2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步階段性評估1習(xí)題含解析北師大版必修2

階段性評估(一)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．下列平面圖形中，能夠旋轉(zhuǎn)得到左圖的是(A)解析：由四個選項中的平面圖形旋轉(zhuǎn)后與原圖比較知A正確．2．下列說法錯誤的是(D)A．多面體至少有四個面B．長方體、正方體都是棱柱C．九棱柱有9條側(cè)棱、9個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形D．三棱柱的側(cè)面為三角形解析：對于A，面最少的多面體是三棱錐，故多面體至少有四個面，故A正確；對于B，長方體和正方體都是四棱柱，故B正確；對于C，由棱柱的定義知九棱柱有9條側(cè)棱、9個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故C正確；對于D，三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故D錯誤．3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是(D)A．AB B．ADC．BC D．AC解析：還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長．4．已知正方體被過其中一面的對角線和它對面相鄰兩棱中點的平面截去一個三棱臺后的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則它的左視圖是(A)解析：由題意可知截去三棱臺后的幾何體是七面體，左視圖的輪廓是正方形，正方形內(nèi)有一條虛線，故選A.5．如圖為某幾何體的三視圖，則此幾何體為(C)A．球與三棱柱的組合體 B．半球與圓柱的組合體C．半球與圓錐的組合體 D．半球與三棱柱的組合體解析：明顯是半球與圓錐的組合體．6．已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么△ABC平面直觀圖△A′B′C′的面積為(A)A.eq\f(\r(6),16)a2B.eq\f(\r(3),32)a2C.eq\f(\r(3),16)a2D.eq\f(\r(6),8)a2解析：正三角形的AB邊上的高為CM＝eq\f(\r(3),2)a，在直觀圖中的長度為C′M′＝eq\f(\r(3),4)a，故△A′B′C′的面積為eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),16)a2.7．已知一個幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的一個組合體，其三視圖如圖所示，則這個組合體的上、下兩部分分別是(B)A．上部分是一個圓錐、下部分是一個圓柱B．上部分是一個圓錐、下部分是一個四棱柱C．上部分是一個三棱錐、下部分是一個四棱柱D．上部分是一個三棱錐、下部分是一個圓柱解析：由三視圖中三角形與圓知組合體中有圓錐，由俯視圖知有一個四棱柱．8．如圖是一個幾何體的三視圖，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為(B)A．4 B．4eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8解析：由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，面積最小的面為面VAB，其面積S＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).故選B.9．直角邊分別為1和eq\r(3)的三角形，繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，形成的圓錐的俯視圖是半徑為1的圓，則它的主視圖是(C)A．等腰直角三角形B．邊長為eq\r(3)的等邊三角形C．邊長為2的等邊三角形D．不能確定解析：由俯視圖知長為eq\r(3)的邊在軸上．因此主視圖為邊長為2的等邊三角形．10．底面水平放置的正三棱柱的全部棱長均為2，當(dāng)其主視圖有最大面積時，其左視圖的面積為(A)A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3) D．4解析：當(dāng)主視圖的面積最大時，可知其正三棱柱某個側(cè)面的面積，可以按如圖所示放置，此時S左＝2eq\r(3).11．一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個面中最大的面積是(D)A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：由四面體的三視圖知其直觀圖為如圖所示的正方體中的四面體A－BCD，由三視圖知正方體的棱長為2.所以S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△ADC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2.所以所求的最大面積為2eq\r(3).故選D.12．如圖所示，在透亮塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進一些水，將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，則有下列說法：①水的形態(tài)成棱柱形(如圖1)；②水的形態(tài)成棱臺形(如圖2)；③水的形態(tài)成棱錐形(如圖3)．其中正確的說法是(A)A．① B．①②C．②③ D．①②③解析：①正確；②③中水的形態(tài)是棱柱形．故選A.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．一個棱柱至少有5個面，面數(shù)最少的棱錐有4個頂點，頂點最少的棱臺有3條側(cè)棱．解析：由棱柱、棱錐、棱臺的定義可得．14．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為圖中的解析：點M，N在平面ADD1A1上的正投影分別是AA1，AD的中點，由此可得三角形MND在平面ADD1A15．已知正三棱錐V—ABC的主視圖、俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的左視圖的面積為6.解析：此正三棱錐的側(cè)棱長是4，底面正三角形的邊長是2eq\r(3)，而其左視圖是等腰三角形，底邊長是2eq\r(3)，高是三棱錐的高，即為2eq\r(3)，所以左視圖的面積是6.16．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于2.解析：由三視圖可知，這是一個三棱柱，內(nèi)切球在主視圖中的投影是主視圖的內(nèi)切圓，設(shè)其半徑為r，依據(jù)三角形面積公式有eq\f(1,2)(6＋8＋10)r＝eq\f(1,2)×6×8，解得r＝2.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖所示的幾何體的側(cè)面綻開圖是一個矩形，且?guī)缀误w的底面邊長均為3，側(cè)面的棱長為5，已知點P是棱AA1上一動點，Q是棱BB1上一動點，求CP＋PQ＋QC1的最小值．解：將幾何體沿棱CC1剪開，其側(cè)面綻開為平面圖形，如圖所示，CP＋PQ＋QC1的最小值即平面圖中矩形對角線CC1的長，所以(CP＋PQ＋QC1)min＝eq\r(3＋3＋32＋52)＝eq\r(106).18．(12分)如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積．解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).法二：梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(DC＋AB)×OD＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2).所以梯形ABCD直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),8).19．(12分)如圖所示是一個半圓柱OO1與三棱柱ABC—A1B1C1的組合體，其中，圓柱OO1的軸截面ACC1A1是邊長為4的正方形，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥解：由題意可知幾何體的主視圖與左視圖都是中間有一條線段的矩形，俯視圖由半圓與等腰直角三角形組成，如圖：20．(12分)依據(jù)所給三視圖，畫出物體的直觀圖．解：(1)畫軸．建立空間直角坐標(biāo)系，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如圖①.(2)畫圓柱的兩底面和圓臺的上底面．畫出底面圓O，在z軸上截取點O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度．過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出底面圓O′(與畫圓O一樣)．再在z軸上截取點O″，使O′O″等于三視圖中相應(yīng)高度．過O″作Ox的平行線O″x″，Oy的平行線O″y″，利用O″x″與O″y″畫出底面圓O″.(3)成圖．連接AA′，A′A″，B″B′，B′B，整理得到三視圖所表示的立體圖形的直觀圖，如圖②.21．(12分)已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCD—A1B1C1D1解：過內(nèi)接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，如圖所示，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h).∴eq\r(2)hx＝2rh－2rx，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圓錐內(nèi)接正方體的棱長為eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).22．(12分)圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm，母線長AB＝20cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點A，求：(1)繩子的最短長度；(2)在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．解：(1)如右圖所示，將側(cè)面綻開，繩子的最短距離為側(cè)面綻開圖中AM的長度，θ＝eq\f(10－5,20)×