2017年天津高考文科數(shù)學試題及答案

2017年天津市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）設集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，則（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}2．（5分）設x∈R，則“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A． B． C． D．4．（5分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為19，則輸出N的值為（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．（5分）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），則a，b，c的大小關系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）設函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，則（）A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=8．（5分）已知函數(shù)f（x）=，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為．10．（5分）已知a∈R，設函數(shù)f（x）=ax﹣lnx的圖象在點（1，f（1））處的切線為l，則l在y軸上的截距為．11．（5分）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為．12．（5分）設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l．已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A．若∠FAC=120°，則圓的方程為．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．（I）用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n∈N*），{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項和（n∈N*）．19．（14分）設a，b∈R，|a|≤1．已知函數(shù)f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）和y=ex的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：f（x）在x=x0處的導數(shù)等于0；（ii）若關于x的不等式g（x）≤ex在區(qū)間[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范圍．20．（14分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點為F（﹣c，0），右頂點為A，點E的坐標為（0，c），△EFA的面積為．（I）求橢圓的離心率；（II）設點Q在線段AE上，|FQ|=c，延長線段FQ與橢圓交于點P，點M，N在x軸上，PM∥QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c．（i）求直線FP的斜率；（ii）求橢圓的方程．2017年天津市高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）（2017?天津）設集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，則（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定義先求出A∪B，再由交集定義能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故選：B．【點評】本題考查并集和交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集和交集定義的合理運用．2．（5分）（2017?天津）設x∈R，則“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】求出不等式的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．則“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分條件，故選：B【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合充分條件和必要條件的定義以及不等式的性質(zhì)是解決本題的關鍵．3．（5分）（2017?天津）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A． B． C． D．【分析】先求出基本事件總數(shù)n==10，再求出取出的2支彩筆中含有紅色彩筆包含的基本事件個數(shù)m==4，由此能求出取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率．【解答】解：有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫，從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，基本事件總數(shù)n==10，取出的2支彩筆中含有紅色彩筆包含的基本事件個數(shù)m==4，∴取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為p==．故選：C．【點評】本小題主要考查概率、古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，是基礎題．4．（5分）（2017?天津）閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為19，則輸出N的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)程序框圖，進行模擬計算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，輸出N=2，故選：C【點評】本題主要考查程序框圖的識別和應用，根據(jù)條件進行模擬計算是解決本題的關鍵．5．（5分）（2017?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b關系，通過c=2，求解a，b，然后等到雙曲線的方程．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，雙曲線的焦點坐標在x軸，所得雙曲線方程為：．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．6．（5分）（2017?天津）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），則a，b，c的大小關系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根據(jù)奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，化簡a、b、c，即可得出a，b，c的大小．【解答】解：奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用問題，是基礎題．7．（5分）（2017?天津）設函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，則（）A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=【分析】由題意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，則，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故選：A．【點評】本題考查由三角函數(shù)的部分圖象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．8．（5分）（2017?天津）已知函數(shù)f（x）=，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B． C． D．【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)f（x）的圖象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的圖象特點，將不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立轉化為函數(shù)f（x）的圖象在g（x）上的上方或相交的問題，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=的圖象如圖：令g（x）=|+a|，其圖象與x軸相交與點（﹣2a，0），在區(qū)間（﹣∞，﹣2a）上為減函數(shù)，在（﹣2a，+∞）為增函數(shù)，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象在g（x）上的上方或相交，則必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故選：A．【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，關鍵是作出函數(shù)f（x）的圖象，將函數(shù)的恒成立問題轉化為圖象的上下位置關系．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．（5分）（2017?天津）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為﹣2．【分析】運用復數(shù)的除法法則，結合共軛復數(shù)，化簡，再由復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i為虛數(shù)單位，===﹣i由為實數(shù)，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查復數(shù)的乘除運算，注意運用共軛復數(shù)，同時考查復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎題．10．（5分）（2017?天津）已知a∈R，設函數(shù)f（x）=ax﹣lnx的圖象在點（1，f（1））處的切線為l，則l在y軸上的截距為1．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，然后求解切線斜率，求出切點坐標，然后求解切線方程，推出l在y軸上的截距．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切線的斜率為：k=f′（1）=a﹣1，切點坐標（1，a），切線方程l為：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y軸上的截距為：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案為：1．【點評】本題考查曲線的切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．11．（5分）（2017?天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為．【分析】根據(jù)正方體和球的關系，得到正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式進行計算即可．【解答】解：設正方體的棱長為a，∵這個正方體的表面積為18，∴6a2=18，則a2=3，即a=，∵一個正方體的所有頂點在一個球面上，∴正方體的體對角線等于球的直徑，即a=2R，即R=，則球的體積V=π?（）3=；故答案為：．【點評】本題主要考查空間正方體和球的關系，利用正方體的體對角線等于直徑，結合球的體積公式是解決本題的關鍵．12．（5分）（2017?天津）設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l．已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A．若∠FAC=120°，則圓的方程為（x+1）2+=1．【分析】根據(jù)題意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圓心C的坐標以及圓的半徑，從而求得圓C方程．【解答】解：設拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），準線l：x=﹣1，∵點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切與點A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如圖所示：∴C（﹣1，），圓的半徑為CA=1，故要求的圓的標準方程為，故答案為：（x+1）2+=1．【點評】本題主要考查求圓的標準方程的方法，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．13．（5分）（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為4．【分析】【方法一】兩次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件是什么．【方法二】將拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，當且僅當，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣時取“=”；∴上式的最小值為4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，當且僅當，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣時取“=”；∴上式的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查了基本不等式的應用問題，是中檔題．14．（5分）（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，利用、表示出，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積列出方程求出λ的值．【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）?（λ﹣）=（λ﹣）?﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的線性運算與數(shù)量積運算問題，是中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）（2017?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，結合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推論可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，進一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展開兩角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，兩式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A為鈍角，則B為銳角，∴．于是，，故．【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．16．（13分）（2017?天津）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．（I）用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由題意結合圖表列關于x，y所滿足得不等式組，化簡后即可畫出二元一次不等式所表示的平面區(qū)域；（Ⅱ）寫出總收視人次z=60x+25y．化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為，即．該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖：（Ⅱ）解：設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z=60x+25y．考慮z=60x+25y，將它變形為，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線．為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值最大．又∵x，y滿足約束條件，∴由圖可知，當直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．解方程組，得點M的坐標為（6，3）．∴電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多．【點評】本題考查解得線性規(guī)劃的應用，考查數(shù)學建模思想方法及數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．17．（13分）（2017?天津）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，從而∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．證明：（Ⅱ）因為AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD．又因為BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．【點評】本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，是中檔題．18．（13分）（2017?天津）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n∈N*），{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．通過b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．（Ⅱ）設數(shù)列{a2nbn}的前n項和為Tn，利用錯位相減法，轉化求解數(shù)列{a2nbn}的前n項和即可．【解答】（Ⅰ）解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因為q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，聯(lián)立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，{an}的通項公式為an=3n﹣2，{bn}的通項公式為．（Ⅱ）解：設數(shù)列{a2nbn}的前n項和為Tn，由a2n=6n﹣2，有，，上述兩式相減，得=．得．所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項和為（3n﹣4）2n+2+16．【點評】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列求和，考查轉化思想以及計算能力．19．（14分）（2017?天津）設a，b∈R，|a|≤1．已知函數(shù)f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）和y=ex的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：f（x）在x=x0處的導數(shù)等于0；（ii）若關于x的不等式g（x）≤ex在區(qū)間[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，列表后可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）（i）求出g（x）的導函數(shù)，由題意知，求解可得．得到f（x）在x=x0處的導數(shù)等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，故當x0=a時，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．構造函數(shù)t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用導數(shù)求其值域可得b的范圍．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）證明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由題意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0處的導數(shù)等于0；（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0為f（x）的極大值點，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，故當x0=a時，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）