重慶市渝北區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page15一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程求得集合，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.2.已知函數(shù)，則=（）A2 B.12 C.7 D.17【答案】D【解析】【分析】利用解析式干脆求解即可.【詳解】，.故選：D.3.設(shè)，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由包含關(guān)系推斷即可.【詳解】不等式：，所對集合為，不等式化為：，于是得“”所對集合為，明顯是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.若非零實(shí)數(shù)，滿意，則下列不等式中確定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，再舉出反例即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B5.下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義：推斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)，對應(yīng)法則是否相同，由此可得結(jié)論．【詳解】四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，AC選項(xiàng)中函數(shù)的定義域是，D選項(xiàng)迥函數(shù)定義域是，定義域不相同，不是同一函數(shù)，B選項(xiàng)定義域是，依據(jù)確定值定義知對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)．故選：B．6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．7.是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對一切成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號），即當(dāng)時(shí)，，要想若對一切成立，只需，綜上所述：，故選：B8.設(shè)定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且在為增函數(shù).若對于，且，則有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，可以得到函數(shù)在為減函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性以及的大小關(guān)系，分別推斷各選項(xiàng)中函數(shù)的大小即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，所以函數(shù)在為減函數(shù)A選項(xiàng)中，因?yàn)?，且，則，因?yàn)楹瘮?shù)在減函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤B選項(xiàng)中，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以等價(jià)于，因?yàn)?，所以，在為增函?shù)，所以，即，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤同理，C選項(xiàng)錯(cuò)誤D選項(xiàng)中，等價(jià)于，所以D選項(xiàng)正確故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知正數(shù)x，y滿意，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A. B.1 C. D.2【答案】BC【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求解的最小值，利用基本不等式求解最值，然后再利用一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】已知正數(shù)x，y滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，解得：.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為：.故選：BC.10.下列說法正確是（）A.若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B.函數(shù)表示冪函數(shù)C.若表示遞增的冪函數(shù)，則D.冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn)，【答案】AC【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義、性質(zhì)，逐項(xiàng)分析推斷作答.【詳解】對于A，設(shè)，則，即，解得，，A正確；對于B，函數(shù)不是冪函數(shù)，B錯(cuò)誤；對于C，是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時(shí)，是R上的增函數(shù)，符合題意，因此，C正確；對于D，冪函數(shù)不過點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC11.下列說法正確的有（）A.“，”的否定是“，”B.若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.若，，，則“”的充要條件是“”D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可推斷A；由命題為假命題可得方程無解，則，即可推斷B；依據(jù)充分條件和必要條件的定義即可推斷CD.【詳解】解：對于A，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以“，”的否定是“，”，故A正確；對于B，若命題“，”為假命題，則方程無解，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，則由不能推出，所以“”的充要條件不是“”，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，故由可以推出，若當(dāng)時(shí)，，則由不行以推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD.12.定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和圖象如圖所示．給出下列四個(gè)命題，那么，其中正確命題是（）A.方程有且僅有三個(gè)解 B.方程有且僅有三個(gè)解C.方程有且僅有九個(gè)解 D.方程有且僅有九個(gè)解【答案】A【解析】【分析】求得方程解的個(gè)數(shù)推斷選項(xiàng)A；求得方程解的個(gè)數(shù)推斷選項(xiàng)B；求得方程解的個(gè)數(shù)推斷選項(xiàng)C；求得方程解的個(gè)數(shù)推斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，則由，可得有3個(gè)可能的取值，又為單調(diào)遞減函數(shù)，則方程有且僅有三個(gè)解.則選項(xiàng)A推斷正確；選項(xiàng)B：由函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，則由方程，可得有1個(gè)可能的取值，且，則方程有且僅有2個(gè)解.則選項(xiàng)B推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：選項(xiàng)C：函數(shù)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，則方程有3個(gè)可能的取值，，三個(gè)方程分別有3，3，1個(gè)根，則方程有且僅有7個(gè)解.則選項(xiàng)C推斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，則由方程，可得有且僅有1個(gè)取值，則方程有且僅有1個(gè)解.則選項(xiàng)D推斷錯(cuò)誤.故選：A三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)元素與集合的關(guān)系，分類探討，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，集合，不滿意互異性，故舍去；當(dāng)，即（舍）或，此時(shí)，集合滿意題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.14.已知，則函數(shù)的解析式為____．【答案】【解析】【分析】利用配湊法求函數(shù)解析式.【詳解】解：因?yàn)樗?故答案為：15.若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分為和考慮，當(dāng)時(shí)，依據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)茫?，滿意題意；當(dāng)時(shí)，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿意：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：16.已知函數(shù)，對隨意，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，化簡函數(shù)為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性，即得解【詳解】由題意，對隨意，有故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，由反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得只需即.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.計(jì)算化簡：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）先解出集合A，由，得到，列不等式，即可求出的取值范圍；（2）由，得到，分、，列不等式，即可求出的取值范圍．【小問1詳解】，，因?yàn)?，則，所以，解得，則的取值范圍為．【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)單調(diào)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系求解；（2）分對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求函數(shù)最小值.【小問1詳解】函數(shù)對稱軸為，開口向上，又函數(shù)在上是減函數(shù)，所以.【小問2詳解】函數(shù)對稱軸為，開口向上，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，所以；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．故；20.已知函數(shù)（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）因式分解，再探討二次方程兩根的大小關(guān)系求解即可；（2）參變分別可得在區(qū)間上恒成立，再換元令，依據(jù)基本不等式求解最值即可.【小問1詳解】即，故：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.【小問2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，即在區(qū)間上恒成立.令，則在區(qū)間上恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號.故，故實(shí)數(shù)a的范圍是21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）先推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；（3）求使成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上為增函數(shù)，證明見詳解；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解可得的值，又由可得的值，將、的值代入函數(shù)的解析式即可得答案；（2）設(shè)，用作差法分析可得，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證明；（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)可以將變形為，結(jié)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性可得的取值范圍．【詳解】（1）依據(jù)題意，是奇函數(shù)，則有，則有，解可得；．，，解可得.；（2）在上為增函數(shù)；證明如下：設(shè)，則，，則有，，，，則有，即．在上為增函數(shù)；（3），，又是定義在上的奇函數(shù)，，則有，解可得：；故不等式的解集為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)單調(diào)性定義證明時(shí)，須要嚴(yán)格依據(jù)步驟格式，留意取值的隨意性，作差后留意變形，變形的目的利用條件及不等式性質(zhì)推斷差的正負(fù).22.某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)料運(yùn)用該設(shè)備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入95萬元．設(shè)運(yùn)用該設(shè)備前年的總盈利額為萬元．（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年起先盈利；（2）運(yùn)用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以60萬元的價(jià)格處理；問哪種方案較為合理？并說明理由．【答案】（1），該設(shè)備從第2年起先實(shí)現(xiàn)總盈利；（2）方案二更合適，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，干脆求得，令，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果；