新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)模塊綜合測評新人教A版必修第二冊

模塊綜合測評(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．復(fù)數(shù)21A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i2．(2024·湖南長沙試驗中學(xué)期末)“治國之道，富民為始．”共同富有是社會主義的本質(zhì)要求，是中國式現(xiàn)代化的重要特征，是人民群眾的共同期盼．共同富有是全體人民通過辛勤勞動和相互幫助最終達(dá)到豐衣足食的生活水平，是消退兩極分化和貧困基礎(chǔ)上的普遍富有．請你運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)問加以分析，下列關(guān)于個人收入的統(tǒng)計量中，最能體現(xiàn)共同富有要求的是()A．平均數(shù)小，方差大 B．平均數(shù)小，方差小C．平均數(shù)大，方差大 D．平均數(shù)大，方差小3．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若m∥α，m⊥n，則n⊥αB．若m∥α，β⊥α，則m∥βC．若m∥α，n⊥α，則m⊥nD．若m∥α，m⊥β，則α∥β4．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，則()A．a(chǎn)＝3＋1B．A＝15°C．C＝45°D．△ABC為鈍角三角形5．據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級．若給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為()A．15B．25C．46．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，G為EF的中點(diǎn)，則A．12ADC．34AD7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．32B．155C．108．(2024·吉林期末)體積相等的球、正四面體和正方體，則它們的表面積的大小關(guān)系為()A．S球<S正四面體<S正方體B．S球<S正方體<S正四面體C．S正四面體<S球<S正方體D．S正方體<S球<S正四面體二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)9．為比較甲，乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項實力指標(biāo)值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維實力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下列說法正確的是()A．甲的邏輯推理指標(biāo)高于乙的邏輯推理指標(biāo)值B．甲的數(shù)學(xué)建模指標(biāo)值高于乙的直觀想象指標(biāo)值C．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算指標(biāo)值高于甲的直觀想象指標(biāo)值D．甲的六維實力整體水平低于乙的六維實力整體水平10．已知復(fù)數(shù)z滿意i-1A．z＝2B．z的虛部為－iC．z的共軛復(fù)數(shù)為z＝－1＋iD．z是方程x2－2x＋2＝0的一個根11．口袋里裝有2紅，2白共4個形態(tài)相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事務(wù)A＝“取出的兩球同色”，B＝“第一次取出的是紅球”，C＝“其次次取出的是紅球”，D＝“取出的兩球不同色”，下列推斷中正確的()A．A與B相互獨(dú)立 B．A與D互為對立C．B與C互斥 D．B與D相互獨(dú)立12．已知正三棱臺的上底面邊長為6，下底面邊長為12，側(cè)棱長為6，則()A．棱臺的高為23B．棱臺的表面積為1263C．棱臺的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為3D．棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為2三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在一次校內(nèi)歌手大賽中，6位評委對某選手的評分分別為92，93，88，99，89，95．則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是________．14．已知甲、乙、丙、丁四人各自獨(dú)立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，假如甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率，則a的最大值是________．15．如圖，水平桌面上放置一個裝有水的圓柱形玻璃水杯，AB為杯底直徑，現(xiàn)以點(diǎn)B為支點(diǎn)將水杯傾斜，使AB所在直線與桌面所成的角為π1216．一個大型噴水池的中心有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2024·浙江臺州期末)設(shè)i為虛數(shù)單位，a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋a2-1i，①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限的角平分線上．(1)求實數(shù)a的值；(2)若z1z2＋b(b∈R)注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．(本小題滿分12分)(2024·山東濟(jì)南期末)已知某校高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為180，120，120．現(xiàn)接受樣本按比例支配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)去敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從該7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院衛(wèi)生打掃工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②記事務(wù)M＝“抽取的兩名同學(xué)中至少有一名來自高一年級”，求P(M).19．(本小題滿分12分)甲、乙、丙三臺機(jī)器是否須要照看相互之間沒有影響，已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都須要照看的概率為0.05，甲、丙都須要照看的概率為0.1，乙、丙都須要照看的概率為0.125．(1)分別求甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)須要照看的概率；(2)計算這一小時內(nèi)至少有一臺機(jī)器須要照看的概率．20．(本小題滿分12分)(2024·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m(1)求角A的大??；(2)若D是BC的中點(diǎn)，AD＝1，求△ABC面積的最大值．21．(本小題滿分12分)(2024·湖北孝感重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考期中)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為一般市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)建者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的相識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”學(xué)問競賽，從全部答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成果(滿分100分，成果均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成果的第80百分位數(shù)和平均數(shù)；(2)已知落在[50，60)的平均成果是56，方差是7，落在[60，70)的平均成果為65，方差是4，求兩組成果的總平均數(shù)z和總方差s2．22．(本小題滿分12分)(2024·山東臨沂期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．(1)設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l，推斷l(xiāng)與AC的位置關(guān)系，并證明；(2)求證：A1C⊥BC1；(3)若A1C與平面BCC1B1所成的角為30°，求三棱錐A1-ABC內(nèi)切球的表面積S.模塊綜合測評1．B[化簡可得z＝21-i＝21+i12．D[方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動狀況，方差越大說明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，平均數(shù)是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫，所以最能體現(xiàn)共同富有要求的是平均數(shù)大，方差?。蔬xD.]3．C[若m∥α，不妨設(shè)m在α內(nèi)的投影為m′，則m∥m′，對于選項A：若m∥α，m⊥n，則n⊥m′，結(jié)合線面垂直判定定理可知，n不愿定垂直α，故A錯誤；對于選項B：若m∥α，β⊥α，此時m與β可能相交、平行或m在β上，故B錯誤；對于選項C：若m∥α，n⊥α，則n⊥m′，從而m⊥n，故C正確；對于選項D：若m∥α，m⊥β，則m′⊥β，結(jié)合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D錯誤．故選C.]4．D[由正弦定理，212＝2sinC有sinC＝22，因為C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有兩解，故ABC均錯誤，當(dāng)C＝45°時，A5．C[由題知，基本領(lǐng)件的總數(shù)有25種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、候、公，共5種情形，故所求事務(wù)的概率為1－525＝2025＝6．B[DG＝1＝12(DA+＝12(－AD+＝12故選B.]7．C[如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D，∵BC1＝2，BD＝22+1-2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5，易得C1D28．B[設(shè)球、正四面體和正方體的體積都為V，若球的半徑為R，則V＝43πR3，可得其表面積為S1＝4πR2＝336πV2.若正四面體的棱長為m，則V＝13·34m2·63m＝212m3，可得m＝362V，所以其表面積為S若正方體的棱長為a，可得V＝a3，所以正方體的表面積為S3＝6a2＝63V2＝3216V2，可得S1<S3<S2，即S球<S9．AD[對于A選項，甲的邏輯推理實力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理實力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理實力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理實力指標(biāo)值，故選項A正確；對于B選項，甲的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值低于乙的直觀想象實力指標(biāo)值，故選項B錯誤；對于C選項，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算實力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算實力指標(biāo)值低于甲的直觀想象實力指標(biāo)值，所以選項C錯誤.對于D選項，甲的六維實力指標(biāo)值的平均值為4+3+4+5+10．AD[因為(i－1)z＝2i，所以z＝2ii-對于A，z＝12+-對于B，z的虛部為－1，故選項B錯誤；對于C，z的共軛復(fù)數(shù)為z＝1＋i，故選項C錯誤；對于D，因為方程x2－2x＋2＝0的根為2±8-4i2＝1±i，所以z11．ABD[盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，共4×3＝12個基本領(lǐng)件，事務(wù)A共有4個基本領(lǐng)件，事務(wù)B共6個基本領(lǐng)件，事務(wù)C共6個基本領(lǐng)件，事務(wù)D共8個基本領(lǐng)件，由題可得P(A)＝412＝13，P(B)＝612＝12，P(D)＝812＝23，P(AB)＝212＝16，P(BD)＝412＝13，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A與對于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時發(fā)生，故C錯誤．故選ABD.]12．BD[在正三棱臺ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由點(diǎn)A1向AB作垂線，垂足為D，取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE，在平面AEA1中，由點(diǎn)A1向AE作垂線，垂足為F，連接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，則AD＝12-62＝3，A1D＝62-32＝33，所以棱臺的表面積為3×12(6＋12)×33+34×62＋34×122＝1263，故選項B正確；又三棱臺為正三棱臺，所以A1F為正三棱臺ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝ADcosπ6＝332＝23棱臺的側(cè)棱與底面所成角為∠A1AE，cos∠A1AE＝AFAA1＝2棱臺的側(cè)面與底面所成二面角為∠A1DF，sin∠A1DF＝A1FA1D13．95[依題意，先將上述6個分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整為第5個數(shù)，即95．]14．0.79[∵甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]15．5π12[如圖所示，由題意可知：∠ABC＝母線與水平面所成角為：∠EDB＝∠DBF＝π2-π16．30[如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝3h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，∴3h2＝h2＋602－2×60×h×即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．∴水柱的高度是30m．]17．解：(1)若選①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±3.若選②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i?2a2=6a若選③：由2＝a2－1得a＝±3.(2)z1z2＋b＝2+2i1-2i＋b＝－25＋b18．解：(1)由題意知，高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，又接受樣本量按比例支配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)．故應(yīng)從高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①由題意知，全部可能的抽取結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(C，G)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(D，G)，(E，F(xiàn))，(E，G)，(F，G)．②不妨設(shè)7名同學(xué)中來自高一的3人分別為A，B，C，則M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(C，G)}，共含有15個樣本點(diǎn)．所以P(M)＝1521＝519．解：記甲、乙、丙三臺機(jī)器在某一小時內(nèi)須要照看分別為事務(wù)A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨(dú)立．(1)由題意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)須要照看的概率分別為0.2，0.25，0.5．(2)∵A，B，C兩兩相互獨(dú)立，∴A，∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在一個小時內(nèi)都不須要照看的概率為P(ABC)∴這一小時內(nèi)至少有一臺須要照看的概率為P＝1－P(AB20．解：(1)由m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m得(1＋cosA)b＝3asinB，由正弦定理得(1＋cosA)sinB＝3sinAsinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴1＋cosA＝3sinA，∴2sinA-又∵A∈(0，π)，A－π6∈-π6，5π6，∴A－π(2)由AD＝12AB+AC，得到AD2＝14(AB則4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC，化簡得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤43當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，∴S△ABC＝12bcsinA≤12×即△ABC面積的最大值為3321．解：(1)∵每組小矩形的面積之和為1，∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030．成果落在[40，80)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65．落在[40，90)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9．設(shè)第80百分位數(shù)為m，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，故第80百分位數(shù)為86．設(shè)平均數(shù)為x，由圖中數(shù)據(jù)可知：x＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74．(2)由圖可知，成果在[50，60)的市民人數(shù)為100×0.1＝10，成果在[60，70)的市民人數(shù)為100×0.2＝20．故z＝10×s2＝110+20[10×(56－62)2所以兩組市民成果的總平均數(shù)是62，總方差是23．22．解：(1)推斷l(xiāng)∥AC.證