點為的一點K的沉降量。我們根據(jù)位移互等定理建立K點沉降量的影響線（圖4.23）。邊界A點處的單位力在K點產(chǎn)生的沉降等于K點的力在A點的沉降量，所以把單位力作用于K點產(chǎn)生的沉降曲線作為K點沉降量的影響線。那么引起的K點沉降可由（4.30）式計算圖4.23 K點的沉降影響線 （c）式中 為到K點的距離；與基點B的距離。由于隨變

39、化，為了簡化上式，設基點B的距離取得很遠，則，積分時將視為常數(shù)。若K點在荷載分布區(qū)間之外，則K點沉降量為 （d）所以 （4.33）式中 （e）若K點在荷載分布區(qū)間的中點，則 （4.34）積分結果仍為（4.33）式，常數(shù)仍由（e）式計算。但。當為整數(shù)時（含）可以由表（4-3）查出的數(shù)值。如果是平面應變問題，則需要做和代換。表4-3半無限平面沉陷公式中的值0123456789100-3.296-4.751-5.574-6.154-6.602-6.967-7.726-7.544-7.780-7.99111121314151617181920-8.181-8.356-8.516-8.664-8.802-8.931-9.052-9.167-9.275-9.378習 題4-1 試比較極坐標和直角坐標中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，指出哪些項是相似的，哪些項是極坐標中特有的?并說明產(chǎn)生這些項的原因。4-2 試導出