2025高考數(shù)學【考點通關】考點歸納與解題策略鞏固練05基本不等式及其應用12種常見考點全面練(精練99題)(原卷版+解析)

鞏固練05基本不等式及其應用12種常見考點全面練（精練99題）考點1基本不等式的內(nèi)容及辨析1．（2023·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設AC=a，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西寶雞·二模）設a，，則“a+b≥2”是“”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．考點2由基本不等式比較大小5．（2024·山東·模擬預測）已知，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖南岳陽·二模）設，，，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高三下·北京·階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高三下·全國·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．9．【多選】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．10．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．11．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．12．【多選】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．13．【多選】（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知正數(shù)a，b滿足，，則（

）A． B．C． D．14．（2023·四川成都·模擬預測）已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則大小關系為（

）A． B．C． D．15．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A．B．a(chǎn)1<a2 C．a(chǎn)1考點3由基本不等式證明不等關系17．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知，，且滿足.(1)證明：；(2)求的最小值.18．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知a，b，c均為正實數(shù)，且．(1)求abc的最大值；(2)求證：．19．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)，實數(shù)滿足．(1)解不等式；(2)證明：對任意實數(shù)，使．20．（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．21．（2024·全國·模擬預測）已知正實數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．22．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．23．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).考點4基本不等式求積的最大值24．（2024·浙江·模擬預測）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．25．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為．26．（2024·河南信陽·模擬預測）若實數(shù)，滿足，則.27．（2024·天津·模擬預測）若，，且，則的最小值為28．（2024·重慶·模擬預測）設且，則的最大值為29．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知直線與直線，若，則的最大值為.30．【多選】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為31．【多選】（2022·廣東佛山·一模）在中，所對的邊為，設邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為32．（2024·四川·模擬預測）設球的直徑為，球面上三個點，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．833．（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50考點5基本不等式求和的最小值34．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）下列函數(shù)最小值為4的是（

）A． B．C． D．35．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．36．（2024·安徽阜陽·模擬預測）已知，則的最小值為.37．【多選】（2024·福建泉州·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B．C． D．38．（2024·陜西西安·模擬預測）函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為．39．（2024·山東泰安·模擬預測）已知點在橢圓上，，是該橢圓的兩個焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．40．（2024·江西·模擬預測）已知平面向量，，其中，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2024·北京·三模）在中，分別是角的對邊，且，則角的取值范圍為．42．（2024·寧夏·二模）直線過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．543．（2024·寧夏石嘴山·三模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則取最小值時，n=（）A．4 B．12 C．16 D．644．（2024·上海·三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是45．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為．46．（2024·天津·模擬預測）已知正的邊長為，中心為，過的動直線與邊，分別相交于點、，，，.（1）若，則；（2）與的面積之比的最小值為.考點6二次與二次（或一次）的商式的最值47．（2021·浙江嘉興·二模）若正實數(shù)，滿足，則的最大值為．48．（2021·天津河西·模擬預測）函數(shù)的最小值為.49．（2020·江蘇南通·二模）已知，，，則的最大值為.50．（2018·江蘇常州·一模）已知，，2x+y=2，則的最大值為.51．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知，則的最小值是．52．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為.53．（2023高三·全國·專題練習）函數(shù)的最大值為.考點7基本不等式“1”的妙用求最值54．（23-24高一上·廣東河源·階段練習）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．55．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是．56．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）若，，且，則的最小值為．57．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，則的最小值為.58．（2024·河南·模擬預測）已知向量，，若，則的取值范圍為．59．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．60．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是．61．（2024·全國·模擬預測）已知，，則的最小值為．62．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為.63．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是.64．（2024·廣西柳州·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠ABC=2π3，的平分線交AC于點D，且，則a+4c的最小值為．65．（23-24高一下·寧夏銀川·期中）在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是．66．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為．考點8條件等式求最值67．（2024·山東·模擬預測）已知兩個不同的正數(shù)滿足，則的取值范圍是．68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．69．（2024·廣西河池·模擬預測）若實數(shù)，且，則的最小值為.70．（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為（用表示）．71．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為．73．（2023·全國·模擬預測）已知，b>12，，則的最大值為．74．（2023·山西·模擬預測）已知，且，則的最小值是.考點9基本不等式的恒成立問題75．（2024·四川成都·三模）設函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（

）A．2+22 B．4 C． D．76．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．77．（23-24高二下·陜西西安·期末）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．78．（2023·河南·二模）若不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.80．（2023·貴州黔東南·三模）正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍.81．（2023·遼寧·模擬預測）若關于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為．82．（2024·山東濰坊·三模）已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為．考點10對勾函數(shù)求最值83．（2024高二·全國·競賽）設函數(shù)，則下列結論中正確的是（

）．A．在遞增 B．在遞減C．的最小值是 D．不存在反函數(shù)84．（2022高三·全國·專題練習）給出四個命題：①的最小值為2；②的最大值為；③的最小值為2；④的最小值為4．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．485．（22-23高一上·全國·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．86．【多選】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正確的有（

）A．若，則函數(shù)y=x2B．函數(shù)最小值為C．當D．最小值等于487．【多選】（2024高三·全國·專題練習）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（）A． B．C． D．考點11容積的最值問題88．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.89．（22-23高一·全國·隨堂練習）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價為1200元，房屋側面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么房屋的總造價最低為元．91．（2023·山東·模擬預測）如圖，在中，∠BAC=π2，，為所在平面外一點，的面積為，且平面PAC⊥平面，，則三棱錐體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．考點12基本（均值）不等式的應用92．（2024·浙江金華·三模）某希望小學的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設，，則，滿足的關系式為，比較兩種方案，沙坑面積最大值為.93．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.94．（2024·山東濟南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．18 D．3695．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)設為邊的中點，，求線段長度的最大值.96．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長的最大值.97．（23-24高一上·山西朔州·階段練習）為響應國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2023年舉行促銷活動．經(jīng)調查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用萬元滿足．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2023年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．求該廠家2023年的年促銷費用t投入多少萬元時廠家利潤最大?最大利潤是多少?98．（22-23高一下·江蘇鹽城·開學考試）某旅游開發(fā)公司計劃2023年開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成本500萬元，若該項目在2023年有萬游客，則需另投入成本萬元，且，該游玩項目的每張門票售價為50元，政府為鼓勵企業(yè)更好發(fā)展，每年給該旅游開發(fā)公司財政補貼萬元．(1)求2023年該旅游公司開發(fā)的游玩項目的利潤（萬元）關于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關系式（利潤=收入-成本）；(2)當2023年的游客為多少時，該游玩項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？99．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？請說明理由.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期鞏固練05基本不等式及其應用12種常見考點全面練（精練99題）考點1基本不等式的內(nèi)容及辨析1．（2023·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設AC=a，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結合計算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結論．【詳解】設，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當且僅當時取等號．故選：D.3．（2023·陜西寶雞·二模）設a，，則“a+b≥2”是“”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由基本不等式結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】若a+b≥2，則成立，當且僅當時取等，若，不妨設，則a+b≥2不成立，所以“a+b≥2”是“”的充分不必要條件.故選：C.4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式判斷．【詳解】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．考點2由基本不等式比較大小5．（2024·山東·模擬預測）已知，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A選項，根據(jù)的妙用進行求解；B選項，對原條件直接使用基本不等式，即可求解；C選項，將待證明表達式消去一個字母，構造函數(shù)，利用導數(shù)知識解決；D選項，結合B選項的分析可解決.【詳解】因為，所以，對于A項：，當且僅當時取得等號，從而在，時，故A錯誤；對于B項：因為，所以，，當時取得等號，此時，故B錯誤；對于C項：因為，所以，所以，于是等價于，等價于，構造函數(shù)，，所以在1,+∞上單調遞增；所以恒成立，所以不等式成立，故C正確；對于D項：根據(jù)B選項的分析，，則，即，當時取得等號，此時，故D錯誤.故選：C6．（2024·湖南岳陽·二模）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質得出，，，然后利用作差法比較與的大小關系即可.【詳解】因為，所以，即，所以，即；因為，所以，即，所以，即；因為，所以，即，所以，即；又因為，且，所以，所以，所以；綜上所述，.故選：A.7．（23-24高三下·北京·階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質，利用二次函數(shù)及均值不等式可得解.【詳解】因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以，因為bn為等比數(shù)列，所以，而，所以，故A對C錯；因為，而可同為正數(shù)也可同為負數(shù)，當時，，當時，所以，大小不確定，故BD錯誤.故選：A8．（23-24高三下·全國·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上單調遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設，則在0,+∞上單調遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是構造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在0,+∞上單調遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.9．【多選】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】根據(jù)不等式的性質可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.【分析】由，得，所以，A正確．因為，所以，所以0，所以，B正確．因為，所以，當且僅當時取等號，所以，C正確．因為，所以，D錯誤．故選：ABC．10．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】首先結合選項變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項.【詳解】A.，當時，等號成立，故A正確；B.，當時，等號成立，故B正確；C.，故C正確；D.，當時等號成立，故D正確.故選：ABCD11．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由條件求出，結合對數(shù)運算，基本不等式逐項判斷即可.【詳解】因為，所以，，所以，A正確；，B正確，，C錯誤，由，可得，D正確，故選：ABD.12．【多選】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式的性質和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．【詳解】∵，∴即，∴，A正確；由基本不等式知：，當且僅當時等號成立又，∴∴即,當且僅當時等號成立；已知,故，B正確;令，，C錯誤；令，，分母為零無意義，D錯誤．故選：AB．13．【多選】（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知正數(shù)a，b滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出的范圍并結合均值不等式判斷AB；舉例說明判斷C；利用不等式性質推理判斷D作答.【詳解】由，，得，即，而，則，A正確；顯然，當且僅當時取等號，則，B正確；取，，則滿足，，此時，C錯誤；由，得，即a>2，于是，同理，則，D正確．故選：ABD14．（2023·四川成都·模擬預測）已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性算出表達式，然后利用的單調性，奇偶性，結合對數(shù)函數(shù)的單調性，對數(shù)的運算性質進行大小比較.【詳解】，用代替，，根據(jù)分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，于是，結合可得.故，設，則，根據(jù)基本不等式和余弦函數(shù)的范圍，，，于是，則g′(x)在上單調遞增，注意到，于是時，遞增.由于是偶函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的性質，，，于是，，，故只需要比較的大小.由，，根據(jù)基本不等式，，故.由于時，遞增可知，，結合是偶函數(shù)可得，，即.故選：C15．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】B【分析】由題先分析出實數(shù)，，一負兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大值即可.【詳解】因為，所以在，，中，負數(shù)的個數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個為負數(shù)，2個為正數(shù)，不妨設，則．因為，所以，因為，所以，則，故的最大值是，無最小值．故選：B.16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A．B．a(chǎn)1<a2 C．a(chǎn)1【答案】B【分析】由題意求出的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【詳解】由題意得，，因為，故，，即a1故選：B考點3由基本不等式證明不等關系17．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知，，且滿足.(1)證明：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用基本不等式可得，由，再結合基本不等式即可證明；（2）配方得到，從而可得，令，從而利用二次函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又因為，所以，當且僅當時，等號成立.，當且僅當時，等號成立.（2）因為，所以，令，則，因為的開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，所以，即的最小值為.18．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知a，b，c均為正實數(shù)，且．(1)求abc的最大值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）變形后，利用三元基本不等式求出最值；（2）變形后，利用基本不等式“1”的妙用進行求解【詳解】（1），當且僅當，即時等號成立．（2）證明：，當且僅當同時成立，即時等號成立．19．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)，實數(shù)滿足．(1)解不等式；(2)證明：對任意實數(shù)，使．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用“零點分段法”，即可求出結果；（2）利用三角絕對不等式得到，再利用重要不等式得到，即可證明結果.【詳解】（1）因為，由，得到，當時，得到，解得，當時，，所以x∈?，當時，得到，解得，綜上，不等式的解集為或.（2）因為，當且僅當時取等號，即時取等號，因為，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以對任意實數(shù)，使.20．（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，又，結合基本不等式可得，化簡求得，得證；（2）法一，由已知條件得，同理可得，，三式相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得，所以，利用柯西不等式求解證明.【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，當且僅當時等號成立，整理得，所以．（2）解法一：因為，且a，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，當且僅當時等號成立．解法二：因為，且a，b，，所以，，，且，所以，當且僅當時等號成立．21．（2024·全國·模擬預測）已知正實數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意，根據(jù)基本不等式可得，利用作差法，結合立方和公式和基本不等式計算即可證明；（2）由題意可得，結合基本不等式計算即可證明.【詳解】（1）由，且可得，故，當且僅當時等號成立．，，當且僅當時等號成立．（2），當且僅當時等號成立．故．22．（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，結合基本不等式，即可得證；（2）由，結合基本不等式，即可得證.【詳解】（1）證明：因為正數(shù)滿足，由，當且僅當a=b=c時，等號成立，可得，即，所以，當且僅當a=b=c時，等號成立.（2）證明：由，當且僅當，即，等號成立.所以.23．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由關于三個重要不等式左右分別相加，得到，結合題設條件推得代入即得；（2）先證明三維的柯西不等式，再利用柯西不等式將左式化成，再構造不等式，化簡得到，代入條件即得.【詳解】（1）因為為正數(shù)，，所以，因為，所以，當且僅當a=b=c時等號成立，所以.（2）先證明三維的柯西不等式.已知求證:,當且僅當時取等號.證明：設①當，即時，不等式顯然成立；②當時，∵對于任意實數(shù)，都有,當且僅當時取等號,∴，即∴,當且僅當時取等號.故得證.由柯西不等式，得，即.因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故得：.考點4基本不等式求積的最大值24．（2024·浙江·模擬預測）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先變形，化簡后換元，轉化為關于的式子，利用基本不等式求最值.【詳解】，，設，則，，當x=2x，即，時等號成立，所以的最大值為.故選：D25．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為．【答案】/0.25【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因為，顯然當時，取得最大值，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.26．（2024·河南信陽·模擬預測）若實數(shù)，滿足，則.【答案】【分析】先利用對數(shù)的運算法則進行化簡，，右邊使用不等式，根據(jù)不等式的傳遞性，，換元后利用函數(shù)的單調性得，所以只能，再根據(jù)取等條件求出即可.【詳解】，，即，根據(jù)不等式得，，令，所以，因為，所以.，，所以，單調遞增，單調遞減，所以，即，，所以只能，即，所以，當成立，即，所以.故答案為：.27．（2024·天津·模擬預測）若，，且，則的最小值為【答案】【分析】先對進行等式變形，利用把原式化簡為，再利用均值不等式可得，然后由函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減，即可得到最小值為.【詳解】由，因為，所以上式，又因為，，由均值不等式得：，利用函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減可知：，當且僅當時取到最小值.故答案為：28．（2024·重慶·模擬預測）設且，則的最大值為【答案】【分析】根據(jù)題意，利用題設條件，結合基本不等式即可求解.【詳解】因為且，則，解得：，當且僅當，時等號成立，所以的最大值為，則，即的最大值為故答案為：29．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知直線與直線，若，則的最大值為.【答案】/0.25【分析】根據(jù)直線垂直的條件得，根據(jù)基本不等式得，從而可得結果.【詳解】因為，即，當且僅當時取等號，，即的最大值為.故答案為：.30．【多選】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用已知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.【詳解】對于A：∵，，.∴，.當且僅當，即，，取“”，∴A正確；對于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正確；對于C：.∴，∴C錯誤；對于D：，當且僅當，即，取“”，∴D正確.故選：ABD.31．【多選】（2022·廣東佛山·一模）在中，所對的邊為，設邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為【答案】ABC【分析】由余弦定理、三角形面積公式結合均值不等式判斷ABD三個選項，利用向量的模的計算公式判斷C選項.【詳解】選項A，若，由余弦定理，得，所以，則三角形面積，A正確；選項B，由基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，由余弦定理可得，則，B正確；選項C，因為邊上的中點為，所以，而，即，則，所以，故C正確；選項D，因為，即，所以由余弦定理得，又，且函數(shù)在上單調遞減，所以，D錯誤.故選：ABC.32．（2024·四川·模擬預測）設球的直徑為，球面上三個點，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】畫出圖形，即可得到，由正弦定理求出，再由勾股定理得到及，最后由面積公式及基本不等式計算可得.【詳解】如圖所示：為直角三角形，，則，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以是的中點，由，又，，所以，又，所以，當且僅當時取等號，即面積的最大值為.故選：B33．（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50【答案】B【分析】由，利用等差數(shù)列的性質推出，再利用基本不等式計算即得.【詳解】由可得，因則等差數(shù)列an的公差d≥0，故，則，當且僅當時取等號，即當時，取得最大值25.故選：B.考點5基本不等式求和的最小值34．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）下列函數(shù)最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)性質，基本不等式確定最小值后判斷．【詳解】選項A，時，，最小值不是4，A錯；選項B，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，B正確；選項CD中，當時，函數(shù)最小值為0，CD均錯．故選：B．35．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號.故選：D36．（2024·安徽阜陽·模擬預測）已知，則的最小值為.【答案】20【分析】由可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】依題意，，由可得，所以，等號成立當且僅當.故答案為：20.37．【多選】（2024·福建泉州·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)不等式的性質可判斷A；取，可判斷BC；根據(jù)基本不等式可判斷D．【詳解】由題意，得，，，對于A，，故A正確；對于B，取，，則，故B錯誤；對于C，取，，則，故C錯誤；對于D，，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：AD38．（2024·陜西西安·模擬預測）函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為．【答案】8【分析】先求出函數(shù)過定點的坐標，再利用基本不等式求最值.【詳解】因為，（且），所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點，所以，所以，，，當且僅當，即等號成立，即的最小值為.故答案為：.39．（2024·山東泰安·模擬預測）已知點在橢圓上，，是該橢圓的兩個焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，由基本不等式可得，則由，代入即可得到答案.【詳解】由題知，，b2=1，即，，則，因為（當且僅當時，等號成立），所以，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：D.40．（2024·江西·模擬預測）已知平面向量，，其中，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量平行，得到，結合基本不等式即可求.【詳解】由題意，因為，所以，又，所以，當且僅當即時等號成立．故選：A41．（2024·北京·三模）在中，分別是角的對邊，且，則角的取值范圍為．【答案】【分析】由余弦定理、基本不等式得出cosB【詳解】，當且僅當，即為等邊三角形時，，又

．故答案為：.42．（2024·寧夏·二模）直線過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質求得的對稱中心，從而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【詳解】因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為．故選：A43．（2024·寧夏石嘴山·三模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則取最小值時，n=（）A．4 B．12 C．16 D．6【答案】A【分析】由函數(shù)找到定點，得到一個關于的等式，利用它們都是正數(shù)，結合代換1思想，最后可用均值不等式來求出最小值.【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點為，則，又因為，所以，當且僅當，即時等號成立.故選：A.44．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)，若，，且，則的最小值是【答案】8【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調性可知，然后結合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)單調遞增，又，所以，所以，即，所以，當且僅當，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.45．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式探求得數(shù)列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.【詳解】正項數(shù)列中，由，得，則，即數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，而，則，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵是求出數(shù)列的周期，再借助周期性求前n項和.46．（2024·天津·模擬預測）已知正的邊長為，中心為，過的動直線與邊，分別相交于點、，，，.（1）若，則；（2）與的面積之比的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)，利用數(shù)量積的定義及運算律即可計算；由題意可得，根據(jù)三點共線可得，利用三角形的面積公式可得，再結合基本不等式即可求解.【詳解】（1）；（2）因為，所以，因為M，O，N三點共線，故，即，又因為，而，，則，即，當且僅當時取等號，所以與的面積之比的最小值為.故答案為：；.考點6二次與二次（或一次）的商式的最值47．（2021·浙江嘉興·二模）若正實數(shù)，滿足，則的最大值為．【答案】【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2（）2+，然后結合二次函數(shù)的性質可求．【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當，即b＝2時取得最大值．故答案為：．【點睛】思路點睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法減少變量，轉化為的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質求最值.48．（2021·天津河西·模擬預測）函數(shù)的最小值為.【答案】9【分析】由題意得，原函數(shù)表達式可化為關于的表達式，分離常數(shù)，轉化為可利用基本不等式求最值的問題，即可得答案.【詳解】因為，則，所以，當且僅當即時等號成立，∴已知函數(shù)的最小值為9.故答案為：9.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，難點在于將原函數(shù)的表達式中的分子按照分母的形式進行配湊，分離常數(shù)，轉化為可利用基本不等式求最值的問題.49．（2020·江蘇南通·二模）已知，，，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得，令，則原式，利用基本不等式即可解決.【詳解】由已知，所以，故，令，原式，當且僅當，即，時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式求最值的問題，涉及到對數(shù)的運算性質，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.50．（2018·江蘇常州·一模）已知，，2x+y=2，則的最大值為.【答案】【詳解】由題，而即，當且僅當，即時取等號則，故答案為．51．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知，則的最小值是．【答案】2【分析】變形式子，由均值等式求最值即可.【詳解】因為，所以，當且僅當．即時，等號成立．故答案為：252．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為.【答案】16【分析】將目標式化為，結合及二次函數(shù)性質求最大值即可.【詳解】由，則，而，故當時，目標式最小值為16.故答案為：1653．（2023高三·全國·專題練習）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為，則，所以≤，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.考點7基本不等式“1”的妙用求最值54．（23-24高一上·廣東河源·階段練習）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【分析】由題可得，化簡利用基本不等式即可得出結論．【詳解】正數(shù)，滿足，，當且僅當即時取等號．故答案為：．55．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是．【答案】24【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，故答案為：56．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）若，，且，則的最小值為．【答案】9【分析】利用“1”的變形，結合基本不等式即可求解.【詳解】，當，即，聯(lián)立，得到時，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：957．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即，時取等號.故答案為：58．（2024·河南·模擬預測）已知向量，，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范圍.【詳解】因為，，，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的取值范圍為.故答案為：59．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【分析】是的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結合基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．故答案為：.60．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【詳解】由，得，因為，，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值是．故答案為：．61．（2024·全國·模擬預測）已知，，則的最小值為．【答案】12【分析】令，，從而可得，，再根據(jù)，結合基本不等式求解即可.【詳解】令，，則，，且，，所以，．又，所以，當且僅當，，即，時，等號成立．故答案為：1262．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為.【答案】【分析】先根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的特點求得定點坐標，代入直線方程得，運用常值代換法即可求得結論.【詳解】令時，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過定點，因為定點在直線上，可得，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.63．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是.【答案】【分析】由，得到，從而有，再根據(jù)三點共線，得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為在中，，所以，又因為，則，因為三點共線，則，結合題意知，所以，，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：64．（2024·廣西柳州·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠ABC=2π3，的平分線交AC于點D，且，則a+4c的最小值為．【答案】【分析】利用三角形面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可.【詳解】如圖所示，則的面積為12ac則ac=2a+2c，所以1a+1故a+4c=(a+4c)1當且僅當4ca=a所以a+4c的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用角平分線與三角形面積公式得到的關系式1a+65．（23-24高一下·寧夏銀川·期中）在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是．【答案】8【分析】將變形后，由，，三點共線，可得，則，化簡后利用基本不等式可求出其最小值.【詳解】因為，所以．因為，，三點共線，所以，所以．當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值是8.故答案為：866．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)得到方程，求出，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由題意得，解得，由于，故，當且僅當，時，等號成立.故答案為：考點8條件等式求最值67．（2024·山東·模擬預測）已知兩個不同的正數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題將條件式化簡后結合基本不等式得出關于ab的不等式，再構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調性求解即可.【詳解】將兩邊展開，得到，從而，故，而，故，又，故，從而．設函數(shù)，則，觀察易得在0,+∞上單調遞增，故，又，所以．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)與不等式的綜合，其關鍵是利用均值不等式構造關于ab的不等式，再構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調性解決問題.68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．【答案】【分析】解法1、根據(jù)題意，得到，結合基本不等式求得，進而求得的最大值；解法2、根據(jù)題意，得到，利用權方和不等式得，進而求得的最大值．【詳解】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，當且僅當時取等號，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．解法2、由，可得，因為，由權方和不等式得，即，所以，當且僅當，即時取等號，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．故答案為：.69．（2024·廣西河池·模擬預測）若實數(shù)，且，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)，將化簡可得，再根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【詳解】由可得，因為，所以，即，則，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.70．（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為（用表示）．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】因為是正實數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，于是，所以的最大值為.故答案為：71．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．【答案】/【分析】依題意可得，再由基本不等式計算可得.【詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故的最小值為．故答案為：．72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為．【答案】2【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.【詳解】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當且僅當時取得最大值.故答案為：2.73．（2023·全國·模擬預測）已知，b>12，，則的最大值為．【答案】/【分析】通過換元，將分式變成整式，再通過“1”的代換和基本不等式求出即可.【詳解】令，，則，，，，，所以，所以，當且僅當，，即，時等號成立．故答案為：74．（2023·山西·模擬預測）已知，且，則的最小值是.【答案】8【分析】通過對變形可得和，然后利用基本不等式可解.【詳解】因為，所以，所以，所以.又，所以，即，即，所以，則，當且僅當時，等號成立.故答案為：8考點9基本不等式的恒成立問題75．（2024·四川成都·三模）設函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（

）A．2+22 B．4 C． D．【答案】A【分析】依題意可得，從而得到，再令，最后利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，所以，，又，所以，即，因為，，所以，所以，所以，又，即，所以，所以，令，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以，所以，則實數(shù)的最大值為2+22.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是推導出，從而參變分離得到，再換元、利用基本不等式求出的最小值.76．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因為，所以，所以，等號成立當且僅當，所以，，故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是先得到，再進一步結合乘“1”法即可順利得解.77．（23-24高二下·陜西西安·期末）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題化為，利用基本不等式求左側的最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，只需在時即可，又，則，故，當且僅當時等號成立，故，所以，即.故選：A78．（2023·河南·二模）若不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離可得，再設，結合基本不等式求解的最小值即可.【詳解】解析依題意知，，結合，知，不等式轉化為，須.設，由，知，設，當且僅當，即，時等號成立，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：A79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求得不等式左邊的最小值，建立不等式，解出即可.【詳解】因為且，所以，當且僅當時取等號．因為不等式恒成立，所以，解得．故答案為：.80．（2023·貴州黔東南·三模）正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】因為不等式恒成立，所以，由，，可得，當且僅當時等號成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.81．（2023·遼寧·模擬預測）若關于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為．【答案】【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結合基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．82．（2024·山東濰坊·三模）已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為．【答案】9【分析】（1）由的圖象過點得，根據(jù)基本不等式“1”的妙用計算即可；（2）由的圖象過點得，進而得出，利用換元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．【詳解】（1）由的圖象過點得，，即，所以，當且僅當，即時等號成立．由恒成立得，，（2）因為的圖象過點，則，即，當時，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設，所以，當且僅當，即，則時，等號成立，故答案為：9；．【點睛】方法點睛：第二空由的圖象過點得出，代入消元得出關于的齊次式，換元后根據(jù)基本不等式計算可得．考點10對勾函數(shù)求最值83．（2024高二·全國·競賽）設函數(shù)，則下列結論中正確的是（

）．A．在遞增 B．在遞減C．的最小值是 D．不存在反函數(shù)【答案】D【分析】由基本不等式可判斷C；由雙勾函數(shù)的性質可判斷A，B；在其定義域內(nèi)非單調函數(shù)，不存在反函數(shù)，可判斷D.【詳解】當時，,當且僅當，即時取等，當時，,當且僅當，即時取等，故C錯誤；由雙勾函數(shù)的性質可得：在上遞減，上遞增．故A、B不正確．在其定義域內(nèi)非單調函數(shù)，不存在反函數(shù)，故D正確.故選：D.84．（2022高三·全國·專題練習）給出四個命題：①的最小值為2；②的最大值為；③的最小值為2；④的最小值為4．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本不等式可判斷①的真假，取特殊值，舉反例可判斷②③的真假，利用換元，結合函數(shù)的單調性可判斷④的真假，即得答案.【詳解】對于①，，則，當且僅當，即時取得等號，即的最小值為2，正確；對于②，當時，，②錯誤；對于③，滿足且，當時，，③錯誤；對于④，令，則在上單調遞減，故時，取到最小值5，即的最小值為5，④錯誤，故真命題的個數(shù)是1，故選：A85．（22-23高一上·全國·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】結合對勾函數(shù)的性質即可求解.【詳解】根據(jù)對勾函數(shù)的性質，當時，函數(shù)為增函數(shù)，故當時，有最小值，故選：B.86．【多選】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正確的有（

）A．若，則函數(shù)y=x2B．函數(shù)最小值為C．當D．最小值等于4【答案】BC【分析】AD選項，利用對勾函數(shù)的性質進行求解；BC選項，直接使用基本不等式或變形后使用基本不等式進行求解【詳解】A選項，令，則，由對勾函數(shù)性質可知，y=t+1t在故，故y=x2+4B選項，因為，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，故函數(shù)最小值為，B正確；C選項，當時，，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故，C正確；D選項，由對勾函數(shù)性質可知在上單調遞減，故，D錯誤.故選：BC87．【多選】（2024高三·全國·專題練習）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因為x≥1，所以(當且僅當x＝2時取等號)；，但是等號取不到；因為函數(shù)在[1，＋∞)上單調遞增，所以≥2，當x＝1時取等號；因為x≥1，所以(當且僅當x＝1時取等號).故選：ACD.考點11容積的最值問題88．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.【答案】米，米；立方米【分析】根據(jù)面積列出方程，據(jù)此條件利用均值不等式解出的范圍即可得解.【詳解】由題意，，即，，所以，即，解得，當且僅當，即時等號成立，因為，所以.即當，各為6米，3米時，該沉淀箱的體積最大，最大為36立方米.89．（22-23高一·全國·隨堂練習）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

【答案】長為m，寬為m時總造價最低．【分析】設處理池的長和寬分別為，，高為，表示出總造價的關系式，再利用基本不等式即可解出．【詳解】設處理池的長和寬分別為，，高為，總造價為，則，，，當且僅當，又，即，時取到等號，故長為m，寬為m時總造價最低．90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價為1200元，房屋側面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么房屋的總造價最低為元．【答案】【分析】求出房屋的總造價，利用基本不等式可得答案.【詳解】設房屋底面一邊長為m，則另一邊長為m，所以房屋的總造價為，因為，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：.91．（2023·山東·模擬預測）如圖，在中，∠BAC=π2，，為所在平面外一點，的面積為，且平面PAC⊥平面，，則三棱錐體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】設，則，得，設，結合面面垂直的性質、余弦定理、等積轉換與基本不等式，即可求得三棱錐體積的最大值.【詳解】因為平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面，又，平面所以平面PAC，因為平面PAC，故，設，則，得，設，在中，由余弦定理得，所以，所以，則，當且僅當，即時等號成立，所以三棱錐體積的最大值為．故選：D．考點12基本（均值）不等式的應用92．（2024·浙江金華·三模）某希望小學的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設，，則，滿足的關系式為，比較兩種方案，沙坑面積最大值為.【答案】（其中，），或，/【分析】（1）連接，在中應用勾股定理找到關系式，注意取值范圍；（2）由（1）及基本不等式求得，結合三角形面積公式求方案一的最大值；再連接，，設，，在中應用勾股定理得，結合基本不等式、三角形面積公式求方案二最大值，比較大小即可.【詳解】連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調遞減，所以滿足的關系式為（x∈(0,1)，）或，；

方案1：設游泳池的面積為，由（1）得，解得，當且僅當2x=y，即，時取等號，所以；方案2：設游泳池的面積為，取的中點，連接，，設，，在中，，則，解得，當且僅當時取等號，，而，所以選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為.故答案為：（x∈(0,1)，），或，；【點睛】關鍵點點睛：設出與圖形面積相關的兩個變形，借助勾股定理建立關系，利用基本不等式求解最值是解決問題的關鍵.93．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.【答案】3.2【分析】作于，設，根據(jù)兩角差的正切公式，結合不等式求的最大值，并確定對應的即可.【詳解】如圖：作于，設，則，.所以（當且僅當時取“”）又，故（米），故答案為：3.294．（2024·山東濟南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．18 D．36【答案】C【分析】由線面垂直得到線線垂直，推出該三棱錐的最長的棱為，故，最短的棱為或，分三種情況，利用錐體體積公式和基本不等式求出體積的最大值，