高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊)7.1復(fù)數(shù)的概念(原卷版+解析)

7.1復(fù)數(shù)的概念【知識點梳理】知識點一：復(fù)數(shù)的基本概念1.虛數(shù)單位數(shù)叫做虛數(shù)單位，它的平方等于，即。知識點詮釋：①是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；②可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立。2.復(fù)數(shù)的概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示。知識點詮釋：復(fù)數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).3.復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)（）若b=0,則a+bi為實數(shù)，若b≠0,則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)。分類如下：（）用集合表示如下圖：4.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實數(shù)集，為復(fù)數(shù)集。）5．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為。知識點二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.即：如果，那么特別地：.知識點詮釋：（1）一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大??；也只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小.知識點三：復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實軸、虛軸：如圖所示，復(fù)數(shù)（）可用點表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.知識點詮釋：實軸上的點都表示實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。3.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)。設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)（），向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)平面向量這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義。4.復(fù)數(shù)的模設(shè)（），則向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模，記作.即.知識點詮釋：①兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于x軸對稱，并且他們的模相等。【典型例題】類型一、復(fù)數(shù)的基本概念 例1．(2023·全國·高一）若（）為實數(shù)，（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，，則，，間的關(guān)系為（）A． B． C． D．例3．（2023·河北·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．例4．（2023·貴州·沿河民族中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）（1）復(fù)數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.例5．（2023·重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)為（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？例6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）寫出復(fù)數(shù)4，－π，2－3i，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).類型二、復(fù)數(shù)相等例7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）當(dāng)x?y為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)等于2？例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）求適合下列方程的實數(shù)x與y的值：（1）；（2）．例9．（2023·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知復(fù)數(shù)，若，則___________.例10．（2023·山東·泰安一中模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，試寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)：___________.類型三、復(fù)數(shù)的幾何意義例11．(2023·山西懷仁·高三期末（文））復(fù)數(shù)z滿足，則對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．例12．（2023·貴州貴陽·高三階段練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2，4對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．例13．（2023·廣西·模擬預(yù)測（文））若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．直線上例14．(2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱，則（）A． B． C． D．例15．(2023·河北·高三階段練習(xí)）在復(fù)平面中，已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)的可能取值為（）A． B． C． D．例16．(2023·江西上饒·高二期末（文））已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實數(shù)．（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限時，求m的取值范圍．類型四、復(fù)數(shù)的模例17．(2023·河南洛陽·一模（理））已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1例18．（2023·湖北武漢·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z的虛部為，模為2，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限例19．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為6，則復(fù)數(shù)z為______．類型五、復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題例20．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合．例21．（2023·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.例22．（2023·重慶市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=__________.

【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）已知，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．22．（2023·河南·模擬預(yù)測（文））已知、，，則（）A． B． C． D．3．（2023·上海市徐匯中學(xué)高二期末）下列命題中，正確的是（）A．任意兩個復(fù)數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小C．設(shè)，如果，那么 D．設(shè)，如果，那么4．（2023·河南·高三開學(xué)考試（文））設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）復(fù)數(shù)的虛部是（）A．i B． C．1 D．-16．（2023·云南·高三期中（文））已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023·新疆昌吉·模擬預(yù)測（文））若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位，），則（）A．2 B．4 C． D．8．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，并且，則的取值范圍是（）.A． B．C． D．二、多選題9．（2023·山東萊西·高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列結(jié)論正確的為（）A．當(dāng)時，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限B．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于直線上，則C．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則D．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為原點，若，則10．（2023·廣東白云·高一期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列說法正確的有（）A．當(dāng)時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第二象限B．當(dāng)時，為純虛數(shù)C．最大值為D．的共軛復(fù)數(shù)為11．（2023·全國·高一期中）下列說法正確的有（）A．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比大小B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，C．若，且，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為312．（2023·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二期中）“虛數(shù)”這個詞是世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時的觀念認為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，像這樣最簡單的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解.引進虛數(shù)概念以后，代數(shù)方程的求解問題才得以解決.設(shè)是方程的根，則（）A． B．C．是該方程的根 D．是該方程的根三、雙空題13．（2023·浙江臺州·模擬預(yù)測）已知是復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，且，，則________，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限．四、填空題14．（2023·湖北·高一期末）已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在虛軸上，則m=_____________．15．（2023·福建福州·高三期中）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面中將繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)165°得到，則______.16．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為_________五、解答題17．(2023·江西上饒·高二期末（文））已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實數(shù)．(1)當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；(2)當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限時，求m的取值范圍．18．（2023·廣東高州·高一期末）已知，，，是復(fù)平面上的四個點，其中，，且向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，．（1）若，求，；（2）若，對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第二象限，求．19．（2023·安徽·合肥一六八中學(xué)高一期中）如圖，已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形中，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，且（1）求D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求平行四邊形的面積.20．（2023·重慶·高二期末）已知復(fù)數(shù)滿足，的實部與虛部的積為.（1）求；（2）設(shè)，，求的值.從①；②為純虛數(shù)；③在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標(biāo)為.這三個條件中選一個，將問題（2）補充完整，并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，關(guān)于的方程的兩根分別為，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．22．（2023·上海市實驗學(xué)校高一期末）已知復(fù)數(shù)（其中、），存在實數(shù)，使成立．（1）求證：；（2）求的取值范圍．7.1復(fù)數(shù)的概念【知識點梳理】知識點一：復(fù)數(shù)的基本概念1.虛數(shù)單位數(shù)叫做虛數(shù)單位，它的平方等于，即。知識點詮釋：①是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；②可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立。2.復(fù)數(shù)的概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示。知識點詮釋：復(fù)數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).3.復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)（）若b=0,則a+bi為實數(shù)，若b≠0,則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)。分類如下：（）用集合表示如下圖：4.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實數(shù)集，為復(fù)數(shù)集。）5．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為。知識點二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.即：如果，那么特別地：.知識點詮釋：（1）一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大?。灰仓挥挟?dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小.知識點三：復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實軸、虛軸：如圖所示，復(fù)數(shù)（）可用點表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.知識點詮釋：實軸上的點都表示實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。3.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)。設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)（），向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)平面向量這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義。4.復(fù)數(shù)的模設(shè)（），則向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模，記作.即.知識點詮釋：①兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于x軸對稱，并且他們的模相等。【典型例題】類型一、復(fù)數(shù)的基本概念 例1．(2023·全國·高一）若（）為實數(shù)，（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．答案：C【詳解】由題意，，，，所以．故選：C．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，，則，，間的關(guān)系為（）A． B． C． D．答案：B【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)包含虛數(shù)和實數(shù)，虛數(shù)包含純虛數(shù)和非純虛數(shù)的虛數(shù)．因此只有B正確．故選：B．例3．（2023·河北·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．答案：D【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，（，為虛數(shù)單位），則，所以，所以，即所以，其虛部為.故選：D例4．（2023·貴州·沿河民族中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）（1）復(fù)數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.【解析】（1）復(fù)數(shù)z是實數(shù)，則，解得或；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，則，解得且且；（3）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.例5．（2023·重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)為（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【解析】（1）若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則，可得，所以當(dāng)時，復(fù)數(shù)表示實數(shù).（2）若復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則，可得且，所以當(dāng)且時，復(fù)數(shù)表示虛數(shù).（3）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得：．所以當(dāng)時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).例6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）寫出復(fù)數(shù)4，－π，2－3i，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).【詳解】4，－π，2－3i，0，，，6i的實部分別是4，－π，2，0，，－2，0；虛部分別是0，0，－3，0，，，6.4，－π，0是實數(shù)；2－3i，，，6i是虛數(shù)，其中6i是純虛數(shù).類型二、復(fù)數(shù)相等例7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）當(dāng)x?y為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)等于2？【詳解】根據(jù)題意可知，實部等于2，虛部等于0，即，解方程得，，，所以或或或.故答案為：或或或.例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）求適合下列方程的實數(shù)x與y的值：（1）；（2）．【解析】（1）由題意，解得．（2）由題意，解得．例9．（2023·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知復(fù)數(shù)，若，則___________.答案：【詳解】解：因為所以，解得所以故答案為：例10．（2023·山東·泰安一中模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，試寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)：___________.答案：【詳解】設(shè)，由，可得，解得，又是純虛數(shù)，設(shè)且，則，則，解得，所以或.故答案為：類型三、復(fù)數(shù)的幾何意義例11．(2023·山西懷仁·高三期末（文））復(fù)數(shù)z滿足，則對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：B【詳解】不妨設(shè)復(fù)數(shù)，則有：則有：故有：解得：故選：B例12．（2023·貴州貴陽·高三階段練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2，4對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．答案：C【詳解】由題意知，復(fù)平面內(nèi)點A和點B的坐標(biāo)分別為，，設(shè)點C的坐標(biāo)為

所以，根據(jù)得，計算得

所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，其共軛復(fù)數(shù)為，選項C正確.故選：C.例13．（2023·廣西·模擬預(yù)測（文））若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．直線上答案：D【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，顯然點在直線上.故選:D例14．(2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱，則（）A． B． C． D．答案：B【詳解】解：設(shè)，則，，依題意得，解得，∴，.故選：B.例15．(2023·河北·高三階段練習(xí)）在復(fù)平面中，已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)的可能取值為（）A． B． C． D．答案：CD【詳解】因為復(fù)數(shù)在第二象限，所以故選：CD.例16．(2023·江西上饒·高二期末（文））已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實數(shù)．（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限時，求m的取值范圍．【解析】（1）因為為純虛數(shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時;（2）因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.類型四、復(fù)數(shù)的模例17．(2023·河南洛陽·一模（理））已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：D【詳解】由題意，.故選：D.例18．（2023·湖北武漢·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z的虛部為，模為2，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限答案：B【詳解】由題可設(shè)，則，解得，因為z對應(yīng)的點位于復(fù)平面第二象限，所以，則，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限.

故選：B.例19．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為6，則復(fù)數(shù)z為______．答案：【詳解】設(shè)，則﹒故答案為：類型五、復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題例20．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合．【詳解】解因為z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因為B＝{z||z|<1，z∈C}，所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．因為z∈A∩(?UB)等價于z∈A且z∈?UB，所以成立，則有|z|＝1，由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是以原點O為圓心、1為半徑的圓．例21．（2023·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.答案：3【詳解】設(shè)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示在復(fù)平面內(nèi)，到的距離，則最大值為，故答案為：3例22．（2023·重慶市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=__________.答案：0【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由，可得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，由可得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，由可得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，又由，解得，所以.故答案為：.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）已知，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．2答案：C【解析】分析：根據(jù)實部為零，虛部不為零得到方程（不等式）組，解得即可；【詳解】解：是純虛數(shù)，則，解得，故選：C.2．（2023·河南·模擬預(yù)測（文））已知、，，則（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：利用復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得解.【詳解】因為，所以，解得，故.故選：A.3．（2023·上海市徐匯中學(xué)高二期末）下列命題中，正確的是（）A．任意兩個復(fù)數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小C．設(shè)，如果，那么 D．設(shè)，如果，那么答案：C【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)判斷選項的正誤，即可得到結(jié)果．【詳解】當(dāng)兩個復(fù)數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，所以A錯誤；當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，所以B錯誤；因為，且，所以是實數(shù)，故，所以C正確；因為，若，則，但是此時與不能比較大小，所以D錯誤.故選:C.4．（2023·河南·高三開學(xué)考試（文））設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：設(shè),結(jié)合，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，可得，即，所以，解得，所以，所以的虛部為.故選：C.5．（2023·浙江·高三開學(xué)考試）復(fù)數(shù)的虛部是（）A．i B． C．1 D．-1答案：C【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的的性質(zhì)進行運算求解即可【詳解】，所以虛部為1故答案選：C6．（2023·云南·高三期中（文））已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的模化簡求出，即可判斷對應(yīng)的點所在象限.【詳解】，，，對應(yīng)點在第四象限，故選：D7．（2023·新疆昌吉·模擬預(yù)測（文））若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位，），則（）A．2 B．4 C． D．答案：C【解析】分析：利用純虛數(shù)的概念可得，再利用復(fù)數(shù)的模的概念即得.【詳解】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，∴.故選：C.8．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，并且，則的取值范圍是（）.A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件消去可將用表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，化為，∴，∵，∴當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值7，∴，∴的取值范圍是，故選：A.二、多選題9．（2023·山東萊西·高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列結(jié)論正確的為（）A．當(dāng)時，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限B．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于直線上，則C．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則D．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為原點，若，則答案：AC【解析】分析：由，得，然后逐個分析判斷即可【詳解】由，得，對于A，當(dāng)時，，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限，所以A正確，對于B，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于直線上，則，解得，所以B錯誤，對于C，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則且，解得，所以C正確，對于D，由，得，則，由，得，，得或，所以D錯誤，故選：AC10．（2023·廣東白云·高一期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列說法正確的有（）A．當(dāng)時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第二象限B．當(dāng)時，為純虛數(shù)C．最大值為D．的共軛復(fù)數(shù)為答案：BC【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的幾何意義、概念及共軛復(fù)數(shù)的含義即可判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第四象限，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，為純虛數(shù)，故B正確；對于C，，最大值為，故C正確；對于D，的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯誤.故選：BC.11．（2023·全國·高一期中）下列說法正確的有（）A．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比大小B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，C．若，且，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為3答案：BD【解析】分析：通過復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合反例，以及復(fù)數(shù)的模，判斷命題的真假即可.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，所以A不正確；對于B選項，復(fù)數(shù)的實部與虛部都是0時，復(fù)數(shù)是0，所以B正確；對于C選項，當(dāng)，滿足，但，所以C不正確；對于D選項，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為單位圓，則的幾何意義，是單位圓上的點到的距離，它的最大值為3，所以D正確；故選：BD.12．（2023·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二期中）“虛數(shù)”這個詞是世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時的觀念認為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，像這樣最簡單的二次方程，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解.引進虛數(shù)概念以后，代數(shù)方程的求解問題才得以解決.設(shè)是方程的根，則（）A． B．C．是該方程的根 D．是該方程的根答案：ABD【解析】分析：根據(jù)每個選項的描述進行判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】解：對于A選項，由于是方程的根，則，而，故，選項A正確；對于B選項，由虛根成對定理可知，也是方程的根，故，選項B正確；對于C，且，故不是該方程的根，選項C錯誤；對于D，，而，代入方程得，，是該方程的根，即是該方程的根，選項D正確.故選：ABD.三、雙空題13．（2023·浙江臺州·模擬預(yù)測）已知是復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，且，，則________，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限．答案：二【解析】分析：利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出參數(shù)的值，即得復(fù)數(shù)，，進而可得及復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限．【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限．故答案為：；二．【點睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運算等，考查考生的運算求解能力．四、填空題14．（2023·湖北·高一期末）已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在虛軸上，則m=_____________．答案：或6【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得對應(yīng)點的坐標(biāo)在虛軸上，解方程求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，若點在虛軸上，則，解得或．故答案為：或6.15．（2023·福建福州·高三期中）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面中將繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)165°得到，則______.答案：【解析】分析：結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，且與軸正方向的夾角為，將其逆時針旋轉(zhuǎn)后落在第三象限，且與軸負半軸的夾角為，所以對應(yīng)的點為，所以．故答案為：．16．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知