第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-綜合檢測3（拔尖卷）（解析版）

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列各式正確的是A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市雙流中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)無意義，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D不正確．故選C．2．已知函數(shù)，若，則A． B．C． D．【試題來源】山西省長治市第二中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次練考【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，則，因?yàn)?，所以．故選D．3．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】寧夏唐徠回民中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】C【解析】由題意，因?yàn)?，所以只有C符合．故選C．4．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第三章全章綜合檢測【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則，解得．故選A．5．函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．【試題來源】山東省濟(jì)寧鄒城市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試【答案】C【解析】當(dāng)，則，則，當(dāng)，則，則，所以，所以時(shí)，遞減且值域?yàn)?；時(shí)，遞增且值域?yàn)椋恢挥蠧符合要求．故選C6．已知定義在上的函數(shù)（為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記，，，則，，的大小關(guān)系為A． B．C． D．【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考【答案】C【解析】（為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，，，，且，，，故選C7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足對(duì)任意，恒有，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限的個(gè)，則的最大值為A． B．C． D．【試題來源】上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次月考（9月）【答案】B【解析】令，則有，故，所以，若，則開口向上，對(duì)稱軸為且，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有2個(gè)．故選B8．以下四種說法中，正確的是A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對(duì)任意的，C．對(duì)任意的，D．一定存在，當(dāng)，，時(shí)，總有【試題來源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章【答案】D【解析】A．如函數(shù)和，的圖象如圖所示：由圖象知錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示：由圖象知錯(cuò)誤；C．當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示：由圖象知錯(cuò)誤；D．當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示：由圖象知正確；故選D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，則下列各式運(yùn)算正確的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第三章全章綜合檢測【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于D正確，，故正確．故選ABD10．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，則下列函數(shù)中不符合上述條件的是A． B．C． D．【試題來源】廣東省清遠(yuǎn)市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】ABD【解析】對(duì)A，，故A不符合；對(duì)B，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故B不符合；對(duì)C，在上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，又，，故C符合；對(duì)D，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合．故選ABD．11．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的高斯函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第三章全章綜合檢測【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，所以f（x）是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)楹瘮?shù)，函數(shù)是增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，C正確；因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)閧-1，0}，D正確．綜上可知，B，C，D正確．故選BCD12．已知函數(shù)，，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B．C． D．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第四章全章綜合檢測【答案】AD【解析】因?yàn)?、、在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)，所以、在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)．因?yàn)椋?，且，所以，又，，且，所以，所以，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)椋瘮?shù)、在其定義域內(nèi)均為增函數(shù)，所以，所以，即選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；令，，則，，由于，的圖象都和直線相交（如圖所示），且函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線和直線的交點(diǎn)為，所以，即，即選項(xiàng)C正確．故選AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)．若正數(shù)，滿足，則____________．【試題來源】北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】4【解析】因?yàn)?，且、，，所以．故答案?．14．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為____________．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測第五章5．3函數(shù)的應(yīng)用【答案】1【解析】根據(jù)題意，令，則，做出函數(shù)與的圖象，由圖可知與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，故函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．故答案為1．15．已知函數(shù)，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱；②函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)的值域與的定義域相同；④若滿足，滿足，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________．【試題來源】北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】②③④【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的值域與的定義域相同，所以①錯(cuò)誤，②正確，③正確，因?yàn)闈M足，滿足，所以為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，所以④正確，所以正確結(jié)論的序號(hào)是②③④，故答案為②③④．16．已知函數(shù)，若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【試題來源】黑龍江省龍東地區(qū)四校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考【答案】【解析】因?yàn)?，，所以不等式可化為，又?duì)于恒成立，所以對(duì)于恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），（2），（3），（4）【解析】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榍?，所以；?）因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)椋?，即，所以，所?8．（12分）已知x、y、z為非零實(shí)數(shù)，且．求證：．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測期末測試【答案】證明見解析【解析】設(shè)，則，，，即，，．所以，得證．19．（12分）已知全集，集合，．（1）求p和q的值；（2）求的值．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測第三章3．1冪與指數(shù)【答案】（1），，（2）【解析】（1）由全集及，得，所以，．（2）．20．（12分）已知函數(shù)．（1）用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若，求的取值范圍．【試題來源】北京市大興區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】（1）證明見解析，（2），（3）【解析】（1）因?yàn)椋O(shè)任意的，且，則，因?yàn)?，且，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以（3）因?yàn)椤?，且在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即，所以，所以，所以，即21．（12分）已知函數(shù)的表達(dá)式為．（1）若，，求的值域．（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m、n，同時(shí)滿足：①；②當(dāng)?shù)亩x域?yàn)閇m，n]時(shí)，其值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測期末測試【答案】（1），（2）（3）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m、n，理由見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)?，所以，．?）令，因?yàn)?，故，函?shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，．綜上所述，．（3）因?yàn)?，，在R上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以在上的值域?yàn)?，又在上的值域?yàn)椋?，即，兩式相減，得，因?yàn)椋?，而由，可得，與矛盾．所以，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m、n．22．（12分）設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù)．（1）求的值；（2）證明：在內(nèi)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)于上的每一個(gè)的值，