福建省寧德市城澳中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

福建省寧德市城澳中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=18－a5，則S8=（

）A．18

B．36

C．54

D．72參考答案：D2.已知不等式組的解集記為D，則對(duì)?（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值時(shí)的最優(yōu)解是（）A．（2，1） B．（2，2） C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．設(shè)z=2x﹣y，則y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x﹣z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x﹣z的截距最小，此時(shí)z最大．即，即C（2，1），故使得2x﹣y取最大值時(shí)的最優(yōu)解是（2，1），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．3.一已知等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a4+a5=42，則S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147參考答案：A【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)求出a4的值，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S7的值．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故選A．4.設(shè)是虛數(shù)單位，集合，，則為（ ）A.

B.

C. D.參考答案：D略5.．已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6}，設(shè)映射f：A→B使集合B中的元素在A中都有原象，這樣的映射個(gè)數(shù)共有（

）A．16 B．14 C．15 D．12參考答案：B6.曲線y=x3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A,△OAB(O是原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,則切線l的傾斜角為

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°參考答案：C7.如圖，△ABC中，||=3，||=1，D是BC邊中垂線上任意一點(diǎn)，則?（﹣）的值是(

) A．1 B． C．2 D．4參考答案：D考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：由D是BC邊中垂線上任意一點(diǎn)，不妨取BC的中點(diǎn)，則?（﹣）==，代入可求解答： 解：∵D是BC邊中垂線上任意一點(diǎn)，不妨取BC的中點(diǎn)即可又∵||=3，||=1，∴?（﹣）===故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的表示，注意解答本題的方法：一般問題特殊化的應(yīng)用8.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是（）

參考答案：A9.下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中，構(gòu)成映射的是 參考答案：D略10.（5分）為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011參考答案：C【考點(diǎn)】：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】：壓軸題．【分析】：首先理解⊕的運(yùn)算規(guī)則，然后各選項(xiàng)依次分析即可．解：A選項(xiàng)原信息為101，則h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為11010，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)原信息為110，則h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以傳輸信息為01100，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)原信息為011，則h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為10110，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)原信息為001，則h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以傳輸信息為00011，D選項(xiàng)正確；故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查對(duì)新規(guī)則的閱讀理解能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）（2015?上海模擬）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f﹣1（x），若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，則x=．參考答案：【考點(diǎn)】：反函數(shù)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由反函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則其反函數(shù)的性質(zhì)一定過點(diǎn)（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由題意函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則其反函數(shù)的性質(zhì)一定過點(diǎn)（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查反函數(shù)，求解本題關(guān)鍵是理解反函數(shù)的性質(zhì)，由此得出2x+1=2．12.=

．參考答案：略13.已知P是圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A(,1)，則的最小值為______.參考答案：2(-1)略14.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則函數(shù)的最大值是________________.參考答案：略15.函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為

參考答案：16.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：

則=

，若存在正整數(shù)k，使，則k=

。參考答案：,2017.若“”是“”的充分不必要條件，則的最大值為_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.命題P:實(shí)數(shù)滿足，其中；命題Q：實(shí)數(shù)滿足或，且是的必要條件，求的取值范圍參考答案：命題P:實(shí)數(shù)滿足，其中；命題Q：實(shí)數(shù)滿足或，且是的必要條件，求的取值范圍解：P:設(shè)A==---------3分

Q:B==---------7分

：

：，又是的必要條件--------------11分即的取值范圍是-------------12分略19.已知圓C1：x2+y2=r2（r＞0）與直線l0：y=相切，點(diǎn)A為圓C1上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，且動(dòng)點(diǎn)M滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】KP：圓錐曲線的范圍問題；J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x軸于點(diǎn)N．推出N（x0，0）．通過直線與圓相切，求出圓的方程，然后轉(zhuǎn)化求解曲線C的方程．（2）①假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，通過，以及弦長(zhǎng)公式，利用基本不等式求出范圍．②若直線l的斜率不存在，設(shè)OP所在直線方程為y=x，類似①求解即可．【解答】解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x軸于點(diǎn)N．∴N（x0，0）．又圓與直線即相切，∴．∴圓．由題意，，得，∴．∴，即∴將代入x2+y2=9，得曲線C的方程為．（II）（1）假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化簡(jiǎn)可得，．將（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．將代入，可得=．∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．又由，∴，∴．（2）若直線l的斜率不存在，因以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，故可設(shè)OP所在直線方程為y=x，聯(lián)立解得，同理求得，故．綜上，得．20.已知函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，.(1)求的值；(2)證明：對(duì)于任意，等式都成立.參考答案：（1）0；（2）見解析【分析】（1）由于求兩個(gè)函數(shù)的相除的導(dǎo)數(shù)比較麻煩，根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為：，然后兩邊求導(dǎo)后，根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得：，把代入式子求值；（2）由（1）得，和，利用相同的方法再對(duì)所得的式子兩邊再求導(dǎo)，并利用誘導(dǎo)公式對(duì)所得式子進(jìn)行化簡(jiǎn)、歸納，再進(jìn)行猜想得到等式，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立，主要利用假設(shè)的條件、誘導(dǎo)公式、求導(dǎo)公式以及題意進(jìn)行證明，最后把代入所給的式子求解驗(yàn)證．【詳解】（1）∵，∴，則兩邊求導(dǎo)，，∵為的導(dǎo)數(shù)，，∴，兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，，將代入上式得，；（2）證明：由（1）得，，恒成立兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，，再對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，同理可得，兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，，猜想得，對(duì)任意恒成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立：當(dāng)時(shí)，成立，則上式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即，∵又，∴那么（且）時(shí)．等式也成立，由①②得，對(duì)任意恒成立．令代入上式得，，所以，對(duì)于任意，等式都成立．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)公式和法則、誘導(dǎo)公式，以及數(shù)學(xué)歸納法證明命題、轉(zhuǎn)化思想等，考查了學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，以及邏輯思維能力．21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(x))處與直線y＝8相切，求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．參考答案：(1)f′(x)＝3x2－3a.因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝±.當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．故x＝－是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是f(x)的極小值點(diǎn)．22.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（）．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；不等式的證明．【分析】（Ⅰ）根據(jù)f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分類討論求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要證的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根據(jù)|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，從而得到所證不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣